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- 2021-06-16 发布
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[练案44]第三讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
A组基础巩固
一、单选题
1.在空间中,下列命题正确的是( D )
A.经过三个点有且只有一个平面
B.经过一个点和一条直线有且只有一个平面
C.经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个
D.经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个
2.四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面个数为( A )
A.4 B.3
C.2 D.1
[解析] 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面.
3.a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是( C )
A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面
B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交
C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等
D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c
[解析] 若直线a,b异面,b,c异面,则a,c相交、平行或异面;若a,b相交,b,c相交,则a,c相交、平行或异面;若a⊥b,b⊥c,则a,c相交、平行或异面;由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.
4.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是( C )
A.直线AC B.直线AB
C.直线CD D.直线BC
[解析] 由题意知,D∈l,l⊂β,所以D∈β,
又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,
所以点D在平面ABC与平面β的交线上.
又因为C∈平面ABC,C∈β,
所以点C在平面β与平面ABC的交线上,
所以平面ABC∩平面β=CD.
5.(2020·青岛模拟)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1
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中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( D )
A. B.
C. D.
[解析]
连接BC1,易证BC1∥AD1,则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=1,AA1=2,易得A1C1=,A1B=BC1=,故cos∠A1BC1==,即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
6.(2018·陕西榆林模拟)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,M,N分别是A1B1,A1D1的中点,则BM与AN所成的角的余弦值为( B )
A. B.
C. D.
[解析]
如图,取B1C1的中点P,连接BP,MP.∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,M,N分别是A1B1,A1D1的中点,∴AN∥BP,∴∠MBP是BM与AN所成的角(或所成角的补角).BM=BP==,MP==,∴cos∠MBP=
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==.∴BM与AN所成的角的余弦值为.故选B.
7.(2019·江西高安期末)三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直于底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( A )
①CC1与B1E是异面直线;
②AE与B1C1是异面直线,且AE⊥B1C1;
③AC⊥平面ABB1A1;
④A1C1∥平面AB1E.
A.② B.①③
C.①④ D.②④
[解析] 对于①,CC1,B1E都在平面BB1CC1内,故错误;可排除B、C,对于④,A1C1所在的平面与平面AB1E相交,且A1C1与交线有公共点,故错误,选A项.
8.(2019·福建长汀、连城一中等六校联考)已知正三棱锥S-ABC的底面边长为2、侧棱长为2,D、E分别是AB、SC的中点,则异面直线DE与BC所成的角的大小为( B )
A.90° B.60°
C.45° D.30°
[解析]
作SO⊥平面ABC于O,则C、O、D共线,由题意可知CO=,∴cos∠SCD=,取SB的中点H,连HE,HD,则HE∥BC,从而∠HED即为异面直线DE与BC所成的角,且HE=1,DH=,又DE2=DC2+CE2-2DC·CE·cos∠DCS=4,∴∠EHD=90°,又EH=DE,∴∠HED=60°,故选B.
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9.(2019·福建漳州二模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点,则异面直线AD1与OC1所成角的余弦值为( C )
A. B.
C. D.
[解析]
由题意知O∈BD,连BC1,则BC1∥AD1,
∴∠OC1B即为AD1与OC1所成的角,
设正方体棱长为a,
则BO=a,BC1=a,
又BC1=DC1,∴C1O⊥BD,∴sin∠OC1B=,
从而cos∠OC1B=,故选C.
10.(2019·内蒙古包头模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( D )
A.(0,) B.(0,]
C.[0,] D.(0,]
二、多选题
11.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点共面的是( ABC )
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[解析]
在A图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,∴P,Q,R,S共面;在C图中分别连接PQ,RS,易证PQ//RS,∴P,Q,R,S共面;如图所示,在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;D图中PS与 QR为异面直线,∴四点不共面,故选ABC.
12.(原创)三个平面可将空间分成( )部分( ACD )
A.4 B.5
C.7 D.8
[解析] 三个平面可将空间分成4或6或7或8部分.
13.(2020·湖北名师联盟模拟改编)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,,F分别是AB,A1D1的中点,O为正方形A1B1C1D1的中心,则下列结论错误的是( ABD )
A.直线EF,AO是异面直线
B.直线EF,BB1是相交直线
C.直线EF与BC1所成角为30°
D.直线EF与BB1所成角的余弦值为
[解析] OF綊AE,EF、AO是相交直线,A错;
EF、BB1是异面直线,B错;
如图,OF綊BE,
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∴EF∥BO,
∴∠C1BO为EF与BC1所成的角,
设正方体棱长为2,
则BC1=2,OC1=,BO=,
∴BC=OC+BO,即BO⊥OC1,
∴∠OBC1=30°,C对;
EF与BB1所成角的余弦值为,D错;故选ABD.
三、填空题
14.(2020·郑州质检)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值为 .
[解析]
如图所示,取AB的中点E,连接B1E,则AM∥B1E,取EB的中点F,连接FN,则B1E∥FN,因此AM∥FN,则直线FN与CN所夹的锐角或直角为异面直线AM与CN所成的角,设AB=1,连接CF,在△CFN中,CN=,FN=,CF=.由余弦定理,得cos∠CNF==.
15.(2019·云南模拟)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则异面直线AB1与C1B所成的角是__90°__.
[解析] 将正三棱柱补成四棱柱,如图,设BB1=,则AB=2,连接AD1,BD1,则BC1∥AD1,∴∠D1AB1即为异面直线AB1与BC1所成的角,又由题意易知AB1=AD1=,B1D1=2,∴B1D=AB+AD,∴∠B1AD1=90°.
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另解1:本题若取A1B1的中点D,连DC1,易证AB1⊥平面BDC1,从而AB1⊥BC1.
另解2:可建立空间直角坐标系,用向量法求解.
B组能力提升
1.(2020·甘肃诊断)直三棱柱ABC-A′B′C′中,∠ABC=90°,AB=4,BC=2,BB′=,则异面直线AC′与B′C所成角的余弦值为 .
[解析] 连接BC′,交CB′于E,则E为BC′为中点,取AB中点F,连接EF,故EF∥AC′,则∠FEC或其补角为所求,又EF=AC′=,FC==2,CE=B′C=,在三角形EFB中,cos∠FEC=,故答案为.
2. (2020·河北衡水中学调研)如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为弧的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为( D )
A. B.
C. D.
[解析]
由题意可知AD∥BC,∴∠EAD即为异面直线AE与BC所成的角,设圆柱上、下底面圆心为O,O1,连OE、OA、ED,不妨设正方形ABCD的边长为2,则AO=,从而AE=ED=,则cos∠EAD==,即AE与BC所成角的余弦值为,故选D.
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3.(多选题)如图是侧棱长和底面边长都相等的正四棱锥的平面展开图,M,N,P,Q分别是边BF,AB,CD,DH的中点,则在这个正四棱锥,下列四个结论正确的为( BD )
A.MN和CD平行
B.CE和PQ平行
C.MN和PE所成的角为60°
D.EP和AB垂直
[解析] 正棱锥直观图如图,显然MN与CD异面,A错;B对;连AP,由MN∥AE知,∠AEP为异面直线MN与PE所成的角,设四棱锥的棱长为2a,则AP=a,PE=a,∴cos∠AEP==,C错;∵PE⊥CD,CD∥AB,∴PE⊥AB,D对.故选B、D.
4.(2019·西安模拟)如图,四边形ABCD和四边形ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP与BD所成的角为__60°__.
[解析] 将图形补成正方体,如图,连BH,HD,则∠HBD即为异面直线AP与BD所成的角,又BH=BD=HD,∴∠HBD=60°.
5.
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如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.
(1)求证:AE与PB是异面直线;
(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值;
(3)求三棱锥A-EBC的体积.
[解析] (1)证明:假设AE与PB共面,设平面为α,
∵A∈α,B∈α,E∈α,∴平面α即为平面ABE,
∴P∈平面ABE,这与P∉平面ABE矛盾,
∴AE与PB是异面直线.
(2)取BC的中点F,连接EF、AF,则EF∥PB,所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角.
∵∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,
∴AF=,AE=,EF=,
cos∠AEF==,
∴异面直线AE和PB所成角的余弦值为.
(3)因为E是PC的中点,所以E到平面ABC的距离为PA=1,
VA-EBC=VE-ABC=×(×2×)×1=.
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