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  • 2021-06-16 发布

高考数学一轮复习练案44第七章立体几何第三讲空间点直线平面之间的位置关系含解析

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‎ [练案44]第三讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 A组基础巩固 一、单选题 ‎1.在空间中,下列命题正确的是( D )‎ A.经过三个点有且只有一个平面 B.经过一个点和一条直线有且只有一个平面 C.经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个 D.经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个 ‎2.四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面个数为( A )‎ A.4  B.3 ‎ C.2  D.1‎ ‎[解析] 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面.‎ ‎3.a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是( C )‎ A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面 B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交 C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等 D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c ‎[解析] 若直线a,b异面,b,c异面,则a,c相交、平行或异面;若a,b相交,b,c相交,则a,c相交、平行或异面;若a⊥b,b⊥c,则a,c相交、平行或异面;由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.‎ ‎4.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是( C )‎ A.直线AC   B.直线AB C.直线CD   D.直线BC ‎[解析] 由题意知,D∈l,l⊂β,所以D∈β,‎ 又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,‎ 所以点D在平面ABC与平面β的交线上.‎ 又因为C∈平面ABC,C∈β,‎ 所以点C在平面β与平面ABC的交线上,‎ 所以平面ABC∩平面β=CD.‎ ‎5.(2020·青岛模拟)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1‎ - 9 -‎ 中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( D )‎ A.  B. ‎ C.  D. ‎[解析] ‎ 连接BC1,易证BC1∥AD1,则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A‎1C1,由AB=1,AA1=2,易得A‎1C1=,A1B=BC1=,故cos∠A1BC1==,即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.‎ ‎6.(2018·陕西榆林模拟)在直四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,M,N分别是A1B1,A1D1的中点,则BM与AN所成的角的余弦值为( B )‎ A.  B. ‎ C.  D. ‎[解析] ‎ 如图,取B‎1C1的中点P,连接BP,MP.∵直四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1中,底ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,M,N分别是A1B1,A1D1的中点,∴AN∥BP,∴∠MBP是BM与AN所成的角(或所成角的补角).BM=BP==,MP==,∴cos∠MBP= - 9 -‎ ‎==.∴BM与AN所成的角的余弦值为.故选B.‎ ‎7.(2019·江西高安期末)三棱柱ABC-A1B‎1C1中,侧棱AA1垂直于底面A1B‎1C1,底面三角形A1B‎1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( A )‎ ‎①CC1与B1E是异面直线;‎ ‎②AE与B‎1C1是异面直线,且AE⊥B‎1C1;‎ ‎③AC⊥平面ABB‎1A1;‎ ‎④A‎1C1∥平面AB1E.‎ A.②  B.①③ ‎ C.①④  D.②④‎ ‎[解析] 对于①,CC1,B1E都在平面BB1CC1内,故错误;可排除B、C,对于④,A‎1C1所在的平面与平面AB1E相交,且A‎1C1与交线有公共点,故错误,选A项.‎ ‎8.(2019·福建长汀、连城一中等六校联考)已知正三棱锥S-ABC的底面边长为2、侧棱长为2,D、E分别是AB、SC的中点,则异面直线DE与BC所成的角的大小为( B )‎ A.90°  B.60° ‎ C.45°  D.30°‎ ‎[解析] ‎ 作SO⊥平面ABC于O,则C、O、D共线,由题意可知CO=,∴cos∠SCD=,取SB的中点H,连HE,HD,则HE∥BC,从而∠HED即为异面直线DE与BC所成的角,且HE=1,DH=,又DE2=DC2+CE2-2DC·CE·cos∠DCS=4,∴∠EHD=90°,又EH=DE,∴∠HED=60°,故选B.‎ - 9 -‎ ‎9.(2019·福建漳州二模)在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,O为AC的中点,则异面直线AD1与OC1所成角的余弦值为( C )‎ A.  B. ‎ C.  D. ‎[解析] ‎ 由题意知O∈BD,连BC1,则BC1∥AD1,‎ ‎∴∠OC1B即为AD1与OC1所成的角,‎ 设正方体棱长为a,‎ 则BO=a,BC1=a,‎ 又BC1=DC1,∴C1O⊥BD,∴sin∠OC1B=,‎ 从而cos∠OC1B=,故选C.‎ ‎10.(2019·内蒙古包头模拟)如图,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( D )‎ A.(0,)     B.(0,]‎ C.[0,]     D.(0,]‎ 二、多选题 ‎11.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点共面的是( ABC )‎ - 9 -‎ ‎[解析] ‎ 在A图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,∴P,Q,R,S共面;在C图中分别连接PQ,RS,易证PQ//RS,∴P,Q,R,S共面;如图所示,在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;D图中PS与 QR为异面直线,∴四点不共面,故选ABC.‎ ‎12.(原创)三个平面可将空间分成(  )部分( ACD )‎ A.4  B.5 ‎ C.7  D.8‎ ‎[解析] 三个平面可将空间分成4或6或7或8部分.‎ ‎13.(2020·湖北名师联盟模拟改编)如图,正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,点E,,F分别是AB,A1D1的中点,O为正方形A1B‎1C1D1的中心,则下列结论错误的是( ABD )‎ A.直线EF,AO是异面直线 B.直线EF,BB1是相交直线 C.直线EF与BC1所成角为30°‎ D.直线EF与BB1所成角的余弦值为 ‎[解析] OF綊AE,EF、AO是相交直线,A错;‎ EF、BB1是异面直线,B错;‎ 如图,OF綊BE,‎ - 9 -‎ ‎∴EF∥BO,‎ ‎∴∠C1BO为EF与BC1所成的角,‎ 设正方体棱长为2,‎ 则BC1=2,OC1=,BO=,‎ ‎∴BC=OC+BO,即BO⊥OC1,‎ ‎∴∠OBC1=30°,C对;‎ EF与BB1所成角的余弦值为,D错;故选ABD.‎ 三、填空题 ‎14.(2020·郑州质检)在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,M、N分别为A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值为  .‎ ‎[解析] ‎ 如图所示,取AB的中点E,连接B1E,则AM∥B1E,取EB的中点F,连接FN,则B1E∥FN,因此AM∥FN,则直线FN与CN所夹的锐角或直角为异面直线AM与CN所成的角,设AB=1,连接CF,在△CFN中,CN=,FN=,CF=.由余弦定理,得cos∠CNF==.‎ ‎15.(2019·云南模拟)在正三棱柱ABC-A1B‎1C1中,若AB=BB1,则异面直线AB1与C1B所成的角是__90°__.‎ ‎[解析] 将正三棱柱补成四棱柱,如图,设BB1=,则AB=2,连接AD1,BD1,则BC1∥AD1,∴∠D1AB1即为异面直线AB1与BC1所成的角,又由题意易知AB1=AD1=,B1D1=2,∴B1D=AB+AD,∴∠B1AD1=90°.‎ - 9 -‎ 另解1:本题若取A1B1的中点D,连DC1,易证AB1⊥平面BDC1,从而AB1⊥BC1.‎ 另解2:可建立空间直角坐标系,用向量法求解.‎ B组能力提升 ‎1.(2020·甘肃诊断)直三棱柱ABC-A′B′C′中,∠ABC=90°,AB=4,BC=2,BB′=,则异面直线AC′与B′C所成角的余弦值为  .‎ ‎[解析] 连接BC′,交CB′于E,则E为BC′为中点,取AB中点F,连接EF,故EF∥AC′,则∠FEC或其补角为所求,又EF=AC′=,FC==2,CE=B′C=,在三角形EFB中,cos∠FEC=,故答案为.‎ ‎2. (2020·河北衡水中学调研)如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为弧的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为( D )‎ A.  B. C.  D. ‎[解析] ‎ 由题意可知AD∥BC,∴∠EAD即为异面直线AE与BC所成的角,设圆柱上、下底面圆心为O,O1,连OE、OA、ED,不妨设正方形ABCD的边长为2,则AO=,从而AE=ED=,则cos∠EAD==,即AE与BC所成角的余弦值为,故选D.‎ - 9 -‎ ‎3.(多选题)如图是侧棱长和底面边长都相等的正四棱锥的平面展开图,M,N,P,Q分别是边BF,AB,CD,DH的中点,则在这个正四棱锥,下列四个结论正确的为( BD )‎ A.MN和CD平行 B.CE和PQ平行 C.MN和PE所成的角为60°‎ D.EP和AB垂直 ‎[解析] 正棱锥直观图如图,显然MN与CD异面,A错;B对;连AP,由MN∥AE知,∠AEP为异面直线MN与PE所成的角,设四棱锥的棱长为‎2a,则AP=a,PE=a,∴cos∠AEP==,C错;∵PE⊥CD,CD∥AB,∴PE⊥AB,D对.故选B、D.‎ ‎4.(2019·西安模拟)如图,四边形ABCD和四边形ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP与BD所成的角为__60°__.‎ ‎[解析] 将图形补成正方体,如图,连BH,HD,则∠HBD即为异面直线AP与BD所成的角,又BH=BD=HD,∴∠HBD=60°.‎ ‎5.‎ - 9 -‎ 如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.‎ ‎(1)求证:AE与PB是异面直线;‎ ‎(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值;‎ ‎(3)求三棱锥A-EBC的体积.‎ ‎[解析] (1)证明:假设AE与PB共面,设平面为α,‎ ‎∵A∈α,B∈α,E∈α,∴平面α即为平面ABE,‎ ‎∴P∈平面ABE,这与P∉平面ABE矛盾,‎ ‎∴AE与PB是异面直线.‎ ‎(2)取BC的中点F,连接EF、AF,则EF∥PB,所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角.‎ ‎∵∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,‎ ‎∴AF=,AE=,EF=,‎ cos∠AEF==,‎ ‎∴异面直线AE和PB所成角的余弦值为.‎ ‎(3)因为E是PC的中点,所以E到平面ABC的距离为PA=1,‎ VA-EBC=VE-ABC=×(×2×)×1=.‎ - 9 -‎