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  • 2021-06-16 发布

高中数学必背公式——立体几何与空间向量

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高中数学必背公式——立体几何与空间向量 知识点复习: 1. 空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。 2. 在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。 3. 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化: 线线平行  线面平行  面面平行,线线垂直  线面垂直  面面垂直。 4.求角:(1)异面直线所成的角: 可平移至同一平面;也可利用空间向量: cos | cos , |a b    r r = 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 | || | | | | | x x y y z za b a b x y z x y z          r r r r (其中 ( 0 90 o o )为异面直线 a b, 所成角, ,a b r r 分别表示异面直线 a b, 的方向向量)。 (2)直线与平面所成的角: 在斜线上找到任意一点,过该点向平面作垂线,找到斜线在该平面上的射影,则斜线和射影所成的角便 是直线与平面所成的角;也可利用空间向量,直线 AB 与平面所成角sin | || | AB m AB m        ( m  为平面 的法向量). (3)二面角: 方法一:常见的方法有三垂线定理法和垂面法; 方法二:向量法:二面角 l   的平面角 cos | || | m narc m n       或 cos | || | m narc m n       ( m  , n  为平面 ,  的法向量). 5. 求空间距离: (1)点与点的距离、点到直线的距离,一般用三垂线定理“定性”; (2)两条异面直线的距离: | | | | AB nd n     ( n  同时垂直于两直线, A 、 B 分别在两直线上); (3)求点面距: | | | | AB nd n     ( n  为平面 的法向量, AB 是经过面 的一条斜线, A  ); (3)线面距、面面距都转化为点面距。 题型一:空间几何体的三视图、体积与表面积 例 1:已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体, 其三视图如右,若图中圆的半径为1,等腰三角形的腰 长为 5 ,则该几何体的体积是( ) A. 4 3  B. 2 C. 8 3  D.10 3  例 2:某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积 为( ) A.180 B. 200 C. 220 D. 240 例 3:右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体 的表面积是( ) A.10π B.11π C.12π D. 13 题型二:空间点、线、面位置关系的判断 例 4:已知 m 、 n 是不重合的直线, 和  是不重合的平面,有下列命题: (1)若 m , n ∥ ,则 m ∥ n ;(2)若 m ∥ , m ∥  ,则 ∥  ; (3)若 n  , m ∥ n ,则 m ∥ 且 m ∥  ; (4)若 m   , m   ,则 ∥  . 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 例 5:给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行; ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直; 其中真命题的个数是( ). A.4 B.3 C.2 D.1 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 3 2 2 例 6:给出下列命题 ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行; ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直; 其中正确命题的个数为( ). A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ☆题型三:空间线面位置关系的证明和角的计算 例 7:空间四边形 ABCD 中, CDAB  且成 060 的角,点 M 、 N 分别为 BC 、 AD 的中点,求异面 直线 AB 和 MN 成的角. 例 8:已知三棱锥 ABCP  中, PA 平面 ABC , ACAB  , ABACPA 2 1 , N 为 AB 上一点, ANAB 4 , M , S 分别为 PB , BC 的中点. (1)证明: SNCM  ;(2)求 SN 与平面CMN 所成角的大小. 例 9:如图,四棱锥 P ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD , PC ⊥ AD . 底面 ABCD 为梯形, //AB DC , AB BC . PA AB BC  , 点 E 在棱 PB 上,且 2PE EB . (1)求证:平面 PAB ⊥平面 PCB ; (2)求证: PD ∥平面 EAC ; (3)求平面 AEC 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值. 例 10:已知四棱锥 ABCDP  的底面为直角梯形, DCAB // ,  PADAB ,90 底面 ABCD , 且 12 1  ABDCADPA , M 是 PB 的中点。 (1)证明:面 PAD ⊥面 PCD ; (2)求 AC 与 PB 所成的角余弦值; (3)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦值。 题型四:空间距离的计算 例 11:点 M 是线段 AB 的中点,若 A 、B 到平面 的距离分别为 cm4 和 cm6 ,则点 M 到平面 的距 离为 . 例 12:如图,在空间四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,E、F 分别是 AB、CD 的中点. (1)求证:EF 是 AB 和 CD 的公垂线;(2)求 AB 和 CD 间的距离; 例 13:如图,在长方体 1111 DCBAABCD  中, 5AB , 2BC , 221 AA , E 在 AD 上,且 1AE , F 在 AB 上,且 3AF , (1)求点 1C 到直线 EF 的距离;(2)求点C 到平面 EFC1 的距离。 例 14:如图,正方形 ABCD 与 ABEF 成 60 的二面角,且正方形的边长 为 a , M 、 N 分别为 BD , EF 的中点,求异面直线 BD 与 EF 的距离。 例 15:如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形, ,PA ABCD 底面 3 3PA AB a  ,求异面直线 AB 与 PC 的距离。 例 16:已知 1111 DCBAABCD  是底面边长为1的正四棱柱, 1O 为 11CA 与 11DB 的交点. (1)设 1AB 与底面 1111 DCBA 所成角的大小为 ,二面角 111 ADBA  的大小为  . 求证:  tan2tan  ; (2)若点C 到平面 11DAB 的距离为 3 4 ,求正四棱柱 1111 DCBAABCD  的高. 高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u 高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u