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- 2021-06-16 发布
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高中数学必背公式——立体几何与空间向量
知识点复习:
1. 空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。
2. 在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。
3. 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化:
线线平行 线面平行 面面平行,线线垂直 线面垂直 面面垂直。
4.求角:(1)异面直线所成的角:
可平移至同一平面;也可利用空间向量: cos | cos , |a b
r r
= 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
| || |
| | | |
x x y y z za b
a b x y z x y z
r r
r r
(其中 ( 0 90 o o )为异面直线 a b, 所成角, ,a b
r r
分别表示异面直线 a b, 的方向向量)。
(2)直线与平面所成的角:
在斜线上找到任意一点,过该点向平面作垂线,找到斜线在该平面上的射影,则斜线和射影所成的角便
是直线与平面所成的角;也可利用空间向量,直线 AB 与平面所成角sin
| || |
AB m
AB m
( m
为平面 的法向量).
(3)二面角:
方法一:常见的方法有三垂线定理法和垂面法;
方法二:向量法:二面角 l 的平面角 cos
| || |
m narc
m n
或 cos
| || |
m narc
m n
( m
, n
为平面 , 的法向量).
5. 求空间距离:
(1)点与点的距离、点到直线的距离,一般用三垂线定理“定性”;
(2)两条异面直线的距离: | |
| |
AB nd
n
( n
同时垂直于两直线, A 、 B 分别在两直线上);
(3)求点面距: | |
| |
AB nd
n
( n
为平面 的法向量, AB 是经过面 的一条斜线, A );
(3)线面距、面面距都转化为点面距。
题型一:空间几何体的三视图、体积与表面积
例 1:已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,
其三视图如右,若图中圆的半径为1,等腰三角形的腰
长为 5 ,则该几何体的体积是( )
A. 4
3
B. 2 C. 8
3
D.10
3
例 2:某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积
为( )
A.180 B. 200 C. 220 D. 240
例 3:右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体
的表面积是( )
A.10π B.11π C.12π D. 13
题型二:空间点、线、面位置关系的判断
例 4:已知 m 、 n 是不重合的直线, 和 是不重合的平面,有下列命题:
(1)若 m , n ∥ ,则 m ∥ n ;(2)若 m ∥ , m ∥ ,则 ∥ ;
(3)若 n , m ∥ n ,则 m ∥ 且 m ∥ ;
(4)若 m , m ,则 ∥ .
其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
例 5:给出以下四个命题:
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直;
其中真命题的个数是( ).
A.4 B.3 C.2 D.1
俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
2
3
2
2
例 6:给出下列命题
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行;
③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直;
其中正确命题的个数为( ).
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
☆题型三:空间线面位置关系的证明和角的计算
例 7:空间四边形 ABCD 中, CDAB 且成 060 的角,点 M 、 N 分别为 BC 、 AD 的中点,求异面
直线 AB 和 MN 成的角.
例 8:已知三棱锥 ABCP 中, PA 平面 ABC , ACAB , ABACPA 2
1 ,
N 为 AB 上一点, ANAB 4 , M , S 分别为 PB , BC 的中点.
(1)证明: SNCM ;(2)求 SN 与平面CMN 所成角的大小.
例 9:如图,四棱锥 P ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD , PC ⊥ AD .
底面 ABCD 为梯形, //AB DC , AB BC . PA AB BC ,
点 E 在棱 PB 上,且 2PE EB .
(1)求证:平面 PAB ⊥平面 PCB ;
(2)求证: PD ∥平面 EAC ;
(3)求平面 AEC 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值.
例 10:已知四棱锥 ABCDP 的底面为直角梯形, DCAB // , PADAB ,90 底面 ABCD ,
且 12
1 ABDCADPA , M 是 PB 的中点。
(1)证明:面 PAD ⊥面 PCD ;
(2)求 AC 与 PB 所成的角余弦值;
(3)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦值。
题型四:空间距离的计算
例 11:点 M 是线段 AB 的中点,若 A 、B 到平面 的距离分别为 cm4 和 cm6 ,则点 M 到平面 的距
离为 .
例 12:如图,在空间四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,E、F 分别是 AB、CD 的中点.
(1)求证:EF 是 AB 和 CD 的公垂线;(2)求 AB 和 CD 间的距离;
例 13:如图,在长方体 1111 DCBAABCD 中, 5AB , 2BC ,
221 AA , E 在 AD 上,且 1AE , F 在 AB 上,且 3AF ,
(1)求点 1C 到直线 EF 的距离;(2)求点C 到平面 EFC1 的距离。
例 14:如图,正方形 ABCD 与 ABEF 成 60 的二面角,且正方形的边长
为 a , M 、 N 分别为 BD , EF 的中点,求异面直线 BD 与 EF 的距离。
例 15:如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形, ,PA ABCD 底面
3 3PA AB a ,求异面直线 AB 与 PC 的距离。
例 16:已知 1111 DCBAABCD 是底面边长为1的正四棱柱, 1O 为 11CA 与 11DB 的交点.
(1)设 1AB 与底面 1111 DCBA 所成角的大小为 ,二面角 111 ADBA 的大小为 .
求证: tan2tan ;
(2)若点C 到平面 11DAB 的距离为
3
4 ,求正四棱柱 1111 DCBAABCD 的高.
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