【数学】2020届一轮复习北师大版 复数 课时作业 7页

复　　数 ‎ (25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.(2018·全国卷Ⅱ)i(2+3i)= (　　)‎ A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i ‎【解析】选D.i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.‎ ‎2.(2018·北京高考)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于 (　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【解析】选D.复数z=====+i,‎ 所以z的共轭复数=-i,对应的点为,位于第四象限.‎ ‎3.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1·z2对应的点位于 (　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【解析】选D.由已知=(-2,-1),=(0,1),所以z1=-2-i,z2=i,z1z2=1-2i,它所对应的点为(1,-2),在第四象限.‎ ‎4.已知复数z满足=-i,则|z|= (　　)‎ A.1 B.‎ C.2 D.2‎ ‎【解析】选A.z===i,‎ 则|z|=1.‎ ‎5.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z= (　　)‎ A.1+2i B. 1-2i C. -1+2i D. -1-2i ‎【解析】选B. 设z=a+bi(a,b∈R),则 ‎2z+=2(a+bi)+(a-bi)=‎3a+bi,‎ 又因为2z+=3-2i,所以 ‎3a‎=3,b=-2,所以z=1-2i.‎ 误区警示:利用复数相等a+bi=c+di列方程时,注意a,b,c,d∈R的前提条件.‎ ‎6.(2019·福州模拟)已知m∈R,i为虚数单位,若>0,则m= (　　)‎ A.1 B. C. D.-2‎ ‎【解析】选B.由已知得==‎ ‎,由>0,‎ 可得1‎-2m=0,则m=.‎ ‎7. (2018·全国卷Ⅰ)设有下列四个命题:‎ p1:若复数z满足∈R,则z∈R;‎ p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;‎ p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;‎ p4:若复数z∈R,则∈R.‎ 其中的真命题为 (　　)‎ A.p1,p3 B.p1,p4‎ C.p2,p3 D.p2,p4‎ ‎【解析】选B.设z=a+bi(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R).‎ 对于p1,若∈R,‎ 即=∈R,则b=0,‎ 故z=a+bi=a∈R,所以p1为真命题;‎ 对于p2,若z2∈R,即(a+bi)2=a2+2abi-b2∈R,则ab=0.当a=0,b≠0时,z=a+bi=bi∉R,所以p2为假命题;‎ 对于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a‎1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,则a1b2+a2b1=0.而若z1=,即a1+b1i=a2-b2i⇔a1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1=0 a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题;‎ 对于p4,若z∈R,即a+bi∈R,则b=0,‎ 故=a-bi=a∈R,所以p4为真命题.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.(2018·天津高考) i是虚数单位,复数=________.  ‎ ‎【解析】===4-i.‎ 答案:4-i ‎9.已知i是虚数单位,若复数(a∈R)的实部与虚部相等,则a=________. 导学号 ‎ ‎【解析】==,又复数的实部与虚部相等,所以=-,解得a=0.‎ 答案:0‎ ‎【变式备选】已知z=(i为虚数单位),则z的共轭复数的虚部为________. ‎ ‎【解析】因为z===-i,则=i,则的虚部为1.‎ 答案:1‎ ‎10.若z=sin θ-+i是纯虚数,‎ 则tan 等于________. 导学号 ‎ ‎【解析】依题意 所以sin θ=,cos θ=-,‎ 所以tan θ==-,‎ 所以tan ===-7.‎ 答案:-7‎ ‎【变式备选】已知复数z1=cos 23°+isin 23°和复数z2=cos 37°+isin 37°,则z1·z2=__________. ‎ ‎【解析】z1·z2=(cos 23°+isin 23°)·(cos 37°+isin 37°)=cos 60°+‎ isin 60°=+i.‎ 答案:+i ‎ (20分钟　40分)‎ ‎1.(5分)(2018·全国卷Ⅰ)设z=+2i,则|z|= (　　)‎ A. 0 B. C. 1 D. ‎ ‎【解析】选C.因为z=+2i=+2i=+2i=i,‎ 所以|z|==1.‎ ‎【变式备选】(2018·郴州模拟)设z=1-i(i是虚数单位),若复数+z2在复平面内对应的向量为,则向量的模是 (　　)‎ A.1　　　 B.　　　 C.　　　 D.2‎ ‎【解析】选B.z=1-i(i是虚数单位),‎ 复数+z2=+(1-i)2=-2i=1-i.向量的模为=.‎ ‎2.(5分)已知复数z满足|z-2i|=1,则|z|的最小值为 (　　)‎ A.0 B‎.1 ‎ C.2 D.3‎ ‎【解析】选B.|z-2i|=1的几何意义为复平面内动点Z到定点(0,2)的距离为定值1,如图:‎ 由图可知,|z|的最小值为2-1=1.‎ ‎3.(5分)-3+2i是方程2x2+px+q=0的一个根,且p,q∈R,则p+q=________. ‎ ‎【解析】由题意得2(-3+2i)2+p(-3+2i)+q=0,‎ 即2(5-12i)-3p+2pi+q=0,‎ 即(10-3p+q)+(-24+2p)i=0,‎ 所以所以p=12,q=26,‎ 所以p+q=38.‎ 答案:38‎ ‎4.(12分)复数z1=+(a2-10)i,z2=+(‎2a-5)i,若z1+z2是实数,求实数a的值.‎ ‎ 导学号 ‎【解析】z1+z2=+(a2-10)i++(‎2a-5)i ‎=+[(a2-10)+(‎2a-5)]i ‎=+(a2+‎2a-15)i.‎ 因为z1+z2是实数,‎ 所以a2+‎2a-15=0,‎ 解得a=-5或a=3.‎ 因为a+5≠0,所以a≠-5,故a=3.‎ ‎5.(13分)已知复数z1=a+2i,z2=3-4i(a∈R,i为虚数单位). 导学号 ‎(1)若z1·z2是纯虚数,求实数a的值.‎ ‎(2)若复数z1·z2在复平面上对应的点在第二象限,且|z1|≤4,求实数a的取值范围.‎ ‎【解析】(1)z1·z2=(a+2i)·(3-4i)=(‎3a+8)+(-‎4a+6)i,‎ 因为z1·z2是纯虚数,故‎3a+8=0,‎ 且‎-4a+6≠0,故a=-.‎ ‎(2)|z1|≤4⇒a2+4≤16⇒a2≤12⇒-2≤a≤2,‎ 根据题意z1·z2在复平面上对应的点在第二象限,可得 即a<-,‎ 综上,实数a的取值范围为 ‎. ‎