【数学】2020届一轮复习北师大版数学归纳法的原理课时作业 5页

知识点一 数学归纳法的原理 ‎1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证(　　)‎ A．n＝1 B．n＝2‎ C．n＝3 D．n＝4‎ 答案　C 解析　由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．‎ ‎2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)‎ A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 答案　D 解析　结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.‎ ‎3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上(　　)‎ A．k2＋1‎ B．(k＋1)2‎ C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2‎ 答案　D 解析　当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故选D.‎ ‎4．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　)‎ A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 答案　B 解析　因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2，故选B.‎ 知识点二 用数学归纳法证明命题 ‎5.用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)．‎ 证明　(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.‎ 那么当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．‎ 根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．‎ ‎6．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝n(3n－1)(n∈N*)．‎ 证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝k(3k－1)．‎ 那么当n＝k＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]＝k(3k－1)＋(3k＋1)＝(3k2＋5k＋2)＝(k＋1)(3k＋2)＝(k＋1)[3(k＋1)－1]，‎ 即当n＝k＋1时等式也成立．‎ 根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．‎ 一、选择题 ‎1．证明“＜1＋＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)”，当n＝2时，中间的式子为(　　)‎ A．1 B．1＋ C．1＋＋ D．1＋＋＋ 答案　D 解析　当n＝2时，中间的式子为1＋＋＋＝1＋＋＋.故选D.‎ ‎2．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立⇒n＝k＋1时论断也成立”的过程中(　　)‎ A．必须运用假设 B．n可以部分地运用假设 C．可不用假设 D．应视情况灵活处理，A、B、C均可 答案　A 解析　由“n＝k时论断成立⇒n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．‎ ‎3．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是(　　)‎ A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立 D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均为f(k)≥k2成立 答案　D 解析　对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错；对于C，应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立”．‎ ‎4．已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明：‎ ‎(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立．‎ 由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立．判断以上评述(　　)‎ A．命题、推理都正确 B．命题正确、推理不正确 C．命题不正确、推理正确 D．命题、推理都不正确 答案　B 解析　推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.‎ ‎5．已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1,2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是(　　)‎ A．p(k)对k＝2004成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 答案　D 解析　由题意，知p(k)对k＝2,4,6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立．故选D.‎ 二、填空题 ‎6．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)，第一步要证的不等式是________．‎ 答案　1＋＋<2‎ 解析　当n＝2时，左边为1＋＋＝1＋＋，右边为2.故应填1＋＋<2.‎ ‎7．若存在常数a，b，使等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an＋b)对n∈N*都成立，则a、b的值分别为________、________.‎ 答案　3　5‎ 解析　因为存在常数a、b，使等式对所有的正整数都成立，所以当n＝1,2时等式都成立，所以得a＋b＝8,2a＋b＝11，解得a＝3，b＝5.‎ ‎8．用数学归纳法证明不等式“＋＋…＋＞”的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．‎ 答案　 解析　本题主要考查数学归纳法中从k到k＋1的递推关系．不等式的左边增加的式子是＋－＝.‎ 三、解答题 ‎9．用数学归纳法证明：‎ …＝(n∈N*)．‎ 证明　(1)当n＝1时，‎ 左边＝1－＝，‎ 右边＝＝，故等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)等式成立，‎ 即·…·＝.‎ 当n＝k＋1时，·…· ‎＝ ‎＝＝，‎ 故当n＝k＋1时等式成立．‎ 由(1)(2)可知对于n∈N*等式都成立．‎ ‎10．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N*)，‎ 求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)．‎ 证明　(1)当n＝2时，S2n＝1＋＋＋＝>1＋，即当n＝2时命题成立．‎ ‎(2)设当n＝k(k≥2)时命题成立，即 S2k＝1＋＋＋…＋>1＋，‎ 当n＝k＋1时，‎ S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，‎ 故当n＝k＋1时，命题也成立．‎ 由(1)(2)可知，当n∈N*，n≥2时，不等式S2n>1＋都成立．‎