浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第6节空间向量及其运算课件 31页

第 6 节　空间向量及其运算 考试要求　 1. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，了解空间向量的正交分解及其坐标表示； 2. 了解空间向量的线性运算及其坐标表示； 3. 了解空间向量的数量积及其坐标表示； 4. 掌握空间两点间的距离公式，会求向量的长度、两向量的夹角 . 知 识 梳 理 1 . 空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模 为 的 向量 0 单位向量 长度 ( 模 ) 为 1 的向量   相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝ b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a 的相反向量为－ a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a ∥ b 共面向量 平行于同一个平面的向量   0 2. 空间向量中的有关定理 (1) 共线向量定理 空间两个向量 a ( a ≠ 0 ) 与 b 共线的充要条件是存在实数 λ ，使得 . b ＝ λ a x a ＋ y b 1 λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 ＋ λ 3 e 3 [0 ， π] | a || b |cos 〈 a ， b 〉 | a || b |cos 〈 a ， b 〉 (2) 空间向量数量积的运算律 ① 结合律： ( λ a )· b ＝ ； ② 交换律： a·b ＝ b·a ； ③ 分配律： a ·( b ＋ c ) ＝ a·b ＋ a·c . λ ( a·b ) 4 . 空间向量的坐标表示及其应用 设 a ＝ ( a 1 ， a 2 ， a 3 ) ， b ＝ ( b 1 ， b 2 ， b 3 ). ———————————— ———————— —————— a 1 b 1 ＋ a 2 b 2 ＋ a 3 b 3 a 1 ＝ λb 1 ， a 2 ＝ λb 2 ， a 3 ＝ λb 3 a 1 b 1 ＋ a 2 b 2 ＋ a 3 b 3 ＝ 0 诊 断 自 测 1. 判断下列说法的正误 . (1) 空间中任意两非零向量 a ， b 共面 .( 　　 ) (2) 对任意两个空间向量 a ， b ，若 a·b ＝ 0 ，则 a ⊥ b .( 　　 ) (3) 若 { a ， b ， c } 是空间的一个基底，则 a ， b ， c 中至多有一个零向量 .( 　　 ) (4) 若 a·b ＜ 0 ，则〈 a ， b 〉是钝角 .( 　　 ) 解析　 对于 (2) ，因为 0 与任何向量数量积为 0 ，所以 (2) 不正确；对于 (3) ，若 a ， b ， c 中有一个是 0 ，则 a ， b ， c 共面，所以 (3) 不正确；对于 (4) ，若〈 a ， b 〉＝ π ，则 a · b <0 ，故 (4) 不正确 . 答案 　 (1) √ 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 2. 在空间直角坐标系中， A (1 ， 2 ， 3) ， B ( － 2 ，－ 1 ， 6) ， C (3 ， 2 ， 1) ， D (4 ， 3 ， 0) ，则直线 AB 与 CD 的位置关系是 ( 　　 ) A. 垂直 B . 平行 C. 异面 D . 相交但不垂直 答案　 B 答案　 A 答案　 ( － 4 ， 3 ， 2) 6. 已知 i ， j ， k 为两两垂直的单位向量，非零向量 a ＝ a 1 i ＋ a 2 j ＋ a 3 k ( a 1 ， a 2 ， a 3 ∈ R ) ，若向量 a 与向量 i ， j ， k 的夹角分别为 α ， β ， γ ，则 cos 2 α ＋ cos 2 β ＋ cos 2 γ ＝ ________. 答案　 1 规律方法 　 (1) 选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求 . 用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算 . (2) 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则 . 提醒 　 空间向量的线性运算类似于平面向量中的线性运算 . 答案　 B 所以 M ， A ， B ， C 四点共面 . 从而点 M 在平面 ABC 内 . 【训练 2 】 (1) 若 A ( － 1 ， 2 ， 3) ， B (2 ， 1 ， 4) ， C ( m ， n ， 1) 三点共线，则 m ＋ n ＝ ________. (2) 已知空间四点 A ( － 2 ， 0 ， 2) ， B ( － 1 ， 1 ， 2) ， C ( － 3 ， 0 ， 4) ， D (1 ， 2 ， t ) ，若四点共面，则 t 的值为 ________. ∴ m ＝－ 7 ， n ＝ 4 ， ∴ m ＋ n ＝－ 3. 答案　 (1) － 3 　 (2)0