2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第11章 11 11页

www.ks5u.com ‎11.2　平面的基本事实与推论 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.掌握平面的画法及表示方法．(一般)‎ ‎2．掌握平面的基本事实及推论．(重点)　‎ ‎3．能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题．(难点)‎ ‎1.通过平面画法的学习，培养直观想象的数学核心素养．‎ ‎2．借助平面基本事实及推论，培养逻辑推理的数学核心素养.‎ ‎　‎ 通过前面的学习，我们直观认识了点、线、面之间的位置关系，空间中的点、线、面都是我们抽象出来的一些数学概念，如从平静的水面中可抽象出平面的概念．现在我们将在直观认识的基础上来论证空间点、线、面之间的关系，以进一步培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力．‎ 思考：空间中的3个点需具备怎样的条件才能确定一个平面？‎ ‎1．平面的基本事实 公理 内容 图形 符号 作用 基本事实1‎ 经过不在一条直线上的3个点，‎ A，B，C三点不共线⇒‎ ‎①确定平面的依据；‎ 有且只有一个平面 存在唯一的平面α使A，B，C∈α ‎②判定点、线共面 基本事实2‎ 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈α，B∈α⇒直线AB⊂α ‎①判定直线是否在平面内；‎ ‎②判断一个面是否是平面 基本事实3‎ 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ‎①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上；‎ ‎③证明三点共线或三线共点 ‎2.平面基本事实的推论 推论1　经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面(图①)．‎ 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．‎ 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)三点可以确定一个平面． (　　)‎ ‎(2)一条直线和一个点可以确定一个平面． (　　)‎ ‎(3)四边形是平面图形． (　　)‎ ‎(4)两条相交直线可以确定一个平面． (　　)‎ ‎[提示]　(1)错误．不共线的三点可以确定一个平面．‎ ‎(2)错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．‎ ‎(3)错误．四边形不一定是平面图形．‎ ‎(4)正确．两条相交直线可以确定一个平面．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为 (　　)‎ A．平面MN　 B．平面NQ C．平面α D．平面MNPQ A　[MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.]‎ ‎3．能确定一个平面的条件是(　　)‎ A．空间三个点 B．一个点和一条直线 C．无数个点 D．两条相交直线 D　[不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．]‎ ‎4．如图，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD______平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.‎ ‎[答案]　∈　∉　⊄　AC 线共点问题 ‎【例1】　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．‎ ‎[证明]　因为在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰．‎ 所以AB，CD必定相交于一点．‎ 设AB∩CD＝M.‎ 因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β.‎ 所以M∈α∩β.‎ 又因为α∩β＝l，所以M∈l.‎ 即AB，CD，l共点(相交于一点)．‎ 证明线共点问题的方法 ‎(1)方法1：可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上．‎ ‎(2)方法2：先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．‎ ‎1．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证：‎ ‎(1)E，F，H，G四点共面．‎ ‎(2)EG与HF的交点在直线AC上．‎ ‎[证明]　(1)因为BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，所以GH∥BD．‎ 因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH.‎ 所以E，F，H，G四点共面．‎ ‎(2)因为G，H不是BC，CD的中点，‎ 所以EF∥GH，且EF≠GH，‎ 所以EG与FH必相交，设交点为M，‎ 因为EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD，因为平面ABC∩平面ACD＝AC，‎ 所以M∈AC，‎ 所以EG与HF的交点在直线AC上．‎ 点、线共面问题 ‎【例2】　已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内．‎ ‎[思路探究]　四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况．‎ ‎[解]　已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面．‎ 证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，‎ ‎∴经过d与点O有且只有一个平面α.‎ ‎∵A，B，C分别是d与a，b，c的交点，‎ ‎∴A，B，C三点在平面α内．‎ 由基本事实1知a，b，c都在平面α内，‎ 故a，b，c，d共面．‎ ‎(2)若a，b，c，d无三线共点，如图所示，‎ ‎∵a∩b＝A，‎ ‎∴经过a，b有且仅有一个平面α，‎ ‎∴B，C∈α.由基本事实1知c⊂α.‎ 同理，d⊂α，从而有a，b，c，d共面．‎ 综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．‎ 证明点、线共面问题的常用方法 ‎(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用纳入法．‎ ‎(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用同一法．‎ ‎(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用反证法．‎ ‎2．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．‎ ‎[解]　已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．‎ 求证：直线a，b，c，l共面．‎ 证明：法一：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，‎ ‎∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故l⊂α.‎ 又∵a∥c，∴a，c确定一个平面β.‎ 同理可证l⊂β，∴α∩β＝a且α∩β＝l.‎ ‎∵过两条相交直线a，l有且只有一个平面，‎ 故α与β重合，即直线a，b，c，l共面．‎ 法二：由法一得a，b，l共面α，也就是说b在a，l确定的平面α内．‎ 同理可证c在a，l确定的平面α内．‎ ‎∵过a和l只能确定一个平面，∴a，b，c，l共面．‎ 点共线问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．如图，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，设A‎1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？‎ ‎[提示]　如图，连接BD1，‎ ‎∵A‎1C∩平面ABC1D1＝E，‎ ‎∴E∈A‎1C，E∈平面ABC1D1.‎ ‎∵A‎1C⊂平面A1BCD1，‎ ‎∴E∈平面A1BCD1.‎ ‎2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？‎ ‎[提示]　由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据基本事实3可知B，E，D1三点共线．‎ ‎【例3】　如图，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．‎ ‎[证明]　因为MN∩EF＝Q，‎ 所以Q∈直线MN，Q∈直线EF，‎ 又因为M∈直线CD，N∈直线AB，‎ CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD．‎ 所以M，N∈平面ABCD，‎ 所以MN⊂平面ABCD．所以Q∈平面ABCD．‎ 同理，可得EF⊂平面ADD‎1A1.所以Q∈平面ADD‎1A1.‎ 又因为平面ABCD∩平面ADD‎1A1＝AD，‎ 所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．‎ 点共线的证明方法 ‎(1)方法1：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上．‎ ‎(2)方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在此直线上．‎ ‎3．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．‎ ‎[证明]　因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，因为AB∩α＝E，所以E∈平面AC，E∈α，由基本事实3可知，E必在平面AC与平面α的交线上．同理F，G，H都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．‎ 确定两平面的交线(截面)问题 ‎【例4】　如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若RP，DC的延长线交于点M，试画出平面PQR与平面BCD的交线．‎ ‎[解]　∵M∈CD，M∈RP，直线PR⊂平面PQR，直线CD⊂平面BCD，∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即点M在平面PQR与平面BCD的交线l上．‎ 同理，设RQ，DB的延长线交于点N，则点N也在l上．连接MN，则直线MN即为平面PQR与平面BCD的交线l.如图所示．‎ 确定两平面交线的方法 画两个平面的交线只需两个公共点即可确定，作图时应充分利用几何体本身提供的线面、面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．另外，画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，转化为画两个平面的交线问题．‎ ‎4．已知正方体ABCDA1B‎1C1D1的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，点N为线段CC1的中点．若平面AMN截正方体ABCDA1B‎1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM长度的取值范围为(　　)‎ A． B． C． D． B　[当点M为线段BC的中点时，由题意可得截面为四边形AMND1.当0＜BM≤时，截面为四边形，当BM＞时，截面为五边形．所以要想平面AMN截正方体ABCDA1B‎1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM长度的取值范围为.故选B．]‎ 知识：‎ 三个基本事实的作用 基本事实1及平面基本事实的推论——确定平面及判定点共面、线共面的依据．‎ 基本事实2——判定直线在平面内的依据．‎ 基本事实3——判定点共线、线共点的依据．‎ 方法：‎ 了解三线共点、三点共线、点线共面的证明方法，详见例题后的规律方法，此处不再赘述．‎ ‎1．在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是(　　)‎ A．黑板面　　 B．乒乓球桌面 C．篮球的表面 D．平静的水面 C　[篮球的表面是曲面，不能认为是平面的一部分．]‎ ‎2．空间中四点可确定的平面个数有(　　)‎ A．1个 B．3个 C．4个 D．1个或4个或无数个 D　[当四个点共线时，确定无数个平面；当四个点不共线时，若四点共面，可确定1个平面，若四点不共面，可确定4个平面，∴空间中四点可确定的平面有1个或4个或无数个．]‎ ‎3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.‎ C　[∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C．]‎ ‎4．如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．‎ 求证：a，b，c三条直线必过同一点．‎ ‎[证明]　∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ.‎ 由于直线a和b不平行，‎ ‎∴a，b必相交．‎ 设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.‎ ‎∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.‎ 又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.‎ ‎∴a，b，c三条直线相交于同一点．‎