云南省红河州2021届高三毕业生上学期第一次复习统一检测（12月）数学（理）试题 8页

理科数学试卷·第 1页（共 8页） 秘密★启用前 【考试时间：12 月 17 日 15∶00 — 17∶00】 红河州 2021 届高中毕业生第一次复习统一检测 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号 填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号， 在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写 在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．设全集  * 6U x x  N ，集合  1,2A  ，  3,5B  ，则 U A B ð A． 3,5 B． 2,3,5 C． 3,4,5 D． 1,3,5 2．已知  21 i 1 iz    （i 为虚数单位），则复数 z 等于 A．1 i B．1 i C． 1 i  D． 1 i  3．一批零件的次品率为 0.03，从这批零件中每次随机取一件，有放回地抽取 10 次， X 表 示抽到的次品件数，则  D X 的值为 A． 0.291 B． 0.0291 C． 0.3 D． 0.03 理科数学试卷·第 2页（共 8页） 4．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高 的 2 倍，且圆锥的母线长是 4，侧面积是 4 ，则制作这样一个粮仓的用料面积为 A． 15 4  B． 2 15 4  C． 3 15 4  D． 4 15 4  5．设O 为坐标原点，直线 x a 与双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的两条渐近线分别 交于 D 、 E 两点，若 ODE△ 的面积为 9 2 ，则 C 的焦距的最小值为 A．3 B． 6 C．9 D．18 6．已知向量  1,1 m ，  2,2 n ， 若   2   m n m n ，则  的值为 A． 8 3  B． 11 3  C． 1 D． 2 7．记等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 5 35S S ，且 3 4 8a a  ，则 5a 的值为 A． 3 B． 5 C． 7 D．10 8．已知一块木板上有三个孔洞，则能够塞住这三个孔洞的塞子可能是 A． B． C． D． 理科数学试卷·第 3页（共 8页） 9．设 nS 是数列 na 的前 n 项和，若点 ,n nS a 在直线 2 1y x  ，则 13a 的值为 A． 3 B． 2 C． 1 D．1 10．直线  02 0 0,1ax by a b    过函数 2 2 2y x x   图象的顶点，则 1 1 a b  的最 小值为 A．3 2 2 B． 2 3 2 C．1 2 3 D．  2 1 3 11．已知抛物线  2 2 0y px p  的焦点为 F ，准线为 l ，过点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点，过点 A 作准线 l 的垂线，垂足为 E ，当 A 点的坐标为 13 3, y 时， AEF△ 为 正三角形，则此时 OAB△ 的面积为 A． 4 3 B．3 3 C．5 3 D． 6 3 12．已知函数 2 2 , 0( ) ln( 1), 0 x x xf x x x      ≤ ，若函数 2( ) ( ) 3g x f x mx m    有四个零点，则 实数 m 的取值范围是 A． 1 32 ,e3      B． 1 32 ,e3       C． 1 32 ,e3       D． 1 3 2e , 3       理科数学试卷·第 4页（共 8页） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．设变量满足约束条件 2 2 0 1 x y x y y       ≥0 ≤ ≤ ，则目标函数 2z x y  的最大值为________ . 14．在 61ax x     的二项展开式中，常数项为 160，则 a 的值为________ . 15．设 A , B ,C , D 为球O 球面上的四个点，满足 2AB AC BC   ， 3DC BD  . 若四面体 ABCD 的表面积为3 3 2 ，则球O 的表面积为________ . 16．若函数 ( ) sin 2 3f x x       在 ,a a 上的值域为 1,1 ，则 a 的最小值为_______ . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17．（12 分） 在锐角 ABC△ 中，角 A , B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,  2 ,a c b m ，  cos ,cosB An 且 m n . （1）求角 B ； （2）若 2b  ，求 ABC△ 的面积的最大值. 理科数学试卷·第 5页（共 8页） 18．（12 分） 随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，特别是每年的“双十一”，天 猫的交易额数目惊人。2020 年天猫公司的工作人员为了迎接天猫“双十一”年度购物狂欢 节，加班加点做了大量准备活动，截止 2020 年 11 月 11 日 24 时，2020 年的天猫“双十一” 交易额定格在 3700 多亿元，天猫总公司所有员工对于新的战绩皆大欢喜，同时又对 2021 年充满了憧憬，因此公司工作人员反思从 2014 年至 2020 年每年“双十一”总交易额（取近 似值），进行分析统计如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码（t ） 1 2 3 4 5 6 7 总交易额 y （单位：百亿） 5.7 9.1 12.1 16.8 21.3 26.8 37 （1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合总交易额 y 与年份代码 t 的关系，请用相关系 数加以说明； （2）利用最小二乘法建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.1），预测 2021 年天猫“双十 一”的总交易额. 参考数据： 7 1 ( )( ) 138.5i i i t t y y     ，  7 2 1 26.7i i y y    ， 7 2.646 ； 参考公式：相关系数        1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i t t y y r t t y y            ； 回归方程 y bt a      中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：      7 1 1 7 2 22 1 1 n i i i i i i n i i i i t t y y t y nxy b t t t nx                 ， =a y bt    . 理科数学试卷·第 6页（共 8页） 19．（12 分） 如图：四边形 ABCD 为菱形， 120ABC   ，四边形 BDFE 为矩形，平面 BDFE  平面 ABCD ，点 P 在 AD 上， EP BC . （1）证明： AD  平面 BEP ； （2）若 EP 与平面 ABCD 所成角为 60 ，求二面角C PE B  的余弦值. 20．（12 分） 已知焦点在 x 轴的椭圆C 的方程为： 2 2 2 16 125 x y a   ，A 、B 分别为椭圆C 的左右顶点， G 为C 的上顶点， 375 16AG GB   . （1）求C 的方程； （2）若点 P 在C 上，点Q 在直线 6x  上，且 BP BQ ，BP BQ ，求 APQ△ 的面积. 理科数学试卷·第 7页（共 8页） 21．（12 分） 已知函数    cos e .xf x x a x a   R （1）当 1a  时，证明：  f x 在区间 0,2 上不存在零点； （2）若 0 1a＜ ≤ ，试讨论函数    cosg x a x f x    的零点个数. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第 一题记分. 22．［选修 44  ：坐标系与参数方程］（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 1 cos 1 sin x t y t        ，（t 为参数，0  ≤ ＜ ）， 以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 2 12 3 sin    ， 直线l 与曲线C 的交点为 A , B . （1）若 2    ，求 AB ； （2）设点 (1,1)P ，求 PA PB PA PB   的最小值. 理科数学试卷·第 8页（共 8页） 23．［选修 54  ：不等式选讲］（10 分） 已知 ( ) 10f x x x   ， ( ) 10g x x x   （1）若 ( ) ( )g x m f x≤ ≤ 恒成立，求 m 的值； （2）在（1）的条件下，若正数 a ,b 满足 4 3a b m  ，求 1 3 1 2a b   的最小值.