云南省红河州2020届高三高考数学（文科）一模试题 Word版含解析 21页

‎2020年云南省红河州高考数学一模试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1. 设集合，，则 A. {1,3} B. {3,5} C. {5,7} D. {1,7}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：集合与集合的公共元素有3，5，故，故选B.‎ ‎【考点】集合的交集运算 ‎【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题的形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算,如果是不等式的解集、函数的定义域及值域等有关数集之间的运算,常借助数轴求解.‎ ‎2. 设，则（）‎ A. 0 B. 1 C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将分母实数化，然后直接求其模．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题．‎ ‎3. 下图为某地区2007年~2019年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．‎ - 21 -‎ 根据该折线图，下列结论正确的是（ ）‎ A. 财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B. 财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同 C. 财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量 D. 城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图可知财政预算内收入08、09、10没有明显变化，即可判断出真假．‎ ‎【详解】由图知，财政预算内收入08、09、10没有明显变化，‎ 故A错、B、C明显也错．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查折线图的理解和应用，考查学生的识图能力，属于容易题．‎ ‎4. 若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A. 1 B. -2 C. -5 D. -7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.‎ ‎【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线 到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值为.‎ - 21 -‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎5. 设，则f[f(11)]的值是（ ）‎ A. 1 B. e C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分段函数解析式，结合对数函数及指数函数求值即可.‎ ‎【详解】解：由分段函数解析式可得：，‎ 则，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数求值问题，重点考查了对数函数及指数函数求值问题，属基础题.‎ ‎6. 数列是等差数列，，且构成公比为q的等比数列，则（ ）‎ A. 1或3 B. 0或2 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ 设出等差数列的公差，由，，构成公比为q的等比数列，列式求出公差，可得选项.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为d，∵构成公比为q的等比数列，∴，‎ 即，解得或2，‎ 所以或，所以或3，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，属于基础题．‎ ‎7. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=( ) ‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 开始，输入，‎ 则，判断，否，循环，，‎ 则，判断，否，循环， ‎ 则，判断，否，循环， ‎ 则，判断，是，输出，结束.故选择C.‎ - 21 -‎ ‎8. 要得到函数的图象，只需将函数的图象经过下列两次变换，则下面结论正确的是（ ）‎ A. 先将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再将所得图象向右平移个单位长度 B. 先将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度 C. 先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍 D. 先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的图象变换规律，可选出答案.‎ ‎【详解】得函数的图象，有两种方法，‎ 方法一：‎ 先将的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，‎ 再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象；‎ 方法二：‎ 先将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，‎ 再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数的图象．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ - 21 -‎ 三角函数的图象变换，可以“先平移，后伸缩”，也可以“先伸缩，后平移”，两种方法都要熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.‎ ‎9. 已知双曲线的右焦点为，第一象限内的点在双曲线的渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先过作于点，利用点到直线的距离公式得到，根据得到，再计算的面积即可.‎ ‎【详解】如图，过作于点，渐近线方程为，.‎ 则，‎ 因为，所以，为中点.‎ 因为，所以，.‎ 则.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.‎ ‎10. 在棱长为2的正方体中，点M是棱AD上一动点，则下列选项中不正确的是（ ）‎ - 21 -‎ A. 异面直线与所成角的大小 B. 直线与平面一定平行 C. 三棱锥的体积为定值4‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A.通过平移找出异面直线AD1与A1B所成角为，求之即可；‎ B.利用面面平行的性质定理即可判断；‎ C.根据棱锥体积公式求之即可； ‎ D.利用线面垂直的性质定理即可判断．‎ ‎【详解】A.因为，所以（或补角）为异面直线与所成的角，‎ 为等边三角形所以，‎ 得异面直线与所成的角的大小为，正确；‎ B.平面平面，平面，‎ 所以平面，正确；‎ C.，错误；‎ D.正方体中，平面，‎ 平面，所以，正确，‎ 故选:C．‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查空间立体几何综合，涉及异面直线的夹角、线面平行、线线垂直、棱锥体积等问题，灵活运用空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生空间立体感和推理论证能力，属于基础题．‎ ‎11. 函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是 A. f(bx)≤f(cx) B. f(bx)≥f(cx)‎ C. f(bx)>f(cx) D. 与x有关，不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由f（1+x）＝f（1﹣x）推出函数关于直线x＝1对称，求出b，f（0）＝3推出c的值，x≥0，x＜0确定f（bx）和f（cx）的大小．‎ ‎【详解】∵f（1+x）＝f（1﹣x），‎ ‎∴f（x）图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2．‎ 又f（0）＝3，‎ ‎∴c＝3．‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．‎ 若x≥0，则3x≥2x≥1，‎ ‎∴f（3x）≥f（2x）．‎ 若x＜0，则3x＜2x＜1，‎ ‎∴f（3x）＞f（2x）．‎ ‎∴f（3x）≥f（2x）．‎ 故选A．‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题是中档题，考查学生分析问题解决问题的能力，基本知识掌握的熟练程度，利用指数函数、二次函数的性质解决问题．‎ ‎12. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设椭圆的方程为，双曲线方程为，点在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义得到：，，从而得到，，利用余弦定理得到，从而得到，再利用基本不等式即可得到答案。‎ ‎【详解】设椭圆的方程为，‎ 双曲线方程为，点在第一象限，‎ 由椭圆和双曲线的定义得：，，‎ 解得，，‎ 在中，由余弦定理得：‎ ‎，‎ 即：‎ 整理得：。‎ - 21 -‎ 所以，，即，‎ 当且仅当时，等号成立．‎ 故，所以的最大值为。‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的离心率，同时考查了基本不等式，属于中档题。‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 某学校美术室收藏有4幅国画，分别为山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得基本事件总数，再求得其中恰好抽到2幅不同种类不同的取法，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，从四幅国画中随机抽取2幅，共有种不同的取法，‎ 其中恰好抽到2幅不同种类的共有种不同的取法，‎ 所以恰好抽到2幅不同种类的概率为．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了组合数的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中求得基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.‎ ‎14. 设向量，，，且，则____________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ 首先求出，再根据即可得到答案.‎ ‎【详解】，，解得．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于简单题.‎ ‎15. 已知圆柱的高为，侧面积为，它的两个底面的圆周在球心为O，半径为R的同一个球的球面上，则该球O的表面积为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆柱的侧面积公式，求得圆柱底面圆的半径，再结合球的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】如图所示，设圆柱的底面圆的半径为，‎ 由圆柱的侧面积，解得，‎ 外接球的半径，‎ 球的表面积为．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题球的组合体几何结构特征，球的截面圆的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，熟练应用球的截面圆的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及运算求解能力.‎ ‎16. 已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，满足，‎ - 21 -‎ ‎，且．若对，恒成立，则实数的最小值为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，解得，当时，由化简得，利用累乘法求得，进而得，利用裂项求和法得，因此利用对，恒成立即可求解.‎ ‎【详解】解析：当时，，解得．‎ 当时，由，得．‎ 依据叠乘法（累乘法）可得．‎ 由，得，‎ 于是 ‎．‎ 由于对，恒成立，，‎ 故实数的最小值为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.‎ - 21 -‎ 三、解答题（本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 一微商店对某种产品每天的销售量（件）进行为期一个月的数据统计分析，并得出了该月销售量的直方图（一个月按30天计算）如图所示.假设用直方图中所得的频率来估计相应事件发生的概率. ‎ ‎（1）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（2）求日销量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）若微商在一天的销售量超过25件（包括25件），则上级商企会给微商赠送100元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数.‎ ‎【答案】（1）0.02；（2）22.5；（3）10800元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图概率和为1，列出方程求a的值；（2）由频率分布直方图均值计算公式：每个条形图中点的坐标乘高，然后求和为平均值；（3）先根据频率分布直方图计算出日销售量超过25件的天数，然后估计一年内获得的礼金数.‎ ‎【详解】（1）由题意可得 ‎（2）根据已知的频率分布直方图，日销售量的平均值为 ‎.‎ ‎（3）根据频率分布直方图，日销售量超过25件（包括25件）的天数为 ‎，可获得的奖励为900元，‎ 依次可以估计一年内获得的礼金数为元.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的概念，平均值的计算方法以及由频率估计整体，属于基础题.‎ ‎18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求点A与平面PBC的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平面ABCD，可得，结合，可证明平面PCD，进而可证明；‎ ‎（2）设点到平面的距离为，由，得，进而可求出.‎ ‎【详解】（1）∵平面ABCD，平面ABCD，∴，‎ ‎∵，∴，‎ 又∵，平面，∴平面PCD，‎ ‎∵平面PBC，∴．‎ ‎（2）设点到平面的距离为，连结，则，‎ ‎∵平面ABCD，∴为三棱锥的高，‎ ‎∵，，∴，‎ 则，‎ - 21 -‎ 在直角△中，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即.‎ 所以点到平面的距离为2．‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面垂直的性质，考查利用等体积法求点面距离，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.‎ ‎19. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求面积最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用正弦定理进行边化角，整理得，根据角A的范围即可确定角A；（Ⅱ）利用正弦定理用a、b、c表示出、带入所给等式得到关于边的式子①，再利用余弦定理表示出，两式联立可求出边a，a的值带入①式利用基本不等式可求得的范围，从而求得面积的最大值.‎ - 21 -‎ ‎【详解】（Ⅰ）由及正弦定理得：‎ ‎，‎ 因为，，所以，，‎ 所以，又，所以；‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理，‎ ‎，，‎ 由得：‎ ‎，‎ 即①，由余弦定理得，‎ ‎，则，解得，‎ 带入①式可得，‎ 即，得，当且仅当时，取等号，‎ ‎，面积的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、利用基本不等式求三角形中的范围问题，属于中档题.‎ ‎20. 已知M是抛物线上一点，F是抛物线C的焦点，．‎ ‎（Ⅰ）求直线MF的斜率；‎ ‎（Ⅱ）已知动圆E的圆心E在抛物线C上，点在圆E上，且圆E与y轴交于A，B两点，令，，求最大值．‎ - 21 -‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用点到焦点距离等于到准线的距离解出点的横坐标，继而得到纵坐标，然后计算直线的斜率；‎ ‎（2）设出动圆的圆心，表示出圆的标准方程，解出圆与的交点坐标，得出和，然后求其最大值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设，∵，‎ ‎∴，∴‎ 且，‎ 所以直线MF的斜率为；‎ ‎（Ⅱ）设圆心，圆E的方程为，‎ 化解得，‎ 令得，‎ 即，‎ 所以或，‎ 不妨设，‎ ‎，‎ - 21 -‎ 当且仅当，即时，取“=”，‎ 所以的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义、圆的方程及有关线段长度比值的最值问题，题目较难.解答时，抛物线的焦点弦长问题紧扣抛物线定义求解；第二问的解答关键在于写出圆的方程并表示目标式，难点在于利用基本不等式求解的最大值.‎ ‎21. 已知函数 ‎（1）若函数f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x-y=0平行，求实数a的值；‎ ‎（2）当a=2，k为整数，且当x>1时，求k的最大值.‎ ‎【答案】（1）a=e-1‎ ‎（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导，再由即可得解；‎ ‎（2）当，且当时，等价于当时，，再构造函数，利用导数求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）由，则，‎ 又函数f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x-y=0平行，‎ 则，‎ 所以； ‎ ‎（2）当，且当时，等价于 当时， ‎ - 21 -‎ 令，则， ‎ 再令，则，‎ 所以，在上单调递增，且，‎ 所以，在(1，2)上有唯一的零点，设该零点为，则，且，‎ 当时，，即；当时，，即，‎ 所以，在单调递减，在单调递增，‎ 所以，，‎ 而，故且，‎ 又为整数，‎ 所以的最大值为2.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了导数的综合应用，属中档题.‎ 选考题：请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设A，B为曲线C上两点（均不与O重合），且满足，求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由曲线C的参数方程，消去参数得到曲线C的普通方程，再由 - 21 -‎ ‎，即可求得曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设，则，得到，，进而求得，结合三角函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（为参数），‎ 消去参数，可得曲线C的普通方程为，即，‎ 又由，可得曲线C的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，则，故，‎ ‎∵点在曲线C上，∴，，‎ ‎∴‎ ‎∴当时，取到最大值．‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及曲线的极坐标方程的应用，注重考查推理与运算能力.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23. 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集M；‎ ‎（Ⅱ）若m为M中的最大元素，正数a，b满足．，证明．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ ‎（1）由题意得，利用分类讨论法即可求出答案；‎ ‎（2）由题意得，则，则，再根据基本不等式即可证明．‎ ‎【详解】（Ⅰ），‎ 由得；由得；由得，‎ 综上所述，‎ ‎（Ⅱ）∵m为M中的最大元素，∴，∴，‎ ‎（当且仅当，时，或，时等号成立），‎ 即．‎ ‎【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式的解法，考查利用基本不等式证明不等式，考查计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ - 21 -‎