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- 2021-06-16 发布
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第 4 课时 三角函数线
课时目标
借助单位圆理解任意角三角函数定义(正弦、余弦、正切).
识记强化
1.在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.
2.利用单位圆定义求任意角的三角函数.设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P(x,y),那么:
(1)y 叫做α的正弦,记作 sinα,即 sinα=y;
(2)x 叫做α的余弦,记作 cosα,即 cosα=x;
(3)y
x
叫做α的正切,记作 tanα,即 tanα=y
x(x≠0).
3.三角函数线
图中有向线段 MP,OM,AT 分别表示正弦线、余弦线和正切线.
课时作业
一、选择题
1.已知有向线段 MP、OM、AT 分别是 60°角的正弦线,余弦线,正切线,则一定有
( )
A.MP<OM<AT
B.OM<MP<AT
C.AT<OM<MP
D.OM<AT<MP
答案:B
解析:画出三角函数线可作出判断.
2.下列判断错误的是( )
A.角α一定时,单位圆中的正弦线一定
B.在单位圆中,有相同正弦线的角相等
C.角α与角α+π有相同的正切线
D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
答案:B
3.已知角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等,且符号相异,那么α的值为( )
A.π
4 B.3π
4
C.5π
4 D.3π
4
或7π
4
答案:D
解析:依题意,角α的终边是第二、四象限角的平分线.
4.已知角α的正弦线的长度为单位长度,那么角α的终边( )
A.在 x 轴上 B.在 y 轴上
C.在直线 y=x 上 D.在直线 y=-x 上
答案:B
解析:当角α的正弦线的长度为单位长度,即单位圆的半径,此时角α的终边在 y 轴上.
5.sin1,cos1,tan1 的大小关系是( )
A.sin1<cos1<tan1
B.sin1>tan1>cos1
C.cos1<sin1<tan1
D.tan1<sin1<cos1
答案:C
解析:作出角 1 的正弦线 MP,余弦线 OM 和正切线 AT,比较大小可知:OM<MP<
AT.所以 sin1、cos1、tan1 从小到大排列顺序为 cos1<sin1<tan1(如图所示).
6.在(0,2π)内,使 sinα>cosα成立的α的取值范围是( )
A.
π
4
,π
2 ∪ π,5π
4
B.
π
4
,π
C.
π
4
,5π
4
D.
π
4
,π ∪
5π
4
,3π
2
答案:C
解析:如图所示,当α∈
π
4
,5π
4 时,恒有 MP>OM,而当α∈ 0,π
4 ∪
5π
4
,2π 时,则是
MP0,cosα≤0,则实数 a 的取值范围是
________.
答案:(-2,3]
解析:∵点(3a-9,a+2)在角α的终边上,sinα>0,cosα≤0,∴ a+2>0
3a-9≤0
,解得-
20,
sin2π
5 >0,且 tan7π
5
=tan2π
5
,∵0<2π
5 <π
2
,sin2π
5 -1
2
且 cosx>1
2
;
(2)tanx≥-1.
解:
(1)由图①,知当 sinx>-1
2
且 cosx>1
2
时,
角 x 满足的集合为
x-π
6
+2kπsinθ>sinπ
4
= 2
2
,tanθ>tanπ
4
=1.
13.已知 0<α<π
2
,求证:
(1)sinα+cosα>1;
(2)sinα<αOP,∴sinα+cosα>1.
(2)连接 PA,
则 S△POA=1
2OA·MP,S 扇形 AOP=1
2OA2·α,
S△OTA=1
2OA·AT.又∵S△POA
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