人教版高中数学选修4-5练习：第四讲4-1数学归纳法word版含解析 6页

第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法 A 级 基础巩固 一、选择题 1．设 f(n)＝1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 3n－1(n∈N＋)，则 f(n＋1)－f(n)等于 ( ) A. 1 3n＋2 B. 1 3n ＋ 1 3n＋1 C. 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 D. 1 3n ＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 解析：因为 f(n)＝1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 3n－1 ， 所以 f(n＋1)＝1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 3n－1 ＋ 1 3n ＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2. 所以 f(n＋1)－f(n)＝ 1 3n ＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2. 答案：D 2．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 1 2n(n－3)条时，第 一步检验第一个值 n0 等于( ) A．1 B．2 C．3 D．0 解析：边数最少的凸 n 边形是三角形． 答案：C 3．在数列{an}中，已知 a1＝1，当 n≥2 时，an＝an－1＋2n－1.依次 计算 a2，a3，a4 后，猜想 an 的表达式是( ) A．3n－2 B．n2 C．3n－1 D．4n－3 解析：由条件知：a2＝a1＋2×2－1＝22， a3＝a2＋2×3－1＝32， a4＝a3＋2×4－1＝42，猜想 an＝n2. 答案：B 4．一个与自然数 n 有关的命题，当 n＝2 时命题成立，且由 n＝k 时命题成立推得当 n＝k＋2 时命题也成立，则( ) A．该命题对于 n＞2 的自然数 n 都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与 k 取什么值无关 D．以上答案都不对 解析：由题意当 n＝2 时成立可推得 n＝4，6，8，…都成立，因 此该命题对所有正偶数都成立． 答案：B 5．对于数 25，规定第 1 次操作为 23＋53＝133，第 2 次操作为 13 ＋33＋33＝55，如此反复操作，则第 2 011 次操作后得到的数是( ) A．25 B．250 C．55 D．133 解析：根据第 1 次，第 2 次操作规律，可知第 3 次操作为 53＋53 ＝250，第 4 次操作为 23＋53＋03＝133，…，操作后得到的数呈周期性 变化，周期为 3 次，2 011＝670×3＋1，故第 2 011 次操作后得到的数 是 133. 答案：D 二、填空题 6．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过 程中，第二步假设 n＝k 时等式成立，则当 n＝k＋1 时应得到________． 解析：因为 n＝k 时， 命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”， 所以 n＝k＋1 时为使用归纳假设， 应写成 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k， 又考虑到目的，最终应为 2k＋1－1. 答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 7．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43 ＝102，根据上述规律，猜想 13＋23＋33＋43＋53＋63＝________． 解析：已知等式可写为：13＋23＝32＝(1＋2)2，13＋23＋33＝62＝(1 ＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，根据上述规律，猜想 13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋…＋6)2＝212. 答案：212 8．用数学归纳法证明“n∈N*时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1 是 31 的倍数”时，n＝1 时的原式是________，从 k 到 k＋1 时需添加的项 是________． 答案：1＋2＋22＋23＋24，25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 三、解答题 9．用数学归纳法证明： 1－1 4 1－1 9 1－ 1 16 … 1－ 1 n2 ＝n＋1 2n (n≥2，n∈N＋)． 证明：(1)当 n＝2 时，左边＝1－1 4 ＝3 4 ， 右边＝2＋1 2×2 ＝3 4. 所以等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立， 即 1－1 4 1－1 9 1－ 1 16 … 1－ 1 k2 ＝k＋1 2k (k≥2，k∈N＋)． 当 n＝k＋1 时， 1－1 4 1－1 9 1－ 1 16 … 1－ 1 k2 1－ 1 （k＋1）2 ＝ k＋1 2k · （k＋1）2－1 （k＋1）2 ＝ （k＋1）k·（k＋2） 2k·（k＋1）2 ＝ k＋2 2（k＋1） ＝ （k＋1）＋1 2（k＋1） ， 所以当 n＝k＋1 时，等式成立． 根据(1)和(2)知，对 n≥2，n∈N＋时，等式成立． 10．用数学归纳法证明 n3＋5n 能被 6 整除． 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝13＋5×1＝6，能被 6 整除，结论正 确． (2)假设当 n＝k 时，结论正确，即 k3＋5k 能被 6 整除． 则(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝k3＋5k＋3(k2＋k＋ 2)＝k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)， 因为 k3＋5k 能被 6 整除，(k＋1)(k＋2)必为偶数，3(k＋1)(k＋2) 能被 6 整除， 因此，k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)能被 6 整除． 即当 n＝k＋1 时结论正确． 根据(1)(2)可知，n3＋5n 对于任何 n∈N＋都能被 6 整除． B 级 能力提升 1．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…× (2n－1)(n∈N＋)时，从“n＝k 到 n＝k＋1”左端需乘以的代数式为 ( ) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C.2k＋1 k＋1 D.2k＋3 k＋1 解析：当 n＝k 时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…× (2k－1)． 当 n＝k＋1 时，左边＝(k＋1)＋1](k＋1)＋2]…(k＋1)＋k]·(k＋1) ＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)． 比 较 n ＝ k 和 n ＝ k ＋ 1 时 等 式 的 左 边 ， 可 知 左 端 需 乘 以 （2k＋1）（2k＋2） k＋1 ＝2(2k＋1)． 答案：B 2．用数学归纳法证明 34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被 14 整除，当 n＝k ＋1 时，对于 34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1 应变形为_______________． 解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81·34k＋1＋25×52k＋1＝ 81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1 答案：81· (34k＋1＋52k＋1)－56·52k＋1 3．已知正数数列{an}中，前 n 项和 Sn＝1 2 an＋ 1 an . (1)求 a1，a2，a3，a4； (2)推测{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 解：(1)a1＝1，a2＝ 2－1，a3＝ 3－ 2，a4＝ 4－ 3. (2)an＝ n－ n－1 ①a1＝1，a2＝ 2－1，a3＝ 3－ 2，a4＝ 4－ 3. ②猜想 an＝ n－ n－1(n∈N＋)． (ⅰ)当 n＝1 时，a1＝ 1－ 0＝1，结论成立； (ⅱ)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)成立， 即 ak＝ k－ k－1. 则 ak＋1＝Sk＋1－Sk＝1 2 ak＋1＋ 1 ak＋1 －1 2 ak＋ 1 ak ＝ 1 2 ak＋1＋ 1 ak＋1 －1 2 k－ k－1＋ 1 k－ k－1 ， 整理得(ak＋1＋ k)2＝k＋1， 所以 ak＋1＝ k＋1－ k. 综合(ⅰ)(ⅱ)知， an＝ n－ n－1对所有正整数 n 都成立．