2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：10 7页

www.ks5u.com ‎10．2.2　复数的乘法与除法 第1课时　复数的乘法 ‎[课程目标] 1.能运用复数的乘法运算法则进行简单的计算；2.掌握虚数单位“i”的幂的规律进行化简求值．‎ 知识点一　　复数的乘法 ‎[填一填]‎ ‎(1)复数乘法法则 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.‎ ‎(2)运算律 对任意复数z1，z2，z3，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.‎ ‎(3)复数的乘方 n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂)，并记作zn，即zn＝z×z×…× .‎ 当m，n均为正整数时，zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz. ‎ ‎[答一答]‎ 怎样理解复数代数形式的乘法法则？‎ 提示：(1)在进行复数代数形式的乘法运算时，紧紧抓住与多项式乘法的相同点和不同点进行计算，不要死记结论．‎ ‎(2)乘法对加法的分配律的逆向使用是为了因式分解；交换律是为结合律做准备的．‎ ‎(3)对于能使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等．‎ 知识点二　　共轭复数的性质 ‎[填一填]‎ 设z＝a＋bi(a，b∈R)．‎ ‎(1)||＝|z|；‎ ‎(2)z·＝|z|2＝||2；‎ ‎(3)z∈R⇔z＝，非零复数z为纯虚数⇔z＋＝0；‎ ‎(4)z＋＝‎2a，z－＝2bi；‎ ‎(5)＝1±2，＝1·2，()＝(z2≠0)．‎ ‎1．i的乘方．‎ 对任意n∈N＋，都有：i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.‎ 与i相关的几个常用结论：(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i，＝i，＝－i.‎ ‎2．共轭复数的性质．‎ 设ω1＝，则其共轭复数ω2＝，则两者具有如下关系：‎ ‎(1)ω＝ω＝1；‎ ‎(2)1＋ω1＋ω2＝0；‎ ‎(3)ω＝ω2或ω＝ω1；‎ ‎(4)ω1＝2且1＝ω2；‎ ‎(5)ω1·ω2＝1，ω1＝，ω2＝；‎ ‎(6)ω3n＝1，ω3n＋1＝ω，ω3n＋2＝ω2.‎ 类型一　　复数的乘法运算 ‎[例1]　计算：‎ ‎(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；‎ ‎(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.‎ ‎[分析]　应用复数的乘法法则及运算律求解．‎ ‎[解]　(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)‎ ‎＝1－i2－1＋i＝1＋i.‎ ‎(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ‎＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ‎＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i ‎＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ‎＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ‎＝53＋21i＋2i ‎＝53＋23i.‎ 三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数相乘，用乘法公式计算将更为简捷，如平方差公式、完全平方公式等.‎ ‎[变式训练1]　(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于(　D　)‎ A．20＋15i B．20－15i C．－20－15i D．－20＋15i 解析：原式＝(3＋4i－6i＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i＋4i＋2＝－20＋15i.故选D.‎ ‎(2)已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别为(　D　)‎ A．x＝－1，y＝1 B．x＝－1，y＝2‎ C．x＝1，y＝1 D．x＝1，y＝2‎ 解析：因为(x＋i)(1－i)＝y，所以(x＋1)＋(1－x)i＝y，由复数相等的充要条件得解得故选D.‎ 类型二　　i的幂的运算 ‎[例2]　(1)试求i1，i2，i3，i4，i5，i6，i7，i8的值；‎ ‎(2)由(1)推测in(n∈N＋)的值有什么规律，并求i23，i352，i1 000，i3 333，i1 999的值．‎ ‎[分析]　利用i的乘方运算寻找in(n∈N＋)的值的规律．‎ ‎[解]　(1)‎ i1‎ i2‎ i3‎ i4‎ i5‎ i6‎ i7‎ i8‎ i ‎－1‎ ‎－i ‎1‎ i ‎－1‎ ‎－i ‎1‎ ‎(2)由(1)可推测得，对任意n∈N＋，有i4n－3＝i，i4n－2＝－1，i4n－1＝－i，i4n＝1，i23＝i4×6－1＝－i；i352＝i4×88＝1；i1 000＝i4×250＝1；i3 333＝i4×834－3＝i；i1 999＝i4×500－1＝－i.‎ 由上述公式可知，虚数单位i的乘方有周期性，最小正周期为4，利用此周期性可快速解决有关i的乘方的计算问题.‎ ‎[变式训练2]　计算：‎ ‎(1)(2＋)－()22；‎ ‎(2)1＋i＋i2＋…＋i100；‎ ‎(3)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．‎ 解：(1)原式＝(2＋)－＝(2＋i)－＝2＋i－i11＝2＋i－i3＝2＋i＋i＝2＋2i.‎ ‎(2)原式＝＝＝1.‎ ‎(3)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2)＝2(11－7i)＋25(1－i)＝47－39i.‎ 类型三　　共轭复数性质的应用 ‎[例3]　已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.‎ ‎ ‎ ‎[解]　方法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，‎ 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，‎ 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，‎ 则有解得或 所以z＝－1或z＝－1＋3i.‎ 方法二：原方程可化为－3i－3i＝1－z·.‎ 因为z·＝|z|2∈R，所以－3i－3i＝－3i－3i＝3iz＋3i，‎ 所以(z＋)3i＝－6i，即z＋＝－2.‎ 令z＝x＋yi(x，y∈R)，代入z＋＝－2可解得x＝－1.‎ 把z＝－1＋yi代入原方程可得y＝0或y＝3，‎ 所以z＝－1或z＝－1＋3i.‎ ‎1.若复数z的代数形式已知，根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算.必要时，需通过复数的运算确定复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求.‎ ‎2.恰当地使用共轭复数的性质可简化运算.‎ ‎[变式训练3]　已知复数z满足(z－2)(2－i)＝2(i为虚数单位)，求z的共轭复数和z·的值．‎ 解：设z＝x＋yi，由(z－2)(2－i)＝2，‎ 得2x＋2yi－4－xi＋y＋2i＝2，解得即z＝＋i.‎ 所以z的共轭复数为＝－i；‎ z·＝|z|2＝2＋2＝8.‎ ‎1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于(　D　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，对应的点为(3，－4)，位于第四象限，故选D.‎ ‎2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　D　)‎ A．5－4i　　　　　　　　　 B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i 解析：本题考查复数的运算，共轭复数的概念．‎ a－i与2＋bi互为共轭复数．‎ ‎∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.‎ ‎3．当z＝－时，z100＋z50＋1的值等于(　D　)‎ A．1 B．－1‎ C．i D．－i 解析：∵z＝－＋i，∴z2＝－i.‎ ‎∴z4＝－1，∴z100＝(z4)25＝－1，z50＝z48·z2＝(z4)12·z2＝－i.∴原式＝－1－i＋1＝－i.故选D.‎ ‎4．已知复数z满足z·＋z＋＝3，则|z＋1|＝2.‎ 解析：由z·＋z＋＝3，得z(＋1)＋＋1＝4，所以(＋1)(z＋1)＝4，即(z＋1)＝4，所以|z＋1|2＝4，因此|z＋1|＝2.‎