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- 2021-06-16 发布
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课时作业23 简单的线性规划问题
时间:45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1.设实数x,y满足约束条件则z=3x-2y的最小值为( A )
A.-2 B.1
C.8 D.13
解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
由z=3x-2y得y=x-,平移直线y=x,
经过A(0,1)时,-最大,此时z最小,
z最小=3×0-2×1=-2.故选A.
2.若点(x,y)在曲线y=-|x|与y=-2所围成的封闭区域内(包括边界),则2x-y的最大值为( C )
A.-6 B.4
C.6 D.8
解析:
如图,点(x,y)在阴影部分区域内,设2x-y=z,则y=2x-z,当直线y=2x-z过点A(2,-2)时-z最小,此时z最大.
7
z最大=2×2-(-2)=6.故选C.
3.已知点(x,y)构成的平面区域如图所示,z=mx+y(m为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m的值为( B )
A.- B.
C. D.或
解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z与直线AC重合,
则解得m=.
4.如果点P在平面区域上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( A )
A.-1 B.-1
C.2-1 D.-1
解析:由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界),点P到Q的最小距离为(-1,0)到(0,-2)的距离减去半径1,|PQ|min=-1=-1.
5.已知x,y满足条件(k为常数),若目标函数z=x+3y的最大值为8,则k=( B )
A.-16 B.-6
C.- D.6
7
解析:
由z=x+3y得y=-x+.先作出的图象,如图,
因为目标函数z=x+3y的最大值为8,所以x+3y=8与直线y=x的交点为C,解得C(2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=-6,选B.
6.已知点P(x,y)的坐标满足约束条件若z=x+3y+m的最小值为6,则m=( D )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:根据题意,作出可行域(图略),由图可知目标函数在点处取得最小值6,从而m=6--=4.
二、填空题
7.若变量x,y满足约束条件则z=5y-x的取值范围是[-8,16].
解析:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.作直线l0:y=x,平移直线l0.由图可知,当l0移至过点A(4,4)时可得zmax=16,当l0移至过点B(8,0)时可得zmin=-8,∴z=5y-x的取值范围是[-8,16].
8.设实数x,y满足则u=的取值范围是.
解析:
7
作出可行域如图阴影部分所示,由u==+1,令z=,表示点(x,y)与原点连线的斜率,由图象数形结合知,zmin=kOB,zmax=kOA,
由得点B的坐标为(3,1).
由得点A的坐标为(1,2).
则zmin=,zmax=2,即∈.
故∈,所以u=+1∈.
9.已知x,y满足约束条件点A(2,1),B(x,y),O为坐标原点,则·最大值时为.
解析:
画出可行域,如图中的阴影部分.已知点A(2,1),B(x,y),O为坐标原点,则·=2x+y.由图可知,当直线y=-2x+z过点C时,z有最大值.解方程组得
故zmax=2×+=.
三、解答题
10.设z=2y-2x+4,已知x,y满足条件求z的最大值和最小值.
解:作出满足不等式组的可行域,如图所示的阴影部分.
7
作直线l:2y-2x=t.
当l经过点A(0,2)时,zmax=2×2-2×0+4=8;
当l经过点B(1,1)时,zmin=2×1-2×1+4=4.
11.设x,y满足条件
(1)求v=的最大值与最小值;
(2)求u=x2+y2的最大值与最小值.
解:画出满足条件的可行域如图所示,
(1)v=表示可行域内的点P(x,y)与定点D(5,0)的斜率,由图可知,kBD最大,kCD最小,又C(3,8),B(3,-3),
所以vmax==,vmin==-4.
(2)x2+y2=u表示一组同心圆(圆心为原点O),且对同一圆上的点x2+y2的值都相等,由图可知:当(x,y)在可行域内取值时,当且仅当圆O过C点时,u最大,过(0,0)时,u最小,点C坐标为(3,8),
所以umax=73,umin=0.
——能力提升类——
12.设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为6,则z的最小值为( A )
A.-3 B.-2
C.-1 D.0
7
解析:作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,由z=x+y,得y=-x+z,由图可知当直线y=-x+z经过点A时,直线y=-x+z在y轴上的截距最大,此时z最大为6,由得即点A(k,k),∴z=k+k=6,得k=3.当直线y=-x+z经过点B时,z取得最小值,由解得即点B(-6,3),此时z的最小值为-6+3=-3.
13.已知变量x,y满足约束条件若x+2y≥-5恒成立,则实数a的取值范围为( C )
A.(-∞,-1] B.[-1,+∞)
C.[-1,1] D.[-1,1)
解析:由题意作出可行域,如图所示,由图易知a≤1,x+2y≥-5恒成立可化为图中的阴影部分恒在直线x+2y=-5的右上方,即点A在直线x+2y=-5上或其右上方,易知A点坐标为(a,a-1),所以a+2(a-1)≥-5,所以实数a的取值范围为[-1,1].
14.若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是3.
解析:
7
作出不等式组
所表示的平面区域如图中阴影部分所示,令z=2y-x,作出直线2y-x=0,平移该直线,当直线过点A(1,2)时,2y-x取得最小值,最小值为2×2-1=3.
15.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别是0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?
解:设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别是x分钟、y分钟,总收益为z万元,由题意得:
目标函数为z=3 000x+2 000y.
作出二元一次不等式组所表示的区域,即可行域,如图阴影部分所示:
作直线l即3x+2y=0.平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值.
由解得
即M(100,200).
则zmax=3 000x+2 000y=700 000(元),
即该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司收益最大,最大收益是70万元.
7
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