高中数学（人教版a版必修三）配套课时作业：第二章 统计 2.1.3 分层抽样 4页

2.1.3 分层抽样 课时目标 1.理解分层抽样的概念.2.掌握分层抽样的使用条件和操作步骤，会用分层抽样 法进行抽样． 1．分层抽样的概念 在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数 量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样． 2．分层抽样的适用条件 分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致 性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选 用分层抽样的方法． 一、选择题 1．有 40 件产品，其中一等品 10 件，二等品 25 件，次品 5 件，现从中抽出 8 件进行质 量分析，问应采取何种抽样方法( ) A．抽签法 B．随机数表法 C．系统抽样 D．分层抽样 答案 D 2．某城市有学校 700 所．其中大学 20 所，中学 200 所，小学 480 所，现用分层抽样方 法从中抽取一个容量为 70 的样本，进行某项调查，则应抽取中学数为( ) A．70 B．20 C．48 D．2 答案 B 解析 由于700 70 ＝10，即每 10 所学校抽取一所， 又因中学 200 所，所以抽取 200÷10＝20(所)． 3．某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为 3∶4∶7，现在用 分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本，样本中 A 型号产品有 15 件，那么样本容量 n 为 ( ) A．50 B．60 C．70 D．80 答案 C 解析 由分层抽样方法得： 3 3＋4＋7 ×n＝15， 解得 n＝70. 4．下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是( ) A．某电影院有 32 排座位，每排有 40 个座位，座位号是 1～40.有一次报告会坐满了听众， 报告会结束以后为听取意见，要留下 32 名听众进行座谈 B．从 10 台冰箱中抽出 3 台进行质量检查 C．某乡农田有山地 8 000 亩，丘陵 12 000 亩，平地 24 000 亩，洼地 4 000 亩，现抽取农 田 480 亩估计全乡农田平均产量 D．从 50 个零件中抽取 5 个做质量检验 答案 C 解析 A 的总体容量较大，宜采用系统抽样方法；B 的总体容量较小，用简单随机抽样法 比较方便；C 总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层抽样方法；D 与 B 类似． 5．要从其中有 50 个红球的 1 000 个球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取 100 个进行分 析，则应抽取红球的个数为( ) A．5 个 B．10 个 C．20 个 D．45 个 答案 A 解析 由题意知每1000 100 ＝10(个)球中抽取一个，现有 50 个红球，应抽取50 10 ＝5(个)． 6．某小学三个年级共有学生 270 人，其中一年级 108 人，二、三年级各 81 人，现要用 抽样方法抽取 10 人形成样本，将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2，…，270， 如果 抽得号码有下列四种情况： ①5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； ②7,34,61,88,115,142,169,196,223,250； ③30,57,84,111,138,165,192,219,246,270； ④11,38,60,90,119,146,173,200,227,254； 其中可能是由分层抽样得到，而不可能是由系统抽样得到的一组号码为( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 答案 D 解析 按照分层抽样的方法抽取样本，一、二、三年级抽取的人数分别为：108 27 ，81 27 ，81 27 ， 即 4 人，3 人，3 人；不是系统抽样即编号的间隔不同，观察①、②、③、④知：①④符 合题意，②是系统抽样，③中三年级人数为 4 人，不是分层抽样． 二、填空题 7．某农场在三种地上种玉米，其中平地 210 亩，河沟地 120 亩，山坡地 180 亩，估计产 量时要从中抽取 17 亩作为样本，则平地、河沟地、山坡地应抽取的亩数分别是________． 答案 7,4,6 解析 应抽取的亩数分别为 210× 17 510 ＝7,120× 17 510 ＝4,180× 17 510 ＝6. 8．将一个总体分为 A、B、C 三层，其个体数之比为 5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容 量为 100 的样本，则应从 C 中抽取________个个体． 答案 20 解析 由题意可设 A、B、C 中个体数分别为 5k,3k,2k，所以 C 中抽取个体数为 2k 5k＋3k＋2k ×100＝20. 9．某工厂生产 A、B、C、D 四种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2∶3∶5∶1.现 用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号有 16 件，那么此样本的容量 n 为________． 答案 88 解析 在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致 的．所以，样本容量 n＝2＋3＋5＋1 2 ×16＝88. 三、解答题 10．某小学有 1 800 名学生，6 个年级中每个年级的人数大致相同，男女生的比例也大致 相同，要从中抽取 48 名学生，测试学生 100 米跑的成绩．你认为应该用什么样的方法？ 怎样抽样？为什么要用这个方法？ 解 应该用分层抽样的方法．因为小学的不同年级之间，男女生之间百米跑的成绩有较 大差异，所以将 1 800 名学生按不同年级、性别分成 12 组，每组随机抽取 4 名，一共抽 取 48 名学生．这样的抽样方法可使样本的结构与总体的结构保持一致． 11．某工厂有 3 条生产同一产品的流水线，每天生产的产品件数分别是 3 000 件，4 000 件，8 000 件．若要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 150 件产品的样本，应该如何 抽样？ 解 总体中的个体数 N＝3 000＋4 000＋8 000＝15 000，样本容量 n＝150，抽样比例为n N ＝ 150 15 000 ＝ 1 100 ，所以应该在第 1 条流水线生产的产品中随机抽取 3 000× 1 100 ＝30(件)产品， 在第 2 条流水线生产的产品中随机抽取 4 000× 1 100 ＝40(件)产品，在第 3 条流水线生产的 产品中随机抽取 8 000× 1 100 ＝80(件)产品．这里因为每条流水线所生产的产品数都较多， 所以，在每条流水线的产品中抽取样品时，宜采用系统抽样方法． 能力提升 12．某单位有技师 18 人，技术员 12 人，工程师 6 人，需要从这些人中抽取一个容量为 n 的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加 1， 则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除 1 个个体，求样本容量 n. 解 因为采用系统抽样和分层抽样时不用剔除个体，所以 n 是 36 的约数，且36 n 是 6 的约 数，即 n 又是 6 的倍数，n＝6,12,18 或 36，又 n＋1 是 35 的约数，故 n 只能是 4,6,34，综 合得 n＝6，即样本容量为 6. 13．选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程． (1)有甲厂生产的 30 个篮球，其中一箱 21 个，另一箱 9 个，抽取 3 个． (2)有 30 个篮球，其中甲厂生产的有 21 个，乙厂生产的有 9 个，抽取 10 个． (3)有甲厂生产的 300 个篮球，抽取 10 个． (4)有甲厂生产的 300 个篮球，抽取 30 个． 解 (1)总体容量较小，用抽签法． ①将 30 个篮球编号，号码为 00,01，…，29； ②将以上 30 个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，制成号签； ③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌； ④从袋子中逐个抽取 3 个号签，并记录上面的号码； ⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本． (2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样法． ①确定抽取个数．因为30 10 ＝3，所以甲厂生产的应抽取21 3 ＝7(个)，乙厂生产的应抽取9 3 ＝ 3(个)； ②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球 7 个，乙厂生产的篮球 3 个．这些篮球便组成了我 们要抽取的样本． (3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数法． ①将 300 个篮球用随机方式编号，编号为 000,001，…，299； ②在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第 8 行第 29 列的数“7”开始．任选一个方 向作为读数方向，比如向右读； ③从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在 000～299 中的数跳过去不读，遇到已经读过 的数也跳过去不读，便可依次得到 10 个号码，这就是所要抽取的 10 个样本个体的号码． (4)总体容量较大，样本容量也较大宜用系统抽样法． ①将 300 个篮球用随机方式编号，编号为 001,002,003，…，300，并分成 30 段，其中每 一段包含300 30 ＝10(个)个体； ②在第一段 001,002,003，…，010 这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如 002)作为起 始号码； ③将编号为 002,012,022，…，292 的个体抽出，组成样本 1．分层抽样的概念和特点 当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用 分层抽样． 分层抽样的优点是使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时又可灵活地选用不同的抽 样法． 2．三种抽样方法的选择 简单随机抽样、系统抽样及分层抽样的共同特点是在抽样过程中每一个个体被抽取的机会 都相等，体现了抽样方法的公平性和客观性．其中简单随机抽样是最基本的抽样方法，在 系统抽样和分层抽样中都要用到简单随机抽样．当总体中的个体数较少时，常采用简单随 机抽样；当总体中的个体数较多时，常采用系统抽样；当已知总体是由差异明显的几部分 组成时，常采用分层抽样．