2018届高三数学一轮复习算法和抽样考点专练 6页

板块命题点专练（十六） 命题点一 算法 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：高、中 题型：选择题、填空题 1．(2016·全国丙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的 a＝4，b＝6，那么输出的 n ＝( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选 B 程序运行如下： 开始 a＝4，b＝6，n＝0，s＝0． 第 1 次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1； 第 2 次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2； 第 3 次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3； 第 4 次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4． 此时，满足条件 s>16，退出循环，输出 n＝4．故选 B． 2．(2015·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的 “更相减损术”．执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 14,18，则输出的 a＝( ) A．0 B．2 C．4 D．14 解析：选 B a＝14，b＝18． 第一次循环：14≠18 且 14<18，b＝18－14＝4； 第二次循环：14≠4 且 14>4，a＝14－4＝10； 第三次循环：10≠4 且 10>4，a＝10－4＝6； 第四次循环：6≠4 且 6>4，a＝6－4＝2； 第五次循环：2≠4 且 2<4，b＝4－2＝2； 第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出 a＝2，故选 B． 3．(2014·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的 a，b，k 分别为 1,2,3，则输出的 M ＝( ) A．20 3 B．7 2 C．16 5 D．15 8 解析：选 D 第一次循环：M＝3 2 ，a＝2，b＝3 2 ，n＝2；第二次循环：M＝8 3 ，a＝3 2 ，b ＝8 3 ，n＝3；第三次循环：M＝15 8 ，a＝8 3 ，b＝15 8 ，n＝4，则输出 M＝15 8 ，选 D． 4．(2015·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的 t＝0．01，则输出的 n＝( ) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选 C 运行第一次：S＝1－1 2 ＝1 2 ＝0．5，m＝0．25，n＝1，S>0．01； 运行第二次：S＝0．5－0．25＝0．25，m＝0．125，n＝2，S>0．01； 运行第三次：S＝0．25－0．125＝0．125，m＝0．062 5，n＝3，S>0．01； 运行第四次：S＝0．125－0．062 5＝0．062 5，m＝0．031 25，n＝4，S>0．01； 运行第五次：S＝0．031 25，m＝0．015 625，n＝5，S>0．01； 运行第六次：S＝0．015 625，m＝0．007 812 5，n＝6，S>0．01； 运行第七次：S＝0．007 812 5，m＝0．003 906 25，n＝7，S<0．01． 输出 n＝7．故选 C． 命题点二 抽样方法 命题指数：☆☆ 难度：低 题型：选择题 1．(2015·四川高考)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视 力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的 抽样方法是( ) A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法 解析：选 C 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法． 2．(2015·北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调 查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本中的老年教师人数为 ( ) 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1 800 青年教师 1 600 合计 4 300 A．90 B．100 C．180 D．300 解析：选 C 设该样本中的老年教师人数为 x，由题意及分层抽样的特点得 x 900 ＝ 320 1 600 ， 故 x＝180． 命题点三 用样本估计总体 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：低、中 题型：选择题、解答题 1．(2014·四川高考)在“世界读书日”前夕，为了了解某地 5 000 名居民某天的阅读时 间，从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000 名居民的阅读 时间的全体是( ) A．总体 B．个体 C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本 解析：选 A 5 000 名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200 是样本容量，故选 A． 2．(2015·重庆高考)重庆市 2013 年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下图，则这组数 据的中位数是( ) 0 8 9 1 2 5 8 2 0 0 3 3 8 3 1 2 A．19 B．20 C．21．5 D．23 解析：选 B 由茎叶图可知这组数据由小到大依次为 8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32， 所以中位数为20＋20 2 ＝20． 3．(2015·广东高考)某工厂 36 名工人的年龄数据如下表． 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 (1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽 到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据； (2)计算(1)中样本的均值 x 和方差 s2； (3)36 名工人中年龄在 x －s 与 x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到 0．01%)? 解：(1)由系统抽样的知识可知，36 人分成 9 组，每组 4 人，其中第一组的工人年龄为 44，所以其编号为 2，故所有样本数据的编号为 4n－2，n＝1,2，…，9．其数据为： 44,40,36,43,36,37,44,43,37． (2) x ＝44＋40＋…＋37 9 ＝40． 由方差公式知，s2＝1 9[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝100 9 ． (3)因为 s2＝100 9 ，所以 s＝10 3 ∈(3,4)， 所以 36 名工人中年龄在 x －s 和 x ＋s 之间的人数等于在区间[37,43]内的人数，即 40,40,41，…，39，共 23 人． 所以 36 名工人中年龄在 x －s 和 x ＋s 之间的人数所占的百分比为23 36 ≈63．89%． 4．(2016 全国乙卷)某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有 一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用 期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现在决策在购买机器时应同时购买几个易损 零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状 图： 记 x 表示 1 台机器在三年作用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零 件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数． (1)若 n＝19，求 y 与 x 的函数解析式； (2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0．5，求 n 的最小值； (3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易 损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据， 购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？ 解：(1)当 x≤19 时，y＝3 800； 当 x＞19 时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700， 所以 y 与 x 的函数解析式为 y＝ 3 800，x≤19， 500x－5 700，x＞19 (x∈N)． (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0．46，不大于 19 的频率为 0．7， 故 n 的最小值为 19． (3)若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易 损零件上的费用为 3 800,20 台的费用为 4 300,10 台的费用为 4 800，因此这 100 台机器在购 买易损零件上所需费用的平均数为 1 100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000． 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件，则这 100 台机器中有 90 台在购买易损 零件上的费用为 4 000,10 台的费用为 4 500，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用 的平均数为 1 100 (4 000×90＋4 500×10)＝4 050． 比较两个平均数可知，购买一台机器的同时应购买 19 个易损零件． 命题点四 回归分析与独立性检验 命题指数：☆☆☆ 难度：高 题型：选择题、解答题 1．(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社 区 5 户家庭，得到如下统计数据表： 收入 x(万元) 8．2 8．6 10．0 11．3 11．9 支出 y(万元) 6．2 7．5 8．0 8．5 9．8 根据上表可得回归直线方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝0．76，a^＝ y－－b^ x－．据此估计，该社 区一户年收入为 15 万元家庭的年支出为( ) A．11．4 万元 B．11．8 万元 C．12．0 万元 D．12．2 万元 解析：选 B 由题意知， x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9 5 ＝10， y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8 5 ＝8， ∴a^＝8－0．76×10＝0．4， ∴当 x＝15 时，y^＝0．76×15＋0．4＝11．8(万元)． 2．(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元)对年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响．对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． 错误!(xi－ x )2 错误!(wi－ w )2 错误!(xi－ x )(yi－ y ) 错误!(wi－ w )(yi－ y ) 46．6 563 6．8 289．8 1．6 1 469 108．8 表中 wi＝ xi， w ＝1 8 错误!i． (1)根据散点图判断，y＝a＋bx 与 y＝c＋d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； (3)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z＝0．2y－x．根据(2)的结果回答下列问 题： ①年宣传费 x＝49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线 v＝α＋βu 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为β ^ ＝错误!，α ^ ＝ v －β ^ u ． 解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程 类型． (2)令 w＝ x，先建立 y 关于 w 的线性回归方程． 由于d ^ ＝错误!＝108.8 1.6 ＝68， c ^ ＝ y －d ^ w ＝563－68×6．8＝100．6， 所以 y 关于 w 的线性回归方程为y ^ ＝100．6＋68w， 因此 y 关于 x 的回归方程为y ^ ＝100．6＋68 x． (3)①由(2)知，当 x＝49 时， 年销售量 y 的预报值y ^ ＝100．6＋68 49＝576．6， 年利润 z 的预报值z ^ ＝576．6×0．2－49＝66．32． ②根据(2)的结果知，年利润 z 的预报值 z ^ ＝0．2(100．6＋68 x)－x＝－x＋13．6 x＋20．12． 所以当 x＝13.6 2 ＝6．8，即 x＝46．24 时，z ^ 取得最大值． 故年宣传费为 46．24 千元时，年利润的预报值最大．