高考数学模拟试卷 2 (9) 11页

- 1 - 华中师范大学第一附属中学（湖北）三高三 5 月押题考试 理科数学(25) 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若复数 z 满足 (1+2 ) 1i z i  ，则复数 z 的虚部为（ ） A． 3 5 B． 3 5  C． 3 5 i D． 3 5 i 2.设集合  2,2M   ， 1 2N x x       ，则下列结论正确的是（ ） A． N M B． M N C．  2N M  D． N M R  3.设函数 ( )f x 是以 2 为周期的奇函数，已知 (0,1)x 时， ( ) 2xf x  ，则 ( )f x 在 (2017,2018) 上是（ ） A．增函数，且 ( ) 0f x  B．减函数，且 ( ) 0f x  C．增函数，且 ( ) 0f x  D．减函数，且 ( ) 0f x  4.已知向量 a  ，b  满足 1a  ， 2b  ， ( 3, 2)a b   ，则 2a b   （ ） A． 2 2 B． 17 C. 15 D． 2 5 5.在“五一”促销活动中，某商场对 5 月 11 日 19 时到 14 时的销售额进行统计，其频率分布 直方图如图所示，已知 12 时到 14 时的销售额为14万元，则 9 时到 11 时的销售额为（ ） A．3 万元 B． 6 万元 C.8 万元 D．10万元 6.将正方体（如图 1 所示）截去两个三棱锥，得到如图 2 所示的几何体，则该几何体的左视 图是（ ） - 2 - A． B． C. D． 7.已知命题 : ( ,0),2 3x xp x    ；命题 : (0, ),sin2q x x x   ，则下列命题为真命题的 是（ ） A． p q B． ( )p q  C. ( )p q  D． ( )p q  8.函数 ( ) cos( )f x A x   满足 ( ) ( )3 3f x f x     ，且 ( ) ( )6 6f x f x    则 的 一个可能值是（ ） A． 2 B．3 C. 4 D．5 9.已知双曲线 C 的中心在原点，焦点在 y 轴上，若双曲线C 的一条渐近线与直线 2 1 0x y   平行，则双曲线C 的离心率为（ ） A． 6 2 B． 2 C. 3 D． 6 3 10.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面 积可无限逼近圆的面积，由此创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小 数点后两位的近似值3.14 ，这就是著名的“徽率”．下图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的 一个程序框图，则输出 n 的值为（ ） 参考数据： 3 1.732,sin15 0.258,sin 7.5 0.1305     - 3 - A．12 B． 24 C. 48 D．96 11.二面角 AB   的平面角是锐角 ， , , ,M MN C AB MCB     为锐角，则 （ ） A． MCN   B． MCN   C. MCN   D．以上三种情况 都有可能 12.已知函数 21 2y x 的图象在点 2 0 0 1( , )2x x 处的切线为l ，若l 也为函数 ln (0 1)y x x   的 图象的切线，则 0x 必须满足（ ） A． 0 2 12 x  B． 01 2x  C. 02 3x  D． 03 2x  第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 2 5( 2 1)x x  的展开式中， 3x 的系数为 ．（用数字作答） 14.已知 ,x y 满足约束条件 2 0 2 2 0 2 2 0 x y x y x y            ，若可行域内存在 ( , )x y 使不等式 2 0x y k   有 解，则实数 k 的取值范围为 ． 15.已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 3 2 ，过椭圆上一点 M 作垂线 MA ， MB 交 椭圆于 ,A B 两点，且斜率分别为 1 2,k k ，若点 ,A B 关于原点对称，则 1 2k k 的值为 ． 16.在 ABC 中， , 5,6B AC D   是 AB 边上一点， 2,CD ACD  的面积为 2 ， ACD 为锐角，则 BC  ． - 4 - 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知公比不为1的等比数列 na 的前 3 项和为 27 ，且 22a 为 13a 和 3a 的等差中项. （1）求数列 na 的通项公式 na ； （2）若数列 nb 满足 * 1 3 1log ( 2, )n n nb b a n n N     ，且 1 1b  ，求数列 2 n n b b        的前 n 项 和 nS . 18.华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年 级抽取 60 名同学（男同学30 名，女同学30名），给所有同学物理题和数学题各一题，让每位 同学自由选择一题进行解答。选题情况如下表：（单位：人） 物理题 数学题 总计 男同学 16 14 30 女同学 8 22 30 总计 24 36 60 （1）在犯错误的概率不超过1% 的条件下，能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有 关？ （2）经过多次测试后发现，甲每次解答一道物理题所用的时间为5 8 分钟，乙每次解答一道 物理题所用的时间为 6 8 分钟，现甲、乙解同一道物理题，求甲比乙先解答完的概率； （3）现从选择做物理题的8 名女生中任意选取两人，对她们的解答情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望. 附表及公式 2( )P k k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bck a b c d a c b d      - 5 - 19. 如图，在四棱锥 P ABCD 中， AB  平面 BCP ， / /CD 平面 ABP ， 2 2AB BC CP BP CD     （1）证明：平面 ABP  平面 ADP ； （2）若直线 PA 与平面 PCD 所成角为 ，求sin 的值. 20.已知抛物线 2: 2C x y 的焦点为 F ，过抛物线上一点 M 作抛物线C 的切线l ，l 交 y 轴 于点 N . （1）判断 MNF 的形状； （2） 若 ,A B 两点在抛物线C 上，点 (1,1)D 满足 0AD BD    ，若抛物线C 上存在异于 ,A B 的点 E ，使得经过 , ,A B E 三点的圆与抛物线在点 E 处的有相同的切线，求点 E 的坐标. 21. 已知函数 ( ) lnf x x ax  在点 ( , ( ))t f t 处的切线方程为 3 1y x  . （1）求 a 的值； （2）已知 2k  ，当 1x  时， 3( ) 1 2 1f x k xx        恒成立，求实数 k 的取值范围； （3）对于在 (0,1) 中的任意一个常数b ，是否存在正数 0x ，使得 0 0( 1) 3 2 2 0 12 f x x be x     ？请 说明理由. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 1C 的参数方程为 1 cos sin x y       （ 为参数），曲线 2C 的参数 方程为 cos 1 sin x y       （  为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系.曲线的极坐标方程为   （1）求曲线 1C 和曲线 2C 的极坐标方程； - 6 - （2）已知射线 1 : 6 2l          ，将射线 1l 顺时针方向旋转 6  得到 2 : 6l    ，且 射线 1l 与曲线 1C 交于两点，射线 2l 与曲线 2C 交于 ,O Q 两点，求 OP OQ 的最大值. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 1f x ax  . （1）若 ( ) 2f x  的解集为 3,1 ，求实数 a 的值； （2）若 1a  ，若存在 x R ，使得不等式 (2 1) ( 1) 3 2f x f x m     成立，求实数 m 的 取值范围. - 7 - 华中师范大学第一附属中学（湖北）三高三 5 月押题考试理科数学 参考答案和评分标准(25) 一、选择题 1-5:BBCAD 6-10:BDBAC 11、12：AD 二、填空题 13. 40 14. 4k   15. 1 4  16. 8 5 5 三、解答题 17.解（1）由前3 项积为 27 得： 2 3a  ，设等比数列的公比为 q ， 由 22a 为 13a 和 3a 的等差中项得： 33 3 4 3qq     ，由公比不为1，解得： 3q  ， 所以 13n na  （2）由 1 3 1 1logn n n nb b a b n      ，得 1 2 1 1 2 1 ... !n n n n n b b bb b nb b b          令 2 ! 1 1 1 ( 2)! ( 2)(n 1) 1 2 n n n b nc b n n n n          ， 则 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ... ( )2 3 3 4 1 2 2 2 2( 2)n nS n n n n              18.解：（1）由表中数据得 2K 的观测值 260 (16 22 14 8) 40 4.444 6.63530 30 24 36 9k          在犯错误的概率不超过1% 的前提下，不能判断高一学生对物理题和数学题的学习与性别有 关。 （2）设甲、乙解答第一道物理题的时间分别为 ,x y 分钟，则  5 8( , ) 6 8 xx y y          ，设事 件 A 为“甲比乙先解答完此题”，则 ( , )( , ) x yA x y x y        ，作出可行域如图 - 8 - ∴ 1 2 2 22( ) 1 2 3 3P A      （3）由题可知在选择做物理题的8 名女生中任意抽取两人，抽取方法有 2 8 28C  种，其中甲、 乙两人没有一个人被抽到有 2 6 15C  种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有 2 2 1C  种 ∴ X 可能值为 15 12 3 10,1,2, ( 0) , ( 1) , ( 2)28 28 7 28P X P X P X       X 的分布列为： X 0 1 2 P 15 28 12 28 1 28 ∴ 15 12 1 1( ) 0 1 228 28 28 2E X        19.解：（1）∵ / /CD 平面 ABP ，CD  平面 ABCD ，平面 ABCD  平面 ABP AB ，∴ / /CD AB ，分别取 ,AP BP 中点 ,E O ，连接 , , ,DE EO OC 则 / /CD EO ，CD EO ，所以四边形 DEOC 为平行四边形. ∴ / /DE OC ，∵ , ,CO PB CO AB PB AB B    ，∴CO  平面 ABP ，∴ DE  平面 ABP ∵ DE  平面 DAP ，∴平面 BAP  平面 DAP （2）由（1）可得 , ,OC OB OE 两两垂直， 以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz ，如图，则由已知条件有： ( 3,0,0),D( 3,0,1)C (0, 1,0), (0,1,2), (0,0,1), ( 3,1,0), (0,2,2)P A CD PC PA      - 9 - 平面 PCD 的一个法向量记为 ( , , )n x y z ，则 0 3 0 z x y    ∴ (1, 3,0)n   从而 2 3 6sin cos , 42 2 2 PA n      20.解析：（1）设 2 1 1( , )2 xM x ，∵ 2 2 xy  ，∴ 'y x ， 则切线l 的方程为 2 1 1 1( )2 xy x x x   ，即 2 1 1 2 xy x x  ， ∴ 2 1(0, )2 xN  ，∵ 1(0, )2F ，∴ 2 2 1 11 1, ,2 2 2 2 x xMF NF MF NF     所以 MNF 为等腰三角形 （2）设 2 2 2( , )2 xA x ，∵ 0AD BD    ，∴ (1,1)D 是 AB 的中点，∴ 2 2 2(2 ,2 )2 xB x  ∵ 2 2 2(2 ,2 )2 xB x  在抛物线C 上∴ 2 2 2 2(2 ) 2(2 )2 xx   ，∴ 2 0x  或 2 2x  ∴ ,A B 两点的坐标为 (0,0),(2,2) ，设 2 0 0 0 0( , )( 0, 2)2 xE x x x  ，则 由①②得圆心 2 2 0 0 0 02 2 8( , )4 4 x x x xM    由 0 1MEk x   ，得 2 0 0 2 0x x   ，∴ 0 1x   或 0 2x  ∵ 0 00, 2x x  ，∴ 0 1x   ∴点 E 的坐标为 1( 1, )2  21.解：（1）函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ，∵ ( ) lnf x x ax  ，∴ 1'( )f x ax   ， 故函数 ( )f x 在点 ( , ( ))t f t 处的切线方程为 1( ) ( )( )y f t a x tt     ，即 1( ) ln 1y a x tt     又已知函数 ( )f x 在点 ( , ( ))t f t 处切线方程为 3 1y x  ，∴ 1 3 ln 1 1 at t        ，∴ 2a  （2）由（1）可知 ( ) ln 2f x x x  ，∵ 3( ) (1 ) 2 1f x k xx     ，∴ 3ln (1 ) 1x k x    - 10 - 即 ln ( 3) 0x x x k x    ，令 ( ) ln ( 3)g x x x x k x    ，则 '( ) ln 2g x x k   ∵ 2, 1k x  ，∴ ln 0,2 0x k   ，∴ '( ) 0g x  ，∴ ( ) 0g x  在 (1, ) 为增函数 ∴ ( ) (1) 1 2g x g k   ，∴1 2 0k  ，∴ 1 22 k   （3）对于 (0,1)b ，假设存在正数 0x 使得 0 0( 1) 3 2 2 0 12 f x x be x     成立. 即 0 0 0 0( 1) 3 2 ln( 1) 3 22 2 0 0 12 2 f x x x xb be x e x         ，∴ 0 2 0 0( 1) 1 02 x bx e x    要存在正数 0x 使得上式成立，只需要上式最小值小于 0 即可 令 2( ) ( 1) 12 x bH x x e x    ，则 '( ) ( 1) ( )x x xH x e x e bx x b e        令 '( ) 0H x  ，得 1lnx b  ；令 '( ) 0H x  ，得 10 lnx b   ∴ 1lnx b  为函数 ( )H x 的极小值点，亦即最小值点，即函数 ( )H x 的最小值为 ln 2 2 21 1(ln ) (ln 1) ln 1 (1 ln ) ln 1 ln ln 12 2 2 b b b bH e b b b b b b b bb b             令 2( ) ln ln 1(0 1)2 xG x x x x x x      ，则 2 2ln 2ln ln'( ) ln 1 1 02 2 2 x x x xG x xx         ∴ ( )G x 在 (0,1) 上是增函数，∴ ( ) (1) 0G x G  ，∴ 1(ln ) 0H b  ∴存在正数 0 1lnx b  ，使得： 0 0( 1) 3 2 2 0 12 f x x be x     成立 22.解：（1）曲线 1C 直角坐标方程为 2 2( 1) 1x y   ，所以 1C 直角坐标方程为 2cos  . 曲线 2C 直角坐标方程为 2 2(y 1) 1x    ，所以 2C 极坐标方程为 2sin  （2）设点 P 的极坐标为 1( , )  ，即 1 2cos  ；设点Q 的极坐标为 2( , )6    ，即 2 2sin( )6    ； 则 1 2 3 12cos 2sin( ) 4cos ( sin cos )6 2 2OP OQ               2 3sin cos  - 11 - 22cos 3sin 2 cos2 1 2sin(2 ) 16           ∵ ,6 2       ，∴ 52 ,6 6 6         当 2 6 2     ，即 3   时， OP OQ 取最大值1 23.解：（1）显然 0a  ，当 0a  时，解集为 1 3 1 3, , 3, 1a a a a         ，无解； 当 0a  时，解集为 3 1,a a     ，令 1 31, 3, 1aa a       综上所述， 1a   （2）当 1a  时，令 2, 0 ( ) (2 1) ( 1) 2 2 3 2,0 2 2, 2 x x h x f x f x x x x x x x                  ，由此可 知， ( )h x 在 ,0 上单调递减，在 0, 上单调递增，则当 0x  时， ( )h x 取最小值 2 ， 由题意知， 2 3 2m   ，则实数 m 的取值范围是 5, 2    