- 238.99 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第六章 数列
§6.1
数列的概念及其表示
高考数学
考点 数列的概念及其表示
1.数列的概念
按照一定顺序排列的一列数称为数列,其中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
考点
清单
分类原则
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的
大小关系
递增数列
a
n
+1
>
a
n
其中
n
∈N
*
递减数列
a
n
+1
<
a
n
常数列
a
n
+1
=
a
n
摆动数列
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
(1)
:
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
,
a
n
,
…
;
(2)
:数列可用一群孤立的点表示;
(3)
(
):通项公式或递推公式.
4.数列与函数的关系
从函数观点看,数列可以看成以正整数集N
*
(或它的有限子集{1,2,
…
,
n
})为
定义域的函数
a
n
=
f
(
n
),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的
一列函数值.反过来,对于函数
y
=
f
(
x
),如果
f
(
i
)(
i
=1,2,3,
…
)有意义,那么我们可
以得到一个数列
f
(1),
f
(2),
f
(3),
…
,
f
(
n
),
…
.
5.数列的递推公式与通项公式
(1)递推公式的定义
如果已知数列{
a
n
}的①
第一项
(或②
前几项
),且从第二项(或某一
项)起的任何一项
a
n
与它的前一项
a
n
-1
(或前几项)间的关系可以用一个式子
来表示,那么这个式子叫做数列{
a
n
}的递推公式.
(2)通项公式
如果数列{
a
n
}的第
n
项
a
n
与③
序号
n
之间的关系可以用一个式子来表
示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
6.数列的前
n
项和及其与通项公式的关系
若
S
n
=
a
1
+
a
2
+
…
+
a
n
,则称
S
n
为数列{
a
n
}的前
n
项和,由
S
n
可求出通项公式
a
n
.已知
S
n
,则
a
n
=
考法一
利用Sn与an的关系求通项公式
知能拓展
例1
已知数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,且
a
1
=1,
S
n
=
a
n
+1
-1,则
a
n
=
.
解析
由
a
1
=1,
S
n
=
a
n
+1
-1,可得
a
1
=
a
2
-1=1,解得
a
2
=6.当
n
≥
2时,
S
n
-1
=
a
n
-1,又
S
n
=
a
n
+1
-1,两式相减可得
a
n
=
S
n
-
S
n
-1
=
a
n
+1
-1-
a
n
+1,即有
a
n
+1
=4
a
n
(
n
≥
2),则
a
n
=6·
4
n
-2
(
n
≥
2),又
a
1
=1不符合上式,所以
a
n
=
答案
方法总结
1.已知
S
n
求
a
n
的三个步骤:
(1)先利用
a
1
=
S
1
求出
a
1
.
(2)用
n
-1替换
S
n
中的
n
得到一个新的关系,利用
a
n
=
S
n
-
S
n
-1
(
n
≥
2)便可求出当
n
≥
2时
a
n
的表达式.
(3)对
n
=1时的结果进行检验,看是否符合
n
≥
2时
a
n
的表达式,如果符合,则可
以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分
n
=1与
n
≥
2两段来写.
2.
S
n
与
a
n
关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.
(1)利用
a
n
=
S
n
-
S
n
-1
(
n
≥
2)转化为只含
S
n
、
S
n
-1
的关系式,再求解.
(2)利用
S
n
-
S
n
-1
=
a
n
(
n
≥
2)转化为只含
a
n
、
a
n
-1
的关系式,再求解.
考法二
由递推关系求数列的通项公式
例2
已知数列{
a
n
}满足
a
1
=1,
a
2
=
,若
a
n
(
a
n
-1
+2
a
n
+1
)=3
a
n
-1
a
n
+1
(
n
≥
2,
n
∈N
*
),则
数列{
a
n
}的通项公式
a
n
=
( )
A.
B.
C.
D.
解题导引
解析
由
a
n
(
a
n
-1
+2
a
n
+1
)=3
a
n
-1
a
n
+1
(
n
≥
2,
n
∈N
*
),
可得
-
=2
(
n
≥
2),
又
-
=3-1=2,
∴数列
是首项为2,公比为2的等比数列,
∴
-
=2
n
.
∴
=
+
+
…
+
+
=2
n
-1
+2
n
-2
+
…
+2+1=
=2
n
-1.∴
a
n
=
.故选B.
答案
B
方法总结
由递推关系求通项公式的常用方法
其中:(1)
a
n
+1
=
pa
n
+
q
(
p
≠
0,1,
q
≠
0)的求解方法是设
a
n
+1
+
λ
=
p
(
a
n
+
λ
),即
a
n
+1
=
pa
n
+
pλ
-
λ
,与
a
n
+1
=
pa
n
+
q
比较即可知
λ
=
.
(2)
a
n
+1
=
pa
n
+
q
·
p
n
+1
(
p
≠
0,
q
≠
0)的求解方法是两端同时除以
p
n
+1
,得
-
=
q
,
数列
为等差数列.考法三 数列的单调性和最大(小)项
递推式
方法
示例
a
n
+1
=
a
n
+
f
(
n
)
累加法
a
1
=1,
a
n
+1
=
a
n
+2
n
=
f
(
n
)
累乘法
a
1
=1,
=2
n
a
n
+1
=
pa
n
+
q
(
p
≠
0,1,
q
≠
0)
转化为等比数列
a
1
=1,
a
n
+1
=2
a
n
+1
a
n
+1
=
pa
n
+
q
·
p
n
+1
(
p
≠
0,
q
≠
0)
转化为等差数列
a
1
=1,
a
n
+1
=3
a
n
+3
n
-1
例3
(2019河南新乡二模,9)已知数列{
a
n
}的首项
a
1
=21,且满足(2
n
-5)
a
n
+1
=(2
n
-3)
a
n
+4
n
2
-16
n
+15,则{
a
n
}中最小的一项是
( )
A.
a
5
B.
a
6
C.
a
7
D.
a
8
解析
∵4
n
2
-16
n
+15=(2
n
-3)(2
n
-5),∴(2
n
-5)
a
n
+1
=(2
n
-3)
a
n
+(2
n
-3)(2
n
-5),等式
两边同时除以(2
n
-3)(2
n
-5),可得
=
+1,可设
b
n
=
,则
=
b
n
+1
,∴
b
n
+1
=
b
n
+1,即
b
n
+1
-
b
n
=1.∵
b
1
=
=
=-7,∴数列{
b
n
}是以-7为首项,1为公差的
等差数列.∴
b
n
=-7+(
n
-1)
×
1=
n
-8,
n
∈N
*
.∴
a
n
=(
n
-8)(2
n
-5)=2
n
2
-21
n
+40.可把
a
n
看成关于
n
的二次函数,则根据二次函数的性质,可知:当
n
=5或
n
=6时,
a
n
可能
取最小值.∵当
n
=5时,
a
5
=2
×
5
2
-21
×
5+40=-15,当
n
=6时,
a
6
=2
×
6
2
-21
×
6+40=-14,
∴当
n
=5时,
a
n
取得最小值.故选A.
答案
A
方法总结
解决数列的单调性问题可用以下三种方法
(1)用作差比较法,根据
a
n
+1
-
a
n
的符号判断数列{
a
n
}是递增数列、递减数列还
是常数列.
(2)用作商比较法,根据
(
a
n
>0或
a
n
<0)与1的大小关系进行判断.
(3)结合相应函数的图象直观判断.
相关文档
- 2018届二轮复习等差数列、等比数列2021-06-167页
- 【数学】2019届一轮复习北师大版数2021-06-1622页
- 2020届二轮复习等差数列的性质课件2021-06-1626页
- 【数学】2018届一轮复习人教A版高2021-06-1613页
- 【数学】2021届一轮复习人教版文302021-06-165页
- 2019届二轮复习数列的概念与表示法2021-06-1611页
- 【数学】2021届一轮复习北师大版(文2021-06-1614页
- 【数学】2019届一轮复习人教A版数2021-06-1616页
- 等差数列教案82021-06-163页
- 2020学年高一数学下册期末等比数列2021-06-166页