人教版高中数学必修1课件全册精品课件 144页

2021年2月12日 高中数学必修一课件全册（人教A版） 高中数学课件 人教版必修一精品 ppt 数与形 , 本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘 , 几何代数统一体 永远联系莫分离 —— 华罗庚 第一章：集合与函数 第二章：基本初等函数 第三章：函数的应用 第一节：集合 第一章：集合与函数 二、集合的定义与表示 1 、通常，我们把研究的对象称为 元素 ，而某些拥有共同特征的元素所组成的总体叫做 集合 。并用花括号 {} 括起来，用大写字母带表一个集合，其中的元素用逗号分割。 2 、集合有三个特征： 确定性 、 互异性 和 无序性 。就是根据这三个特征来判断是否为一个集合。 一、请关注我们的生活，会发现 ……… 1、高一（ 9 ）班的全体学生： A={ 高一（ 9 ）班的学生} 2、中国的直辖市： B={ 中国的直辖市} 3 、2，4，6，8，10，12，14： C={ 2，4，6，8，10，12，14} 4、我国古代的四大发明： D={ 火药，印刷术，指南针，造纸术} 5、2004年雅典奥运会的比赛项目： E={2008 年奥运会的球类项目} 如何用数学的语言描述这些对象？？ 集合的含义与表示 讨论1： 下列对象能构成集合吗？为什么？ 1、著名的科学家 2、1,2,2,3这四个数字 3、我们班上的高个子男生 讨论2： 集合{ a,b,c,d} 与{ b,c,d,a} 是同一个集合吗？ 三、数集的介绍和集合与元素的关系表示 1、常见数集的表示 N： 自然数集（含0）即非负整数集 N+ 或 N * ： 正整数集（不含0) Z: 整数集 Q： 有理数集 R： 实数集 若一个元素 m 在集合 A 中，则说 m∈A ，读作“元素 m 属于集合 A” 否则，称为 m  A, 读作“元素 m 不属于集合 A。 例如：1 N， -5 Z,  Q ∈ ∈   2、集合与元素的关系（属于∈或不属于  ）  1.5 N 四、 集合的表示方法 1、列举法 就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法 注意 ：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内。 例如： book 中的字母组成的集合表示为： ｛ｂ，ｏ， o， ｋ ｝ ｛ｂ，ｏ，ｋ ｝ 一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的图像的交点组成的集合。 ｛ 1,4｝ ｛（ 1,4 ） ｝ 2 、描述法 就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。其一般形式为： 注意 ：1、中间的“ | ”不能缺失； 2、不要忘记标明 x∈R 或者 k∈Z ，除非上下文明确表示 。 { x | p(x) } 例如： book 中的字母的集合表示为： A= ｛ x|x 是 book 中的字母 ｝ 所有奇数组成的集合： A={x∈R|x=2k+1, k∈Z} 所有偶数组成的集合： A={x∈R|x=2k, k∈Z} 思考： 1、比较这三个集合： A={x ∈Z|x<10} ， B={x ∈R|x<10} ， C={x |x<10} ； 例题： 求由方程 x 2 -1=0 的实数解构成的集合。 解： (1)列举法：{-1,1}或{1，-1}。 (2)描述法：{ x|x 2 -1=0，x∈R} 或{ X|X 为方程 x 2 -1=0 的实数解} 2 、两个集合相等 如果两个集合的元素完全相同，则它们相等。 例：集合 A={x|x 为小于 5 的素数 } ，集合 A={x ∈ R|(x-1)(x-3)=0} ，这两个集合相等吗。 根据集合中元素 个数的多少 ，我们将集合分为以下两大类： 1、有限集：含有有限个元素的集合称为 有限集 特别，不含任何元素的集合称为 空集,记为 ， 注意 ： 不能表示为{}。 2.无限集：若一个集合不是有限集，则该集合称为 无限集 五、集合的分类 练习题 1 、直线 y=x 上的点集如何表示？ 2 、方程组 的解集如何表示？ x+y=2 x-y=1 3 、若{1， a} 和{ a,a 2 } 表示同一个集合， 则 a 的值不能为多少？ 集合间的基本关系 实数有相等关系、大小关系，如 5 ＝ 5 ， 5 ＜ 7 ， 5 ＞ 3 ，等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？ 观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？ ⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5}; ⑵ 设 A 为新华中学高一 (2) 班女生的全体组成的集合 , B 为这个班学生的全体组成的集合 ; ⑶ 设 C ＝ {x|x 是两条边相等的三角形 } ， D={x|x 是等腰三角形 }. 一、子集和真子集的概念 1 、子集：一般地，对于两个集合 A 、 B ， 如果集合 A 中 任意一个元素 都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的 子集 . B A   读作： A 包含于 B ，或者 B 包含 A 可以联系数与数之间的“ ≤ ”   2 、真子集： 3 、空集： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 Φ ， 并规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。   4 、补集与全集 设 A S， 由 S 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集，记作 C S A ， 即 C S A ＝｛x|x ∈ S, 且 x A} 　　 如图，阴影部分即 C S A . S A 如果集合 S 包含我们所要研究的各个集合，这时集合 S 看作一个全集，通常记作 U。 例题、不等式组　　　　　的解集为 A，U＝R， 试求 A 及 C U A， 并把它们 分别表示在数轴上。 1、 C U A 在 U 中的补集是什么？ 2、 U＝Z，A=｛x|x=2k,k∈Z}, 　 B={x|x=2k+1,K∈Z}, 则 C U A＝＿＿＿， 　C U B＝＿＿＿＿。 思考 : 练习题 重点考察对空集的理解！ 4 、设集合 A={x|1≤x≤3} ， B={x|x-a≥0} ，若 A 是 B 的真子集，求实数 a 的取值范围。 5 、设 A={1 ， 2} ， B={x|x A} ，问 A 与 B 有什么关系？并用列举法写出 B ？ 7 、判断下列表示是否正确: (1)a {a}; (2) {a} ∈{a,b}; (3){a,b} {b,a}; (4){-1,1} {-1,0,1} (5)0; (6)  {-1,1}.   4 、补集与全集 集合与集合的运算 一 般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素构成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作 A∩B， 即 A∩B={x|x ∈ A， 且 x∈B} A∩B 可用右图中的阴影部分来表示。 U A B A∩B 1 、交集 其实，交集用通俗的语言来说，就是找两个集中中共同存在的元素。 例题： 1、 A={-1,1,2,3},B={-1,-2,1},C={-1,1}; 2,3 -2 -1,1 A B C 交集的运算性质： 思考题：如何用集合语言描述？ 2 、并集 一般地，由所有属于集合 A 或者属于集合 B 的所构成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作 A∪B， 即 A∪B = {x|x ∈ A， 或 x∈B} A ∪ B 可用右图中的阴影部分来表示 U A B 其实，并集用通俗的语言来说，就是把两个集合的元素合并到一起。所以交集是“求同”，并集是存异。 例题： 设集合 A={ x|-1 单调区间 O x y x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 二、函数单调性考察的主要问题   3 、证明一个函数具有单调性的证明方法：从定义出发，设定任意的两个 x1 和 x2 ，且 x2>x1 ，通过计算 f(x2)—f(x1)>0 或者 <0 恒成立。里面通常都是用因式分解的办法，把 f(x2)—f(x1) 转化成（ x2-x1 ）的表达式。最后判断 f(x2)—f(x1) 是大于 0 还是小于 0 。 2 、 x 1 , x 2 取值的 任意 性 . x x 1 x 2 I y f ( x 1 ) f ( x 2 ) O M N 例 1 、下图为函数 y=f(x), x ∈[-4,7] 的图像，指出它的单调区间。 [-1.5 ， 3] ， [5 ， 6] [-4 ， -1.5] ， [3 ， 5] ， [6 ， 7] 解：单调增区间为 单调减区间为 1 2 3 -2 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x o -4 -1 y -1.5 例 2. 画出下列函数图像，并写出单调区间： 数缺形时少直观 x y _____________ , 讨论 1 ： 根据函数单调性的定义， 讨论 2 ： 　　　　　　在 (-∞ ， 0 ）和（ 0 ， +∞) 上 的单调性 ？ 例 3. 判断函数 在定义域 [1 ， + ∞）上的单调性，并给出证明： 1. 任取 x 1 ， x 2 ∈ D ，且 x 1 < x 2 ； 2. 作差 f ( x 1 ) － f ( x 2 ) ； 3. 变形（通常是因式分解和配方）； 4. 定号（即判断差 f ( x 1 ) － f ( x 2 ) 的正负）； 5. 下结论 主要步骤 形少数时难入微 证明：在区间 [1 ， +∞ ） 上任取两个值 x1 和 x2 ， 且 x10 ab=0 ab<0   Δ>0 Δ=0 Δ<0 x=- b 2a x y 0 a<0 x y 0 a<0 x y 0 c x y 0 Δ>0 Δ=0 Δ<0 数缺形时少直观 四、平移问题 对一个已知函数进行平移，如函数的表达式可以统一表示为 y=f(x) ，则平移后的方程遵循右上减，左下加的原则，具体如下： 向右平移 k 个单位，则平移后的表达式为 y=f(x-k) ； 向左平移 k 个单位，则平移后的表达式为 y=f(x+k) ； 向上平移 h 个单位，则平移后的表达式为 y-h=f(x) ； 想下平移 h 个单位，则平移后的表达式为 y+h=f(x); 如果在横向和纵向上都有移动，则同时根据上述原则变化 y 和 f(x) ，各变各的，再进行整理。如：向左平移 k 个单位，向上平移 h 个单位，则平移后的表达式为 y-h=f(x+k)     注意： 1 、在替换的时候要替换 所有的 ，尤其是 x ，替换时候最好带上括号，避免出错。 2 、平移的 先后次序不影响平移结果 ，即无所谓先向左右，还是先向上下。只要是向坐标轴的正向移动，就用负号，只要是向坐标轴的负向移动就用正号。       (3) ④ 连线 ① 画对称轴 ② 确定顶点 ③ 确定与坐标轴的交点 及对称点 0 x y x=-1 • M(-1,-2) • •   • A(-3,0) B(1,0) D   (5) 当 x≤-1 时， y 随 x 的增大而减小 ; 当 x=-1 时， y 有最小值为 y 最小值 =-2 由图象可知 (6) 当 x < -3 或 x > 1 时， y > 0 当 -3 < x < 1 时， y < 0 1. 抛物线 的顶点坐标是 ( ). (A)(-1,-3) (B)(1,3) (C)(-1,8) (D)(1,-8) 2. 在同一直角坐标系中， 抛物线 与坐标轴的交点个数是 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 3. 已知二次函数ｙ＝ａｘ ２ ＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，则有（　　） ( Ａ ) a ＜ 0,b ＜ 0,c ＞ 0 ( Ｂ ) a ＜ 0,b ＜ 0,c ＜ 0 　　 (C) a ＜ 0,b ＞ 0,c ＞ 0 (D) a ＞ 0,b ＜ 0,c ＞ 0 四、巩固练习 4 、二次函数 y=x 2 -x-6 的图象顶点坐标是 ___________ 对称轴是 _________ 。 5 、 抛物线 y=-2x 2 +4x 与 x 轴的交点坐标是 ___________ 6 、已知函数 y=—x 2 -x-4 ，当函数值 y 随 x 的增大而减小时， x 的取值范围是 ___________ 7 、二次函数 y=mx 2 -3x+2m-m 2 的图象经过原点，则 m= ____ 。 8 、二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是 __________ 1 -1 0 x y ①abc < 0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤ Δ= b-4ac > 0 9 、二次函数 f(x) 满足 f(3+x)=f(3-x) 且 f(x)=0 有两个实根 x 1 , x 2 ， 则 x 1 +x 2 等于_________. 10 、数 f(x)=2x 2 -mx+3 ， 当 x ∈(-∞,-1] 时是减函数，当 x∈(-1,+∞) 时是增函数，则 f(2)= _______. 11 、关于 x 的方程 x 2 +(a 2 -1)x+(a-2)=0 的一根比1大，另一根比1小，则有( ) (A) -1＜a＜1 (B) a＜-2 或 a＞1 (C) -2＜a＜1 (D) a＜-1 或 a＞2 12 、设 x,y 是关于 m 的方程 m 2 -2am+a+6=0 的两个实根，则 ( x-1) 2 +(y-1) 2 的最小值是( C ) (A)-12 (B)18 (C)8 (D)34 13 、设函数 f(x)=|x|·x+bx+c ， 给出下列命题： ① b=0,c＞0 时， f(x)=0 只有一个实数根； ② c=0 时， y=f(x) 是奇函数； ③ y=f(x) 的图象关于点(0， c ) 对称； ④方程 f(x)=0 至多有2个实数根. 上述命题中的所有正确命题序号是_______ ①②③ 函数的基本性质 —— 奇偶性 1 、已知函数 f(x)=x 2 , 求 f(-2),f(2), f(-1),f(1), 及 f(-x) , 并画出它的图象。 解 : f(-2)=(-2) 2 =4 f(2)=4 f(-1)=(-1) 2 =1 f(1)=1 f(-x)=(-x) 2 =x 2 x y o ( x,y) (-x,y) f(-x) f(x) -x x f(-2)=f(2) f(-1)=f(1) f(-x)=f(x) 说明 : 当自变量任取定义域中的两个相反数时 , 对应的函数值相等即 f(-x)=f(x) 如果对于 f(x) 定义域内的 任意一个 x , 都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x) 就叫 偶函数 . 偶函数定义 : 2. 已知 f(x)=x 3 , 画出它的图象 , 并求出 f(-2) ， f(2) ， f(-1) ， f(1) 及 f(-x) 解 : f(-2)=(-2) 3 =-8 f (2)=8 f(-1)=(-1) 3 =-1 f(1)=1 f(-x)=(-x) 3 =-x 3 x y o -x x f(-x) f(x) (-x,-y) (x,y) f(-2)= - f(2) f(-1)= - f(1) f(-x)= - f(x) 说明 : 当自变量任取定义域中的两个相反数时 , 对应的函数值也互为相反数 , 即 f(-x)=-f(x) 奇函数定义 : 如果对于 f(x) 定义域内的 任意一个 x , 都有 f(-x)=-f(x) , 那么函数 f(x) 就叫 奇函数 . ★ 对奇函数、偶函数定义的说明 : （ 1 ）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。如， f(x)=x 2 (x>0) 是偶函数吗 O x [-b,-a] [a,b] （ 2 ）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若 f(x) 为偶函数 , 则 f(-x)= f(x) 成立。 若 f(x) 为奇函数 , 则 f(-x)= － f(x) 成立。 （ 3 ） 如果一个函数 f(x) 是奇函数或偶函数 , 那么我们就说函 数 f(x) 具有奇偶性。 例 1. 判断下列函数的奇偶性 解 : 定义域为 R ∵f(-x)=(-x) 3 +2(-x) = -x 3 -2x = -(x 3 +2x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x) 为奇函数 解 : 定义域为 R ∵f(-x)=2(-x) 4 +3(-x) 2 =2x 4 +3x 2 即 f(-x)= f(x) ∴f(x) 为偶函数 (1) f(x)=x 3 +2x (2) f(x)=2x 4 +3x 2 （ 2 ）奇函数的图象关于原点对称 . 反过来 , 如果一个函数的图象关于原点对称 , 那么这个函数为奇函数 . （ 1 ）偶函数的图象关于 y 轴对称 . 反过来 , 如果一个函数的图象关于 y 轴对称 , 那么这个函数为偶函数 . 注：奇偶函数图象的性质可用于： ① . 简化函数图象的画法。 ② . 判断函数的奇偶性。 ★ 奇偶函数图象的性质 : ★ 两个定义 : 对于 f(x) 定义域内的任意一个 x , 如果都有 f(-x)=-f(x) f(x) 为奇函数。 如果都有 f(-x)= f(x) f(x) 为偶函数。 ★ 两个性质 : 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。 一个函数为偶函数 它的图象关于 y 轴对称。   (2) f(x)= - x 2 +1 (3). f(x)=5 (4) f(x)=0 练习题 (5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x 2 x∈[- 1 , 3]   第二章：基本初等函数 第一节：指数函数 指数与指数幂的运算   根式 探究   a ， a≥0 –a ， a ≤ 0   分数指数幂 指数运算法则   结合具体的理解进行记忆 引例 1 ： 某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个， 2 个分裂成 4 个， ……. 1 个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？ 分裂次数： 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … ， x 细胞个数： 2 ， 4 ， 8 ， 16 ， … ， y 由上面的对应关系可知，函数关系是 引例 2 ： 某种商品的价格从今年起每年降低 15% ，设原来的价格为 1 ， x 年后的价格为 y ，则 y 与 x 的函数关系式为 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于 0 且不等于 1 的常量的函数叫做指数函数 . 即： ，其中 x 是自变量，函数定义域是 R 定义 指数函数及其性质 探究 1 ：为什么要规定 a>0, 且 a ≠1 呢？ ①若 a=0 ，则当 x>0 时， =0 ；当 x 0 时， 无意义 . ② 若 a<0 ，则对于 x 的某些数值，可使 无意义 . 如 ，这时对于 x= ， x= ， … 等等，在实数范围内函数值不存在 . ③ 若 a=1 ，则对于任何 x ∈ R ， =1 ，是一个常量，没有研究的必要性 . 为了避免上述各种情况，所以规定 a>0 且 a≠1 在规定以后，对于任何 x R ， 都有意义，且 >0. 因此指数函数的定义域是 R ，值域是 (0,+∞).     引例： x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 … … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 … … 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 … x … -1.5 -1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 1 1.5 … … 0.03 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 31.62 … … 31.62 10 3.16 1.78 1 0.56 0.32 0.1 0.03 …   例题讲解： 课本 P56 、 57 中的例 6 、例 7 和例 8 课堂练习： 课本 P58 的练习 1 、 2 进一步拓展 进一步拓展 复合函数求单调区间 综合练习 课本 P59 页习题 2.1 第二章：基本初等函数 第二节：对数函数 对数及其运算   前节内容回顾： 引导：   定义：   X x X x 两种特殊的底： 10 和 e   探究：   结论： 负数和零没有对数。 练习： 课本 P64 页 对数运算法则   探究：       换底公式的证明与应用   例题讲解： 课堂练习： 1 、课本 P65 页，例 2— 例 6 ： 1 、课本 P68 页   对数函数及其性质 我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个， 2 个分裂成 4 个 ……1 个这样的细胞分裂成 x 次后，得到细胞个数 y 是分裂次数 x 的函数，这个函数可以用指数函数 ___________ 表示。 反过来， 1 个细胞经过多少次分裂，大约可以等于 1 万个、 10 万个 …… 细胞？已知细胞个数 y ，如何求分裂次数 x ？得到怎样一个新的函数？ 1 2 4 y=2 x …… y x=? 复习引入 y=2 x ,x∈N   1 、对数函数的定义： 2 、指数函数与对数函数两者图像之间的关系   x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 … … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 … x … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 … … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 … -1 X Y O 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 Y=log 2 x Y=x Y=2 x -1 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 图 象 性 质 a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1 定义域 : 值 域 : 过定点： 在 ( 0 ,+∞) 上 是 函数 在 ( 0 ,+∞) 上 是 函数 y x 0 x ＝ 1 y=log a x (a ＞ 1) y x 0 y=log a x (0 ＜ a ＜ 1) (1,0) (1,0) ( 0 ,+∞) R ( 1 , 0 ) 增 减 对数函数的图像和性质 例 1 ：求下列函数的定义域： （ 1 ） ； （ 2 ） ； （ 3 ） 反函数   1 、定义： 2 、求法： 已知某个函数的表达式， y=f(x) ，求其反函数的方法和步骤如下： （ 1 ）通过表达式 y=f(x) ，把函数表示成 x=g(y) 的形式 （ 2 ）把求得的 x=g(y) 的位置对调，即 y=g(x) 的形式 3 、注意： 只有是严格一一对应的函数才能求其反函数，即存在多对一的情况的函数是没有反函数的。有反函数不一定有单调性，如 y=1/x ？ 练习 课本 P73,74 页 第二章：基本初等函数 第三节：幂函数 幂函数定义     注意：                           第三章：函数的应用 第一节：函数与方程 要点梳理 1. 函数的零点 （ 1 ）函数零点的定义 对于函数 y = f ( x )( x ∈ D ), 把使 _______ 成立的实数 x 叫 做函数 y = f ( x )( x ∈ D ) 的零点 . f ( x )=0 基础知识 自主学习 （ 2 ）几个等价关系 方程 f ( x )=0 有实数根 函数 y = f ( x ) 的图象与 _____ 有 交点 函数 y = f ( x ) 有 _______. (3) 函数零点的判定（零点存在性定理） 如果函数 y = f ( x ) 在区间［ a ， b ］上的图象是连续不 断的一条曲线，并且有 _________________, 那么函 数 y = f ( x ) 在区间 ________ 内有零点 , 即存在 c ∈( a , b ), 使得 _________ ，这个 ____ 也就是 f ( x )=0 的根 . f （ a ） · f （ b ） <0 ( a ， b ) f ( c )=0 c x 轴 零点 2. 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a >0) 的图象与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a >0) 的图象 与 x 轴的交点 __________________ ________ 无交点 零点个数 ______ _____ ___ ( x 1 ,0), ( x 2 ,0) ( x 1 ,0) 无 一个 两个 3. 二分法 （ 1 ）二分法的定义 对于在区间［ a ， b ］上连续不断且 _____________ 的 函数 y = f ( x ) ，通过不断地把函数 f ( x ) 的零点所在的区 间 __________, 使区间的两个端点逐步逼近 _____, 进 而得到零点近似值的方法叫做二分法 . （ 2 ）用二分法求函数 f ( x ) 零点近似值的步骤 第一步，确定区间［ a ， b ］，验证 ______________, 给定精确度 ； 第二步，求区间（ a ， b ）的中点 x 1 ； f ( a )· f ( b )<0 一分为二 零点 f ( a )· f ( b )<0 第三步，计算 _______ ： ①若 _______ ，则 x 1 就是函数的零点； ②若 _____________ ，则令 b = x 1 ( 此时零点 x 0 ∈( a , x 1 )); ③ 若 ______________ ，则令 a = x 1 ( 此时零点 x 0 ∈( x 1 , b )); 第四步，判断是否达到精确度 ：即若 | a - b |< , 则 得到零点近似值 a （或 b ） ; 否则重复第二、三、四步 . f ( x 1 ) f ( a )· f ( x 1 )<0 f ( x 1 )· f ( b )<0 f ( x 1 )=0 基础自测 1. 若函数 f ( x )= ax + b 有一个零点为 2, 则 g ( x )= bx 2 - ax 的 零点是 （ ） A.0 ， 2 B.0 ， C.0 ， D.2, 解析 由 f (2)=2 a + b =0, 得 b =-2 a , ∴ g ( x )=-2 ax 2 - ax =- ax (2 x +1). 令 g ( x )=0 ，得 x =0, x = ∴ g （ x ）的零点为 0 ， C 2. 函数 f ( x )=3 ax -2 a +1 在［ -1 ， 1 ］上存在一个零点， 则 a 的取值范围是 （ ） A. B. a ≤1 C. D. 解析 f ( x )=3 ax -2 a +1 在 [-1 ， 1] 上存在一个零点， 则 f (-1)· f (1)≤0, 即 D 3. 函数图象与 x 轴均有公共点，但不能用二分法求公 共点横坐标的是 （ ） 解析 图 B 不存在包含公共点的闭区间［ a ， b ］使函 数 f （ a ） · f （ b ） <0. B 4. 下列函数中在区间 [1,2] 上一定有零点的是（ ） A. f ( x )=3 x 2 -4 x +5 B. f ( x )= x 3 -5 x -5 C. f ( x )= mx 2 -3 x +6 D. f ( x )=e x +3 x -6 解析 对选项 D ，∵ f （ 1 ） =e-3<0 ， f （ 2 ） =e 2 >0 ， ∴ f （ 1 ） f （ 2 ） <0. D 5. 设函数 则函数 f ( x )- 的零点是 __________. 解析 当 x ≥1 时， 当 x <1 时， ( 舍去大于 1 的根 ). ∴ 的零点为 题型一 零点的判断 【 例 1 】 判断下列函数在给定区间上是否存在零点 . (1) f （ x ） = x 2 -3 x -18 ， x ∈ ［ 1 ， 8 ］； (2) f （ x ） =log 2 ( x +2)- x ， x ∈ ［ 1 ， 3 ］ . 第（ 1 ）问利用零点的存在性定理或 直接求出零点，第（ 2 ）问利用零点的存在性定理 或利用两图象的交点来求解 . 思维启迪 题型分类 深度剖析 解 （ 1 ） 方法一 ∵ f （ 1 ） =1 2 -3×1-18=-20<0 ， f （ 8 ） =8 2 -3×8-18=22>0 ， ∴ f (1)· f (8)<0 ， 故 f ( x )= x 2 -3 x -18, x ∈[1 ， 8] 存在零点 . 方法二 令 f ( x )=0 ，得 x 2 -3 x -18=0, x ∈[1 ， 8]. ∴( x -6)( x +3)=0 ， ∴ x =6∈[1 ， 8], x =-3[1 ， 8] ， ∴ f （ x ） = x 2 -3 x -18 ， x ∈[1 ， 8] 有零点 . (2) 方法一 ∵ f （ 1 ） =log 2 3-1>log 2 2-1=0, f (3)=log 2 5-31), 判断 f ( x )=0 的根的个数 . 解 设 f 1 ( x )= a x ( a >1), f 2 ( x )= 则 f ( x )=0 的解即为 f 1 ( x )= f 2 ( x ) 的解 , 即为函数 f 1 ( x ) 与 f 2 ( x ) 图象交点的横坐标 . 在同一坐标系中，作出函数 f 1 ( x )= a x ( a >1) 与 f 2 ( x )= 的图象 ( 如 图所示） . 两函数图象有且只有一个交点，即方程 f ( x )=0 有且 只有一个根 . 题型三 零点性质的应用 【 例 3 】 (12 分 ) 已知函数 f ( x )=- x 2 +2e x + m -1, g ( x )= x + ( x >0). (1) 若 g ( x )= m 有零点，求 m 的取值范围； (2) 确定 m 的取值范围，使得 g ( x )- f ( x )=0 有两个 相异实根 . （ 1 ）可结合图象也可解方程求之 . （ 2 ）利用图象求解 . 思维启迪 解 （ 1 ） 方法一 ∵ 等号成立的条件是 x =e. 故 g ( x ) 的值域是 [2e ， +∞) ， 4 分 因而只需 m ≥2e ，则 g ( x )= m 就 有零点 . 6 分 方法二 作出 的图象如图： 4 分 可知若使 g ( x )= m 有零点，则只需 m ≥2e. 6 分 方法三 解方程由 g （ x ） = m ，得 x 2 - mx +e 2 =0. 此方程有大于零的根， 4 分 等价于 故 m ≥2e. 6 分 (2) 若 g ( x )- f ( x )=0 有两个相异的实根， 即 g （ x ） = f （ x ）中函数 g （ x ）与 f （ x ）的图象有两个 不同的交点， 作出 （ x >0 ）的图象 . ∵ f （ x ） =- x 2 +2e x + m -1 =-( x -e) 2 + m -1+e 2 . 其对称轴为 x =e ，开口向下， 最大值为 m -1+e 2 . 10 分 故当 m -1+e 2 >2e, 即 m >-e 2 +2e+1 时， g ( x ) 与 f ( x ) 有两个交点， 即 g ( x )- f ( x )=0 有两个相异实根 . ∴ m 的取值范围是（ -e 2 +2e+1,+∞). 12 分 此类利用零点求参数的范围的问题，可 利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构 造两函数图象求解 , 使得问题简单明了 . 这也体现了 当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求 参数的范围，一般采用数形结合法求解 . 探究提高 知能迁移 3 是否存在这样的实数 a , 使函数 f ( x )= x 2 + (3 a -2) x + a -1 在区间 [-1,3] 上与 x 轴恒有一个零点 , 且只有一个零点 . 若存在 , 求出范围 , 若不存在 , 说 明理由 . 解 ∵ Δ=(3 a -2) 2 -4( a -1)>0 ∴ 若实数 a 满足条件 , 则只需 f (-1)· f (3)≤0 即可 . f (-1)· f (3)=(1-3 a +2+ a -1)·(9+9 a -6+ a -1) =4(1- a )(5 a +1)≤0. 所以 a ≤ 或 a ≥1. 检验 :(1) 当 f (-1)=0 时， a =1. 所以 f ( x )= x 2 + x . 令 f ( x )=0 ，即 x 2 + x =0 ，得 x =0 或 x =-1. 方程在 [-1,3] 上有两根，不合题意，故 a ≠1. (2) 当 f (3)=0 时， a = 解之得 x = 或 x =3. 方程在 [-1,3] 上有两根 , 不合题意 , 故 a ≠ 综上所述 , a < 或 a >1. 1. 函数零点的判定常用的方法有：①零点存在性定 理；②数形结合；③解方程 f （ x ） =0. 2. 研究方程 f ( x )= g ( x ) 的解，实质就是研究 G ( x )= f （ x ） - g （ x ）的零点 . 3. 二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法 . 其 实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在 的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的 任一点就是这个函数零点的近似值 . 方法与技巧 思想方法 感悟提高 1. 对于函数 y = f ( x )( x ∈ D ), 我们把使 f ( x )=0 的实数 x 叫 做函数的零点 , 注意以下几点 : (1) 函数的零点是一个实数 , 当函数的自变量取这个 实数时 , 其函数值等于零 . (2) 函数的零点也就是函数 y = f ( x ) 的图象与 x 轴的交点 的横坐标 . (3) 一般我们只讨论函数的实数零点 . (4) 函数的零点不是点 , 是方程 f ( x )=0 的根 . 失误与防范 2. 对函数零点存在的判断中 , 必须强调 : (1) f ( x ) 在［ a , b ］上连续 ; (2) f ( a )· f ( b )<0; (3) 在（ a , b ）内存在零点 . 事实上 , 这是零点存在的一个充分条件 , 但不必要 . 一、选择题 1. 设 f ( x )=3 x - x 2 , 则在下列区间中，使函数 f ( x ) 有零点 的区间是 （ ） A.[0 ， 1] B.[1 ， 2] C.[-2 ， -1] D.[-1 ， 0] 解析 ∵ f （ -1 ） =3 -1 -(-1) 2 = f （ 0 ） =3 0 -0 2 =1>0 ， ∴ f （ -1 ） · f （ 0 ） <0 ， ∴有零点的区间是 [-1 ， 0]. D 定时检测 2. 设函数 ( x >0), 则 y = f ( x ) （ ） A. 在区间 (1,e) 内均有零点 B. 在区间 (1,e) 内均无零点 C. 在区间 内有零点，在区间 (1,e) 内无零点 D. 在区间 内无零点 , 在区间 (1,e) 内有零点 解析 因为 因此 f ( x ) 在 内无零点 . 因此 f ( x ) 在 (1 ， e) 内有零点 . 答案 D 3. 若函数 f （ x ）的零点与 g ( x )=4 x +2 x -2 的零点之差的绝对值不超过 0.25 ，则 f ( x ) 可以是 （ ） A. f ( x )=4 x -1 B. f ( x )=( x -1) 2 C. f ( x )=e x -1 D. 解析 ∵ g ( x )=4 x +2 x -2 在 R 上连续且 设 g ( x )=4 x +2 x -2 的零点为 x 0 , 则 又 f ( x )=4 x -1 零点为 f ( x )=( x -1) 2 零点为 x =1; f ( x )=e x -1 零点为 x =0; 零点为 答案 A 4. 方程 | x 2 -2 x |= a 2 +1( a ∈ R + ) 的解的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ∵ a ∈ R + ，∴ a 2 +1>1. 而 y =| x 2 -2 x | 的图象如图， ∴ y =| x 2 -2 x | 的图象与 y = a 2 +1 的图象总有两个交点 . ∴ 方程有两解 . B 5. 方程 | x |( x -1)- k =0 有三个不相等的实根，则 k 的取 值范围是 （ ） A. B. C. D. 解析 本题研究方程根的个数问题 , 此类问题首选 的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题 , 其 次是直接求出所有的根 . 本题显然考虑第一种方法 . 如图，作出函数 y =| x |·( x -1) 的 图象，由图象知当 k ∈ 时， 函数 y = k 与 y =| x |( x -1) 有 3 个不同的 交点，即方程有 3 个实根 . 答案 A 6. 设 f ( x )= x 3 + bx + c ( b >0)(-1≤ x ≤1), 且 则方程 f ( x )=0 在 [-1,1] 内 ( ) A. 可能有 3 个实数根 B. 可能有 2 个实数根 C. 有唯一的实数根 D. 没有实数根 解析 ∵ f （ x ） = x 3 + bx + c （ b >0 ）， ∴ f ′( x )=3 x 2 + b >0,∴ f （ x ）在 [-1,1] 上为增函数 , 又∵ ∴ f （ x ）在 内存在唯一零点 . C 二、填空题 7. 若函数 f ( x )= x 2 - ax - b 的两个零点是 2 和 3 ，则函数 g ( x )= bx 2 - ax -1 的零点是 ________. 解析 ∴ g （ x ） =-6 x 2 -5 x -1 的零点为 8. 若函数 f ( x )= x 2 + ax + b 的两个零点是 -2 和 3, 则不等式 af (-2 x )>0 的解集是 ________________. 解析 ∵ f （ x ） = x 2 + ax + b 的两个零点是 -2 ， 3. ∴-2 ， 3 是方程 x 2 + ax + b =0 的两根， 由根与系数的关系知 ∴ f ( x )= x 2 - x -6.∵ 不等式 af (-2 x )>0 ， 即 -(4 x 2 +2 x -6)>0 2 x 2 + x -3<0, 解集为 9. 已知 y = x ( x -1)( x +1) 的图象如图所示 , 今考虑 f ( x )= x ( x -1)( x +1)+0.01, 则方程 f ( x )=0 ① 有三个实根； ②当 x <-1 时 , 恰有一实根 ( 有一 实根且仅有一实根 ); ③ 当 -1< x <0 时，恰有一实根； ④当 0< x <1 时，恰有一实根； ⑤当 x >1 时，恰有一实根 . 则正确结论的编号为 ___________. 解析 ∵ f （ -2 ） =-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0, f （ -1 ） =0.01>0 ，即 f (-2)· f (-1)<0 ， ∴在（ -2 ， -1 ）内有一个实根 . 由图中知：方程 f ( x )=0 在 (-∞,-1) 上 , 只有一个实根 , 所以②正确 . 又∵ f (0)=0.01>0, 由图知 f ( x )=0 在 (-1,0) 上没有实数 根 , 所以③不正确 . 又∵ f (0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0, f (1)=0.01>0, 即 f (0.5) f (1)<0, 所以 f ( x )=0. 在 (0.5,1) 上必有一个实根 , 且 f (0)· f （ 0.5 ） <0, ∴ f （ x ） =0 在（ 0 ， 0.5 ）上也有一个实根 . ∴ f （ x ） =0 在（ 0 ， 1 ）上有两个实根，④不正确 . 由 f （ 1 ） >0 且 f ( x ) 在（ 1 ， +∞ ）上是增函数， ∴ f （ x ） >0, f ( x )=0 在（ 1 ， +∞ ）上没有实根 . ∴⑤ 不正确 . 并且由此可知①也正确 . 答案 ①② 三、解答题 10. 已知函数 f ( x )=4 x + m ·2 x +1 有且仅有一个零点，求 m 的取值范围，并求出该零点 . 解 ∵ f （ x ） =4 x + m ·2 x +1 有且仅有一个零点， 即方程 (2 x ) 2 + m ·2 x +1=0 仅有一个实根 . 设 2 x = t ( t >0) ，则 t 2 + mt +1=0. 当 Δ=0, 即 m 2 -4=0 ， ∴ m =-2 时， t =1; m =2 时， t =-1 不合题意，舍去， ∴ 2 x =1 ， x =0 符合题意 . 当 Δ>0 ，即 m >2 或 m <-2 时， t 2 + mt +1=0 有两正或两负根， 即 f ( x ) 有两个零点或没有零点 . ∴ 这种情况不符合题意 . 综上可知： m =-2 时 , f ( x ) 有唯一零点 , 该零点为 x =0. 11. 关于 x 的二次方程 x 2 +( m -1) x +1=0 在区间 [0 ， 2] 上 有解，求实数 m 的取值范围 . 解 设 f ( x )= x 2 +( m -1) x +1, x ∈ ［ 0 ， 2 ］， ①若 f ( x )=0 在区间［ 0 ， 2 ］上有一解， ∵ f （ 0 ） =1>0, 则应有 f (2)≤0, 又∵ f （ 2 ） =2 2 + （ m -1 ） ×2+1, ∴ m ≤ ② 若 f ( x )=0 在区间［ 0,2 ］上有两解 , 则 由①②可知 m ≤-1. 12. 已知 a 是实数，函数 f ( x )=2 ax 2 +2 x -3- a . 如果函数 y = f ( x ) 在区间［ -1 ， 1 ］上有零点 , 求 a 的取值范围 . 解 （ 1 ）当 a =0 时， f ( x )=2 x -3. 令 2 x -3=0, 得 x = ［ -1 ， 1 ］ ∴ f （ x ）在［ -1 ， 1 ］上无零点，故 a ≠0. （ 2 ）当 a >0 时， f ( x )=2 ax 2 +2 x - 3- a 的对称轴为 ① 当 ≤ -1, 即 0< a ≤ 时， 须使 ∴ a 的解集为 . ② 当 -1< <0, 即 a > 时， 须使 解得 a ≥1,∴ a 的取值范围是［ 1 ， +∞). （ 3 ）当 a <0 时， ①当 0< ≤1, 即 a ≤ 时， 须有 又 a ≤ ∴ a 的取值范围是 ② 当 >1, 即 < a <0 时， 须有 ∴ a 的解集为  . 综上所述， a 的取值范围是 返回