高中数学选修4-1《几何证明选讲》全套教案（55页） 55页

高中数学选修 4-1 全套教案 一 平行线分线段成比例定理 教学目的： 1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明； 2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法； 3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。 教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。 教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。 教学用具：圆规、三角板、投影仪及投影胶片。 教学过程： （一）旧知识的复习 利用投影仪提出下列各题使学生解答。 1．求出下列各式中的 x：y。 （1）3x=5y； （2）x= y 3 2 ； （3）3：2= ：  ； （4）3：  =5： 。 2．已知       求, 2 7 。 3．已知 zyx zyxz    32 , 432 求  。 其中第 1 题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第 2、3 题以学生各自解答，指定 2 人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行。 （二）新知识的教学 1．提出问题，使学生思考。 在已学过的定理中，有没有包含两条线段的比是 1：1 的？ 而后使学生试答，如果答出定理——过三角形一边的中点 与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答 不出，那么利用图 1（若 E是 AB 中点，EF//BC，交 AC 于 F 点， 则 AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出 1 1  FC AF EB AE ，并 指出此定理也可谓：如果 E是△ABC的AB边上一点，且 1 1  EB AE ， EF//BC 交 AC 于 F 点，那么 1 1  FC AE EB AE 。 2．引导学生探索与讨论。 就着上述结论提出，在△ABC 中，EF//BC 这个条件不变，但 EB AE 不等于 1 1 ，譬如 EB AE = 3 2 时， FC AF 应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜想”——配合着黑板 上画出的相应图观察、明确。 而后使学生试证，如能证明，则让学生进行证明，并明 确论证的理论根据，如果学生不会证明，那么以“可否类比 着平行线等分线段定理的证法？”引导，而后指定学生进行 证明。 继而再问学生，是否还有包含线段的比是 1：1 的定理，学生答出定理——过梯形一腰的 中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图 2），并随即提出问题： 在梯形 ABCD 中，EF//BC 的条件不变，但 E 不是 AB 的中点，仍如 EB AE = 3 2 ，那么是否 FC DF 也等于 3 2 ？ 而后利用投影仪演示由三角形的一边“平移”后产生梯形的图（图 3）。 就图 3 的“平移”演示，使学生在各自的已经画出的图上“发展”出梯形（包含 EF 的延 长线），也得到 EB AE = 3 2 = FC AF （补足图 3 中的比例式）。 3．引出平行线分线段成比例定理并作补步证明， 首先引导学生就图 1、图 2 回忆：它们是哪个定量的特例？学生答出后，随即提出问题： 对于图 3 的两种情况，是否也能有一个定量，使它们是这个定量的特例？而后延长图 3 中梯 形的各线段，得出图 4，并使观察、试述出： 三条平行线 3//2//1 lll 在直线 1k 、 2k 上截出线段 21AA 、 32AA 、 21BB 、 32BB ，如果 32 21 AA AA = 3 2 ，那么 32 21 BB BB = 3 2 ，即 32 21 AA AA = 32 21 BB BB 。 继而使学生仿照前面的证明，证明这个情况。 进一步提出： 32 21 AA AA = n m （m、n 为自然数），那么怎样证明 32 21 BB BB = n m ？并使学生试证， 并概括为： 三条平行线 3//2//1 lll 在直线 1k 、 2k 上截出线段 21AA 、 32AA 、 21BB 、 32BB ，那么 32 21 AA AA = 32 21 BB BB 。 在此基础上，教师提出问题：由 32 21 AA AA = 32 21 BB BB ，利用比例的性质还可得到哪些比例式？ （ 21 32 AA AA = 21 32 BB BB ， 31 21 AA AA = 31 21 BB BB ，等） 引导学生回忆平行线等分线段定理所包含的各种情况，并类比着使学生说出定理所包含 的各种情况，而后投影出，并指出分类的标准。 最后，使学生类比着平行线等分线段定理的叙述，试述此定理，在此过程中介绍“对应 线段”的使用，并以正反之例予以明确。 （三）应用举例 例 1（1）已知：如图 5， 3//2//1 lll ，AB=3，DF=2，EF=4，求 BC。 （2）已知：如图 6， 3//2//1 lll ，AB=3，BC=5，DB=4.5，求 BF。 （3）已知：如图 7， 3//2//1 lll ，AB=3，BC=5，DF=10，求 DE。 （4）已知：如图 8， 3//2//1 lll ，AB=a，BC=b，DF=c，求 EF。 其中（1）由学生口答、教师追问理由；（2）~（4）则在学生充分思考的基础上，使其口 答。 例 2．已知线段 PQ，PQ 上求一点 D，使 PD：DQ=4：1。 先使学生讨论，而后使他们答出求法，其中既肯定“量法”，又指明“量法”的不足，最 后使他们实践。 （四）小结 1．本节课在平行线等分线段定理的基础上，学习了平行线分线段成比例定理，平行线等 分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，“证明”平行线分线段成比例定理是通过 转化为平行线等分线段定理来解决的。 2．使用平行线分线段成比例定理时，一要看清平行线组；二要找准平行线组截得的对应 线段，否则就会产生错误。 （五）布置作业 补充（1）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PD：PQ=4：1； （2）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PQ：DQ=4：1 课题：平行线分线段成比例定理⑴ 一、教学目的： 1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明； 2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法； 3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。 二、教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。 三、教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。 四、教学过程： 一、复习 1．求出下列各式中的 x：y。 （1）3x=5y； （2）x=2/3y； （3）3：2=y：x； （4）3：x=5：y。 2．已知 x:y=7:2，求 x:(x+Y) 3．已知 x:2=y:3=z:4，求（x+y+z）:(2x+3y-z) 二、新课学习 1．提出问题，使学生思考。 如果两条线段的比是 1:1，则这两条线段什么关系？在前一章我们学过的定理中， 有没有包含两条线段的比是 1：1的？ 而后使学生试答(学生可能答出平行线等分线段定理，师可顺势下去进行教学）， 如果答出定理——过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那 么追问理由，如果答不出，那么利用图 1（若 E是 AB 中点，EF//BC，交 AC 于 F 点， 则 AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出，并指出此定理也可谓：如果 E是△ABC 的 AB 边上一点,且 EF//BC 交 AC 于 F 点，如果 AE:EB=1:1，那么 AE:EB=AF:FC=1:1。 2．引导学生探索与讨论。 就着上述结论提出，在△ABC 中，EF//BC 这个条件不变，但 AE:EB 不等于 1:1，譬 如 AE:EB=2:3 时，AF:FC 应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出 “猜想”——配合着黑板上画出的相应图观察、明确。 而后提示学生能否利用“平行线等分线段定理”进行证明。 继而再问学生，是否还有包含线段的比是 1：1的定理，学生答出定理——过梯形 一腰的中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图 2），并随即提出 问题： 如果 E不是 AB 的中点，如 AE:EB=2:3，那么 AE:EB=?（让生填空） 进一步问，如果 AE：EB＝m:n，结论成立吗？如何说明？ 引导学生得出 AE:EB=AF:FC 之后，提问 3、得出平行线分线段成比例定理 强调对应线段： 问 AE:CF=AF:EB 成立吗？ 4、例 1讲解（略) 变式： 已知：如图 6,AB=3,BC=5,DB=4.5，求 BF。 已知：如图 7,AB=3,BC=5,DF=10，求 DE。 已知：如图 8,AB=a，,BC=b，DF=c，求 EF。 5、例 2讲解：(略） 分析：已知是给出了"上：下"的比的形式，而结论是求"上：全"，故考虑运用合 比性质。 三、小结：1、平行线分线段成比例定理的证明可通过平行线等分线段定理来证明， 平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； 2、在运用定理解题时，一定要注意“对应线段”，在确定左、右时，可以线段的 第一个端点来定左、右 四、作业 平行线分线段成比例定理 目的与要求： 1、学会用平行线分线段成比例定理证明这个性质定理。 2、比例谈定理与平行线分线段成比例定理推论的区别，理解其实 用价值。 重点与难点： 重点：三角形一边的平行线的性质定理及其应用 难点：体会该定理特殊使用价值，区分两个类似定理。 主要教法：综合比较法 一、复习引入： 1、 平行线分线段成比例定理及推论 2、 △ABC 中，若 DE∥BC，则 , AC AE AB AD  它们的值与 BC DE 相等吗？为什 么？ 二、新课： 例 1：已知：如图，DE∥BC，分别交 AB、AC 于点 D、E 求证： BC DE AC AE AB AD  分析： BC DE 中的 DE不是△ABC 的边 BC 上，但从比例 , AC AE AB AD  可 以看出，除 DE 外，其它线段都在△ABC 的边上，因此我们只要将 DE 移到 BC 边上去得 CF=DE，然后再证明 BC CF AB AD  就可以了，这只要过 D 作 DF∥AC 交 BC 于 F，CF 就是平移 DE 后所得的线段。 结论：平行于三角形的一边，并且和其他 两边相交的直线。所截得的三角形的三边与原 三角形的三边对应成比例。 例 2：已知：△ABC 中，E、G、D、F 分别是边 AB、CB 上的一点，且 GF ∥ED∥AC，EF∥AD 求证： . BC BD BE BG  例 3、已知：△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线， 过 C任作一直线交 AD于 E，交 AB 于 F。 求证： FB AF ED AE 2  例 4：如图，已知：D 为 BC 的中点，AG∥BC，求 证： FC AF ED EG  DC AG （DC=BD） 例 5：已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC， 求证： DC BD AC AB  ，过 C作 CE∥AD 交 BA 的延 长线于 E. 例 6：△ABC 中，AD 平分∠BAC，CM⊥AD 交 AD 于 E，交 AB 于 M， 求证： AM AB DC BD  MF BD 再证：△MEF≌△CED （由三线合一：ME=EC） 三、练习： 四、小结： 1、今天学习的定理是在原三角形中用平行线截出新三角形，可得这两 个三角形的三对对应边成比例，特别注意与平行线分线段成比例定 理的区别。 2、 如果平行于三角形一边的直线，与三角形两边的延长线相交也 可以用这个定理。 五、作业 六、弹性练习： 1、已知：如图，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD， EF=1.5，AB=2.5，FB=2.2 BD=3.6 求 CD的长。 过 E作 EH⊥CD于 H，交 AB 于 G 2、已知：如图，四边形 AEDF 为菱形，AB=12， BC=10，AC=8， 求：BD、DC及 AF的长。 6 4 5 24 3、 已知：如图，B在 AC上，D 在 BE上，且 AB:BC=2:1，ED:DB=2:1 求 AD:DF 过 D作 DG∥AC交 FC于 G（还可过 B作 EC的平行线） 3 2  EB ED BC DG BCDG 3 2  2BC= AC 3 1 ACDG 9 2  9 2  AC DG AF DF AFDF 9 2  从而 AD= AF 9 7 故 AD:DF=7:2 4、 △ABC 中，DE∥BC，F是 BC 上一点。 AF 交 DE 于点 G，AD:BD=2:1,BC=8.4cm 求(1)DE 的长 (2) AF AG (3) ADE ABC S S   平行线分线段成比例定理 教学目标 1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论. 2.能初步应用定理及推论进行解题. 教学重点 定理及推论的内容及应用. 教学难点 定理结论的推理过 程. 教学过程 一、复习提问： 1. 什么是平行线等分线段定 理？ 2.如图（1）中，AD∥BE∥CF,且 AB=BC,则 的比值是多少？ 二、新课讲解： 1.平行线分线段成比例定理 从图（1）可知，当 AD∥BE∥CF,且 AB=BC 时，则 DE=EF,也就是 = =1 接着象教材一样，说明 = 时，也有 = . 要向学生解释：这只是说明，并不是证明，严格的证明要用到我们还未学到 的知识，因此就不证明了.然后再强调：事实上，对于是任何实数，当 AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . 接着应用比例的性质。举例得到： = ， = ， = ， = ， = . 从而得到平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成 比例. 注意：（1）同一个比中的两条线段在同一条直线上. （2）强调对应的意义，并说明上述 6个比例式中的任何一个都可推导出其他 5个来. （3）用形象化的语言描述如下： = ， = ， = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 2.定理的应用 （1） 课本例 1 已知：如图，l1∥l2∥l3,AB=3,DE=2,EF=4.求 BC. 练习一 (1)如图（6）如果 AE:EB=AF:FC,那么 EF 与 BC 的关系是 若 AE:EB=AF:FC=EF:FD 则四边形 EBCD 是 形。 （2）如图（7），若 DE∥BC,AB=7,AD=3,AE=2.25,则 EC= .若 AD=3,DB=7,AC=8, 则 EC= .若 AD:DB=2:3,EC-AE=2,则 AE= ,EC= . （3）如图（8），DE∥AB,那么 AD:DC= ,BC:CE= 。 （4）如图（9），在梯形 ABCD 中，AD∥BC,E 是 AB 上一点，EF∥BC 交 CD 于 F，若 AE=2,CD=7,则 FC= ,DF= . (2)课本例 2。 说明：这类问题事实上是数形结合问题，看图证题，同时要利用比例的基本性质。 练习二 1，已知，如图（10），D,E,F 分别在△ABC 的边 AB,AC,BC 上，且 FCED 是平行四 边形，若 BD=7.2,BF=6,AC=8