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- 2021-06-16 发布
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精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升
第六章 平面向量及其应用
§6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
第
一
篇
教
材
过
关
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俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫在他所著的《克雷洛夫寓言》中有一篇《天
鹅、梭子鱼和虾》的故事,故事的大意是这样的:有一天,天鹅、梭子鱼和虾一
起拉一车货物,天鹅想,我的家在天上,应该把货物拉到我家,于是,天鹅伸长脖子
拼命往天上飞.梭子鱼想,我的家在河里,应该往
河里拉,于是,梭子鱼使劲往河里拽.虾想,我的家
在池塘里,应该把货送到池塘,于是,虾弓着身子
往池塘拉.他们三个累的精疲力尽,车子却纹丝
不动.
情景导学
精读教材·必备知识
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问题1:车子为什么纹丝不动?
答案 天鹅、梭子鱼和虾用力的方向不一致.
问题2:这则故事给我们的启示是什么?
答案 要想成功,就要好好合作,用力方向要合理.
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1.向量的加法
(1)定义:求① 的运算,叫做向量的加法.这种求向量和的方法,称为
向量加法的三角形法则.
对于零向量与任意向量a,规定0+a=a+0=a.
(2)向量求和的法则:
教材研读
两个向量和
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三角形法则 已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作 =a,
=b,则向量 叫做a与b的和,记作② ,即a+
b= + =
AB
BC
AC
AB
BC
AC
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB
为邻边作③ ,则以O为起点的向量
(OC是▱ OACB的对角线)就是向量a与b的和,即
=a+b
OC
OC
a+b
▱ OACB
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特别提醒
三角形法则与平行四边形法则的区别与联系
三角形法则 平行四边形法则
区别 满足条件 两向量“首尾相接” 两向量“共起点”
适用范围 所有向量 不共线的两向量
联系 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方
法,通过向量平移能相互转化,解决具体问题时视情况而定
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2.向量加法的运算律
(1)交换律:a+b=④ .
(2)结合律:(a+b)+c=⑤ .
思考:向量加法的运算律与实数加法的运算律相同吗?
b+a
a+(b+c)
提示 相同.
3.|a|-|b|,|a±b|,|a|+|b|三者的关系
根据三角形的三边关系可得|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当向量a,b方向相同时
取“=”.
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探究一 向量加法运算法则的应用
互动探究·关键能力
例1 如图所示,已知向量a、b、c,试作出向量a+b+c.
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解析 解法一:如图1所示,首先在平面内任取一点O,作向量 =a,接着作向量
=b,则得向量 =a+b,然后作向量 =c,则向量 =(a+b)+c=a+b+c.
解法二:如图2所示,首先在平面内任取一点O,作向量 =a, =b, =c,以OA、
OB为邻边作▱ OADB,连接OD,则 = + =a+b,再以OD、OC为邻边作▱
OA
AB
OB
BC
OC
OA
OB
OC
OD
OA
OB
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ODEC,连接OE,则 = + =a+b+c.
OE
OD
OC
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思维突破
向量求和法则的应用技巧
(1)当两个不共线向量求和时,三角形法则和平行四边形法则都可以用.
(2)多个向量求和时,可先求两个向量的和,再和其他向量求和.
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跟踪训练
1-1 如图(1)、图(2)所示,试作出向量a与b的和.
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解析 如图①、图②所示. 即为所求.
OB
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探究二 向量加法运算律的应用
例2 化简下列各式:
(1) + + + + ;
(2)( + )+ + + .
AB
DF
CD
BC
FA
AB
DE
CD
BC
EA
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解析 (1) + + + +
= + + + +
= + + + = + =0.
(2)( + )+ + +
=( + )+( + )+
= + + = + =0.
AB
DF
CD
BC
FA
AB
BC
CD
DF
FA
AC
CD
DF
FA
AD
DA
AB
DE
CD
BC
EA
AB
BC
CD
DE
EA
AC
CE
EA
AE
EA
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跟踪训练
2-1 化简:( + )+( + )+ = .AB
MB
BO
BC
OM
解析 ( + )+( + )+ =( + )+ +( + )= + + = .AB
MB
BO
BC
OM
AB
BC
MB
BO
OM
AC
MB
BM
AC
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探究三 向量加法的实际应用
例3 在某地抗震救灾时,一架飞机先从A地按北偏东35°方向飞行800 km到达
B地接到受伤人员,然后从B地按南偏东55°方向飞行800 km将受伤人员送往C
地医院,求这架飞机飞行的路程及两次飞行的位移的和.
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解析 如图所示,设 , 分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km
到达B地,从B地按南偏东55°方向飞行800 km到达C地.
则飞机飞行的路程是| |+| |,两次飞行的位移的和是 + = .
AB
BC
AB
BC
AB
BC
AC
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依题意,有| |+| |=800+800=1 600(km),∠ABC=35°+55°=90°,
所以| |= = =800 (km).
其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.
故飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800 km,方向为
北偏东80°.
AB
BC
AC
2 2| | | |AB BC 2 2800 800 2
2
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思维突破
向量加法解决实际问题的应用技巧
(1)准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量.
(2)将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求
解.
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跟踪训练
3-1 如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平木杆AB上,∠ACW=150°,∠
BCW=120°,求A处和B处所受力的大小(绳子的质量忽略不计).
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解析 如图,设 , 分别表示A,B所受的力,
10 N的重力用 表示,则 + = .
易得∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°,
∴| |=| |×cos 30°
CE
CF
CG
CE
CF
CG
CE
CG
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=10× =5 (N).
| |=| |×cos 60°=10× =5(N).
故A处所受的力的大小为5 N,B处所受的力的大小为5 N.
3
2 3
CF
CG
1
2
3
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课堂检测
评价检测·素养提升
1.在四边形ABCD中,若 = + ,则 ( )
A.四边形ABCD一定是矩形
B.四边形ABCD一定是菱形
C.四边形ABCD一定是正方形
D.四边形ABCD一定是平行四边形
AC
AB
AD
D
解析 由向量加法的平行四边形法则可知,四边形ABCD必为平行四边形.
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2.化简 + + + 的结果为 ( )
A. B. C. D.
OP
PQ
PS
SP
QP
OQ
SP
SQ
B
解析 + + + = +0= .OP
PQ
PS
SP
OQ
OQ
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3.(多选题)在如图所示的▱ ABCD中,下列结论正确的是 ( )
A. = B. + =
C. = + D. + =0
AB
DC
AD
AB
AC
AB
BD
AD
AD
CB
ABD
解析 由▱ ABCD知A,B,D正确,因为 = + ≠ + ,所以C错误.AB
AD
DB
BD
AD
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4.若a表示“向东走8 km”,b表示“向北走8 km”,则|a+b|= ,a+b的方
向是 .东北方向
解析 如图所示,作 =a, =b,
则a+b= + = ,
所以|a+b|=| |= =8 (km),
因为∠AOB=45°,所以a+b的方向是东北方向.
OA
AB
OA
AB
OB
OB
2 28 8 2
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5.如图,已知向量a,b,c,求作向量a+b+c.
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解析 在平面内任取一点O,作 =a, =b, =c,如图所示:
则由向量加法的三角形法则,得
=a+b, =a+b+c,故 即为所求向量a+b+c.
OA
AB
BC
OB
OC
OC
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逻辑推理——向量加法的应用
如图,在正六边形OABCDE中, =a, =b,试用向量a,b将 , , 表示出来.
OA
OE
OB
OC
OD
素养演练
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解析 如图,连接BE,AD,设正六边形的中心为P,则四边形ABPO,AOEP,ABCP,
OPDE均为平行四边形.
由向量加法的平行四边形法则得
= + =a+b.
∵ = = ,
OP
OA
OE
AB
OP
ED
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∴ = =a+b.
在△AOB中,根据向量加法的三角形法则,
得 = + =a+a+b.
同理,在△OBC中, = + =a+a+b+b,
在△OED中, = + = + =b+a+b.
素养探究:用已知向量表示待求向量,可以利用向量的平移性,根据三角形法
AB
ED
OB
OA
AB
OC
OB
BC
OD
OE
ED
OE
OP
则、平行四边形法则,结合正六边形的几何性质转化求解,体现了逻辑推理的
核心素养.
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针对训练
P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=QC.求证: + = + .AB
AC
AP
AQ
证明 如图,取BC的中点O,连接AO并延长至点D,使OD=AO,连接BD,CD,则四
边形ABDC是平行四边形,所以 + = ,又BP=QC,BO=CO,所以PO=QO,连
接PD,QD,则四边形APDQ是平行四边形,所以 + = ,所以 + = +
.
AB
AC
AD
AP
AQ
AD
AB
AC
AP
AQ
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