高中数学第2章平面向量2_5向量的应用达标训练苏教版必修4 5页

高中数学 第 2 章 平面向量 2.5 向量的应用达标训练 苏教版必修 4 基础·巩固 1.一艘船从 A 点出发以 32 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 2 km/h,则船实际航行速度的大小为__________________. 思路解析:如图,设 AD 表示船向垂直于对岸行驶的速度 AB 表示水流速度,以 AD、AB 为邻 边作平行四边形 ABCD,则 AC 就是船实际航行的速度. 在直角三角形 ABC 中, | AB |=2,| BC |= 32 , 所以| AC |= 22 |||| BCAB  =4. 又 tan∠CAB= 33 32  . 答案: 3 2.在静水中划船的速度是每分钟 40,水流的速度是每分钟 20,如果船从岸边出发,径直沿垂 直于水流的航线到达对岸,那么船行进的方向应该指向_____________________. 思路解析:如右图,船航行的方向是与河岸垂直方向成 30°夹角,即指向河的上游. 答案:与河岸垂直方向成 30°夹角 3.设 e1、e2 是两个不共线向量,已知 AB =2e1+ke2, CB =e1+3e2, CD =2e1-e2,若三点 A、B、D 共线,则 k 的值为____________________. 思路解析: CBCDBD  =(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2. ∵A、B、D 共线,∴ AB 、 BD 共线. ∴存在λ使 AB =λ BD ,即 2e1+ke2=λ(e1-4e2). ∴      ,4 ,2   k 解得 k=-8. 答案:-8 4.已知:四点 A(5,1)、B(3,4)、C(1,3)、D(5,-3),求证:四边形 ABCD 是梯形. 思路分析:利用向量的坐标运算证明. 证明:∵ AB =(-2,3), DC =(-4,6),∴ DCAB 2 . ∴ AB ∥ DC 且| AB |≠| DC |. ∴四边形 ABCD 是梯形. 5.已知 A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),求证:△ABC 是直角三角形. 思路解析:本题主要是利用向量垂直的条件解决有关问题. 证明:∵ AB =(2-1,3-2)=(1,1), AC =(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴ AB · AC =1×(-3)+1×3=0. ∴ AB ⊥ AC . ∴△ABC 是直角三角形. 综合·应用 6.若 O 为平行四边形对角线的交点, AB =4e1, BC =6e2,则 3e2-2e1 等于( ) A. AO B. BO C.CO D.OB 思路解析:如右图, BCAD  =6e2, 则 ABADBD  =6e2-4e1, 所以,3e2-2e1= 2 1 (6e2-4e1)= 2 1 BOBD  . 答案:B 7.已知平行四边形 ABCD,E、F 分别是 DC 和 AB 的中点,求证:AE∥CF. 思路分析:利用向量的线性运算及向量在平面几何中的应用. 证明:因为 E、F 为 DC、AB 的中点, ∴ DE = 2 1 DC , BF = 2 1 BA . 由向量加法法则可知 ADDEADAE  + 2 1 DC , CBBFCBCF  + 2 1 BA . ∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ CBAD  , BADC  . ∴ CBAE  - 2 1 BA =-(CB + 2 1 BA )=-CF . ∴ AE ∥CF .∴AE∥CF. 8.如图 2-5-7,P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的任意一点,PECF 是矩形,用向量证明 PA=EF 且 PA⊥EF. 图 2-5-7 思路分析:把几何图形放在适当的坐标系中,赋予有关点与向量具体的坐标,进行相应的代数 运算和向量运算. 证明:(1)以点 D 为坐标原点,DC 所在直线为 x 轴,建立如下图所示的坐标系,设正方形边长为 1.又设 P(λ,λ)(0＜λ＜1),则 A(0,1)、E(λ,0)、F(1,λ), ∴| PA |= 122)1()0( 222   , | EF |= 122)1( 222   . ∴| PA|=| EF |,即 PA=EF. (2)由 PA· EF =(-λ,1-λ)·(1-λ,λ)=(-λ)×(1-λ)+(1-λ)·λ=-λ+λ2+λ-λ2=0, ∴ PA⊥ EF ,即 PA⊥EF. 9.△ABC 中,A(5,-1),B(-1,7),C(1,2). 求:(1)BC 边上的中线 AM 的长; (2)∠CAB 的平分线 AD 的长; (3)cos∠ABC 的值. 思路分析:本题是平面几何中有关长度、夹角、垂直问题,可以用向量的坐标运算来解决. 解:(1)由已知可知点 M 的坐标为(0, 2 9 ), ∴ AM =(0, 2 9 )-(5,-1)=(-5, 2 11 ). ∴| AM |= 2 221)2 11()5( 22  . (2)| AB |= 22 )71()15(  =10, | AC |= 22 )21()15(  =5, ∴D 分 BC 的比为 2. ∴xD= 21 121   = 3 1 ,yD= 3 11 21 227   . ∴| AD |= 23 14)3 111()3 15( 22  . (3)∠ABC 是 BA与 BC 的夹角,而 BA=(6,-8), BC =(2,-5), cos∠ABC= 145 2926 2010 5 )5(2)8(6 )5()8(26 2 2222      . 10.(2005 上海高考)直角坐标平面 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足 OP · OA =4, 则点 P 的轨迹方程是_____________________. 思路解析:利用向量数量积的坐标运算. 由已知 OP =(x,y),OA =(1,2), 由OP ·OA =4 可得 x+2y-4=0. 答案:x+2y-4=0 11.(2005 湖南高考)P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA · PBPB  · PCPC  · PA ,则 P 是△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 思路解析:利用平面向量数量积的运算律. 由 PA · PB = PB · PC = PC · PA 可得 PA · PBPB  · PC =0, 即 PB ·( PCPA  )= PB ·CA =0, 则有 PB ⊥CA ,即 PB 与 CA 垂直. 同理可得 PA⊥BC,PC⊥AB.则点 P 是△ABC 的三条高的交点. 答案:D 12.(2005 福建高考)在△ABC 中,∠C=90°, AB =(k,1), AC =(2,3),则 k 的值是( ) A.5 B.-5 C. 2 3 D.- 2 3 思路解析:利用向量数量积的坐标运算. 由已知可得 AC · BC =0,又 ABACBC  =(2-k,2), 所以有 2×(2-k)+3×2=0,解得 k=5. 答案:A