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- 2021-06-16 发布
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6
.
2
.
3
向量的数乘运算
课标阐释
思维脉络
1
.
理解向量数乘的定义及几何意义
.
(
数学抽象、直观想象
)
2
.
掌握向量数乘的运算律
,
能够用已知向量表示未知向量
.
(
逻辑推理、数学运算
)
3
.
掌握共线向量定理
,
会判断或证明两个向量共线
.
(
逻辑推理
)
激趣诱思
知识点拨
夏季的雷雨天
,
我们往往先看到闪电
,
后听到雷声
,
雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差
?
这说明声速与光速的大小不同
,
光速是声速的
88
万倍
.
若设光速为
v
1
,
声速为
v
2
,
将向量类比于数
,
则有
v
1
=
880 000
v
2
.
对于
880 000
v
2
,
我们规定是一个向量
,
其方向与
v
2
相同
,
其长度为
v
2
长度的
880 000
倍
.
这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘
.
那么向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢
?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、向量的数乘
运算
定义
一般地
,
我们规定实数
λ
与向量
a
的积是一个
向量
,
这种运算叫做向量的数乘
,
记作
λ
a
长度
|
λ
a|=
|
λ
||a|
方向
λ
>0
λ
a
的方向与
a
的方向
相同
λ
<0
λ
a
的方向与
a
的方向
相反
规定
当
λ
=0
或
a=0
时
,
λ
a=0
名师点析
(1)
λ
a
的几何意义就是把向量
a
沿着与
a
相同
(
λ
>
0)
或相反
(
λ
<
0)
的方向伸长
(
|
λ
|>
1)
或缩短
(
|
λ
|<
1)
到原来的
|
λ
|
倍或
|
λ
|.
(2)
要注意实数与向量可以求积
,
但是不能进行加减运算
,
如
:2
+
a
,1
-
0
无意义
.
激趣诱思
知识点拨
微
练习
激趣诱思
知识点拨
知识点二、数乘向量的运算律
1
.
数乘向量的运算律
(1)
λ
(
μ
a
)
=
(
λμ
)
a
;
(2)(
λ
+
μ
)
a
=
λ
a
+
μ
a
;
(3)
λ
(
a
+
b
)
=
λ
a
+
λ
b
.
特别地
,
有
(
-
λ
)
a
=
-
(
λ
a
)
=
λ
(
-
a
)
;
λ
(
a
-
b
)
=
λ
a
-
λ
b
.
2
.
向量的
加
、
减
、
数乘
运算统称为向量的线性运算
.
向量线性运算的结果仍是向量
.
对于任意向量
a
,
b
,
以及任意实数
λ
,
μ
1
,
μ
2
,
恒有
λ
(
μ
1
a
±
μ
2
b
)
=
λμ
1
a
±
λμ
2
b
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知向量
a
,
请通过作图判断以下结论是否成立
.
(1)3(2
a
)
=
6
a
;
(2)(2
+
3)
a
=
2
a
+
3
a
;
(3)2(
a
+
b
)
=
2
a
+
2
b
.
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
知识点三、共线向量定理
1
.
向量
a
(
a
≠
0
)
与
b
共线的充要条件是
:
存在唯一一个实数
λ
,
使
b
=
λ
a
.
2
.
要证明向量
a
(
a
≠
0
),
b
共线
,
只需证明存在实数
λ
,
使得
b
=
λ
a
即可
.
名师
点析
该定理中
a
≠
0
的原因
(1)
若
a=b
=
0
,
则实数
λ
存在
,
但
λ
并不唯一
,
此时定理不成立
.
(2)
若
b
≠
0
,
a
=
0
,
则不存在实数
λ
,
使
b
=
λ
a
,
此时定理也不成立
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
若向量
e
1
,
e
2
不共线
,
则下列各组中
,
向量
a
,
b
共线的有
.
(
填序号
)
①
a=
2
e
1
,
b=-
2
e
1
;
②
a=e
1
-e
2
,
b=-
2
e
1
+
2
e
2
;
④
a=e
1
+e
2
,
b=
2
e
1
-
2
e
2
.
解析
:
①
中
,
a
=-
b
,
所以
a
,
b
共线
;
②
中
,
b
=-
2
a
,
所以
a
,
b
共线
;
③
中
,
a
=
4
b
,
所以
a
,
b
共线
;
④
中
,
不存在
λ
∈
R
,
使
a
=
λ
b
,
所以
a
,
b
不共线
.
答案
:
①②③
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量的线性运算
例
1
(1)
化简下列各向量表达式
:
(2)
已知
2
x
+
3
y
=
a
,
x
-
4
y
=
2
b
,
试用
a
,
b
表示
x
,
y
.
分析
(1)
根据向量的线性运算法则求解
.
(2)
运用实数的二元一次方程组的解法求解
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
向量数乘运算的方法
向量的数乘运算类似于多项式的代数运算
,
如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用
,
但是这里的
“
同类项
”“
公因式
”
指向量
,
实数看作是向量的系数
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
A.2
a
-
b
B.2
b
-
a
C.
b
-
a
D.
a
-
b
(2)
已知
2
a
-
b
=
m
,
a
+
3
b
=
n
,
那么
a
,
b
用
m
,
n
可以表示为
a
=
,
b
=
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
用已知向量表示未知
向量
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析
先用向量加减法的几何意义设计好总体思路
,
然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
用已知向量表示其他向量的一般
步骤
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
本例
(1)
中
,
设
AC
与
BD
相交于点
O
,
F
是线段
OD
的中点
,
AF
的延长线交
DC
于点
G
,
试用
a
,
b
表示
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量共线
问题
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1
.
证明或判断三点共线的
方法
2
.
利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数
λ
,
使得
b
=
λ
a
(
a
≠
0
)
.
而已知向量共线求
λ
,
常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解
,
利用待定系数法建立方程
,
从而解方程求得
λ
的值
.
若两向量不共线
,
必有向量的系数为零
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)
求证
:
A
,
B
,
M
三点共线
;
(2)
若点
B
在线段
AM
上
,
求实数
λ
的取值范围
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解决三角形的四心
问题
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案
:
B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案
:
B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1
.
设
a
是非零向量
,
λ
是非零实数
,
则下列结论正确的是
(
)
A.
a
与
λ
a
的方向相同
B.
a
与
-
λ
a
的方向相反
C.
a
与
λ
2
a
的方向相同
D.
|
λ
a
|=
λ
|
a
|
解析
:
因为
λ
≠0,
所以
λ
2
>
0,
于是向量
a
与
λ
2
a
的方向相同
.
答案
:
C
2
.
4(
a
-
b
)
-
3(
a
+
b
)
-
b
等于
(
)
A.
a
-
2
b
B.
a
C.
a
-
6
b
D.
a
-
8
b
解析
:
原式
=
4
a
-
4
b
-
3
a
-
3
b
-
b
=
a
-
8
b
.
答案
:
D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4
.
已知两个非零向量
a
,
b
不共线
,
且
k
a
+
3
b
与
2
a
+k
b
共线
,
求实数
k
的值
.
解
:
因为
k
a
+
3
b
与
2
a
+k
b
共线
,
所以存在实数
λ
,
使
k
a
+
3
b
=
λ
(2
a
+k
b
),
即
k
a
+
3
b
=
2
λ
a
+
λ
k
b
,
即
(
k-
2
λ
)
a
=
(
λ
k-
3)
b
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
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