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- 2021-06-16 发布
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重庆南开中学高2020级线上中期考试
数学试题(文科)
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:本大题12个小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项符合要求,答案请涂写在答题卡上.
1.,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先分别求出集合与,再利用集合的交集运算进行求解.
【详解】;,
.
故选:A.
【点睛】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题.解决此类问题,一般要把参与运算的集合化为最简形式,再进行集合的基本运算.求交集时,要考虑端点是否可以取到,这是一个易错点.
2.若为纯虚数(为虚数单位),则( )
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的四则运算化简,令,即可求出值.
- 27 -
【详解】,
为纯虚数,,解得,
故选:D.
【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值,属于基础题.若复数为纯虚数,则由,.
3.已知一条对称轴为,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据是的一条对称轴,求得,再根据的范围,即可求出值.
【详解】是的一条对称轴,
,,
,,
故选:A.
【点睛】本题主要考查三角函数的性质,考查运算求解能力,熟练掌握正弦型函数的对称轴是解答本题的关键,属于基础题.求解正弦型函数的对称轴,只需令,即可解出正弦型函数的对称轴为.
4.双曲线的渐近线方程为( )
- 27 -
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接由双曲线的渐近线的定义,即可求出渐近线方程.
【详解】由双曲线的方程可得,,焦点在轴上,
所以渐近线的方程为:,
故选:B.
【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,属于基础题.已知双曲线的标准方程,求双曲线的渐近线时,要先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后再确定双曲线的渐近线方程.
5.华罗庚是上世纪我国伟大的数学家,以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等.他除了数学理论研究,还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”,是指研究如何用较少的试验次数,迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻,为防范机场带来的境外输入,某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率:每16人为组,把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查,如果为阴性则全部放行;若为阳性,则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性),若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组,选其中一组8人的样本混合检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分两组,选其中一组4人的样本混合检查……以此类推,最终从这16人中认定那名感染者需要经过( )次检测.
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
类比二分法,将16人均分为两组,选择其中一组进行检测,再把认定的这组的8人均分两组,选择其中一组进行检测,以此类推,即可得解.
- 27 -
【详解】先把这16人均分为2组,选其中一组8人的样本混合检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了1次检测.继续把认定的这组的8人均分两组,选其中一组4人的样本混合检查,为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了2次检测.继续把认定的这组的4人均分两组,选其中一组2人的样本混合检查,为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了3次检测.选认定的这组的2人中一人进行样本混合检查,为阴性则认定是另一个人;若为阳性,则认定为此人,此时进行了4次检测.所以,最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测.
故选:B.
【点睛】本题考查的是二分法的实际应用,考查学生的逻辑推理能力,属于基础题.
6.已知“若则”为真命题,“若则”为假命题,则成立是成立的( )
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据原命题与否命题之间的关系、命题的真假以及充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】“若则”为真命题,
由成立可以推出成立,
成立是成立的充分条件,
“若则”为假命题,即“若则”为假命题,
由成立不能推出成立,
成立是成立的充分不必要条件.
故选:B.
【点睛】本题考查的是原命题与否命题之间的关系、命题的真假以及充分条件和必要条件的定义,属于基础题.若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性;若两个命题为互逆命题或互否命题,则它们的真假性没有关系.判断是的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件能否推出条件;二是由条件能否推出条件.
- 27 -
7.疫情期间,一同络平台听网课,在家坚持学习.某天上午安排了四节网课,分别是数学,语文,政治,地理,下午安排了三节,分别是英语,历史,体育.现在,他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡,则选中的两节课中至少有一节文综学科(政治、历史、地理)课程的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
用列举法列出所有的基本事件以及满足条件的基本事件,用古典概型概率公式即可求得概率.
【详解】将数学、语文、政治、地理分别记为,将英语,历史,体育分别记为,
在上午下午的课程中各任选一节,所有的可能为:
,,,,,,,,,
,,共12种情况.
选中的两节课中至少有一节文综学科(政治、历史、地理)课程的情况有,,,,,,,共8种情况.
所以,所求概率为,
故选:C.
【点睛】本题考查了古典概型,属于基础题.利用古典概型概率公式求概率时,找准基本事件个数是解题的关键,基本事件的探求方法有两种,(1)枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的情况;(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.
8.若某程序框图如图所示,则输出的的值是( )
- 27 -
A. 31 B. 63 C. 127 D. 255
【答案】C
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图,只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可得到输出的S的值.
【详解】第一次运行,,,成立,则,;
第二次运行,,,成立,则,;
第三次运行,,,成立,则,;
第四次运行,,,成立,则,;
第五次运行,,,成立,则,;
第六次运行,,,成立,则,;
第七次运行,,,成立,则,;
第八次运行,,,不成立,
所以输出的值为127.
故选:C.
- 27 -
【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图,属于中档题.解决程序框图问题时,一定要注意以下几点:(1)不要混淆处理框和输入框;(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构;(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构;(4)处理循环结构的问题时,一定要正确控制循环次数;(5)要注意各个框的顺序;(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中,只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可.
9.已知奇函数定义域为,且为偶函数,若,则( )
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的性质求出函数的周期,分别求出一个周期内的函数值,结合周期性分析,即可得解.
【详解】为偶函数,的图象关于直线对称,
,
为上的奇函数,,,
,
,即是周期为8的周期函数,
,,,
,,
,
,
故选:C.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与周期性的应用,考查学生的综合计算能力,求出函数的周期是解题的关键,属于中档题.
10.已知椭圆左右焦点分别为,,若椭圆上一点
- 27 -
满足轴,且与圆相切,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意作出椭圆图象,结合图象可知,根据相似三角形的对应边成比例,即可求出椭圆的离心率.
【详解】如图,设直线与圆相切于点,连接,
则,
椭圆的左右焦点分别为,,
轴,,,
,轴,,
,即,解得,
故选:A.
- 27 -
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,椭圆的定义、椭圆的简单几何性质以及椭圆离心率的求解,考查运算求解能力,属于基础题.
11.如图,正方体的棱长为2,分别为的中点,则以下说法错误的是( )
A. 平面截正方体所的截面周长为
B. 存在上一点使得平面
C. 三棱锥和体积相等
D. 存在上一点使得平面
【答案】B
【解析】
【分析】
对于A,平面截正方体所得的截面为梯形,求出梯形的周长即可得解;
对于B,通过建立空间直角坐标系,设出点坐标,证出不成立,即可得出B选项错误;
对于C,通过等体积法,分别求出三棱锥和的体积,进而得解;
对于D,通过线线平行,证得线面平行,进而得解.
【详解】
- 27 -
对于A选项,连接,,
,分别为,的中点,,
,,,四点共线,
平面截正方体所得的截面为梯形,
截面周长,
故A正确;
对于B选项,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
设,
所以,,
若平面,则,而显然不成立,
所以与不垂直,所以上不存在点,使得平面,
所以B选项错误;
对于C选项,
,
,
所以成立,C正确;
对于D选项,取中点,的中点,连接,,,
- 27 -
且,
四边形为平行四边形,,
,平面,平面,
平面,点为的中点,
上存在一点使得平面,故D正确.
故选:B.
【点睛】本题属于综合题,考查了线线平行和线面平行的证明,向量垂直的坐标表示,求三棱锥的体积,属于中档题.证明线线平行,常见的方法有三种:(1)通过线线平行的传递性进行证明;(2)通过三角形的中位线进行证明;(3)通过平行四边形进行证明.
12.已知函数,若,,使得,且,则的最大值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导函数,求出的极大值和极小值,求出函数值与极大值相等的值,函数值与极小值相等的值,即可得解.
【详解】,,
令,即,解得,,
当时,,所以在上单调递增;
当时,,所以在上单调递减;
当时,,所以在上单调递增.
在处取得极大值,极大值;
在处取得极小值,极小值为.
- 27 -
令,即,即,解得(舍)或;
令,即,即,解得(舍)或;
的最大值为.
故选:C.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值问题,考查运算求解能力,求出函数的极大值与极小值是解决本题的关键,属于中档题.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:本大题4个小题,每小题5分,共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置(只填结果,不写过程).
13.若变量满足,则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出可行域,令,作出目标函数对应的直线,平移该直线,即可求出的最小值.
【详解】画出满足条件的平面区域,如图所示,
令,所以,
显然直线过与的交点时,最小,
- 27 -
,解得,此时,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查线性规划求目标函数的最值,考查数形结合的数学思想方法,属基础题.求目标图数最值的一般步骤:一画、二移、三求.(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点;(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.
14.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体体积为______.
【答案】9
【解析】
【分析】
根据三视图,可知该几何体为四棱锥,求出四棱锥的底面积和高即可得解.
【详解】由几何体的三视图可知,该几何体为四棱锥,
- 27 -
四边形的面积为,
点到平面的距离为3,
则,
故答案为:.
【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积,解决本题的关键是得到该几何体的形状,属于中档题.将三视图还原为空间几何体,首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.
15.已知等比数列前项和为,,,则______.
【答案】11
【解析】
【分析】
当时,求得与矛盾,得到,再利用,得到,化简,并借助,即可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为,
当时,与矛盾,所以,
,,
即,解得,
- 27 -
故答案为:11.
【点睛】本题考查的是有关等比数列的问题,求解本题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程,属于中档题.
16.中,,且对于,最小值为,则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的减法运算和数量积,并借助余弦定理,化简,可得到,化简,并利用二次函数求最值,求出的最小值,且使最小值等于,可得,进而得出,最后利用余弦定理即可得解.
【详解】设,,,
- 27 -
,,,
的最小值为,
,解得,,
,
,.
故答案为:.
【点睛】本题考查了向量的减法运算和数量积,余弦定理以及二次函数求最值问题,考查学生的运算求解能力,属于综合题,难度较大. 利用向量的减法运算和数量积,并借助余弦定理,化简,得出三角形三边的关系是解题的关键.
三、解答题:(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(一)必考题:共60分,每题考生都必须在答题卡上作答.
17.已知正三棱柱所有棱长均为2,分别为的中点.
- 27 -
(1)求证:平面;
(2)求三棱锥体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
【分析】
(1) 取中点,连接,通过证明四边形为平行四边形,并借助线线平行,得到线面平行;
(2)利用等体积法,将求的体积转化为求的体积,借助三棱锥的体积公式即可得解.
【详解】(1)取中点,连接,
由于分别为的中点,所以
- 27 -
而,则,所以为平行四边形,所以
又因为面,面,所以平面
(2),
到平面的距离,
所以.
【点睛】本题主要考查线面平行的证明以及三棱锥体积的求解,其中涉及到线线平行的证明,考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,属于基础题.求解三棱锥的体积时,要注意等体积法的应用.
18.为直角三角形,斜边上一点,满足.
(1)若,求;
(2)若,,求.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理以及的范围,得出的值,再借助即可得解;
(2)设,根据已知条件和勾股定理求出,进而得到的值,再利用余弦定理即可得解.
【详解】(1)由正弦定理:,
得,
,,,
- 27 -
,.
(2)设,
,,,
从而,
由余弦定理,即,
解得,所以.
【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在平面几何中的综合应用,属于中档题.
平面几何中解三角形问题的求解思路:
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解;
(2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.
19.新型冠状病毒肺炎疫情发生以来,在世界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下,我国的疫情已经得到了很好的控制.然而,小王同学发现,每个国家在疫情发生的初期,由于认识不足和措施不到位,感染人数都会出现快速的增长.下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数.
日期代码
1
2
3
4
5
6
7
8
累计确诊人数
4
8
16
31
51
71
97
122
为了分析该国累计感染人数的变化趋势,小王同学分别用两种模型:①,②对变量和的关系进行拟合,得到相应的回归方程并进行残差分析,残差图如下(注:残差):经过计算得,,,,其中,.
- 27 -
(1)根据残差图,比较模型①,②的拟合效果,应该选择哪个模型?并简要说明理由;
(2)根据(1)问选定的模型求出相应的回归方程(系数均保留一位小数);
(3)由于时差,该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为,如果防疫形势没有得到明显改善,在数据公布之前可以根据他在(2)问求出的回归方程来对感染人数作出预测,那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少.
附:回归直线斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
【答案】(1)选择模型①,详见解析(2)(3)
【解析】
【分析】
(1)根据残差图,估计值和真实值越接近,拟合效果越好,即可得解;
(2)令,分别计算的平均数,根据公式求得,即可求出模型①对应点回归方程;
(3)将代入回归方程,即可得解
【详解】(1)根据残差图可以看出,模型①的估计值和真实值相对比较接近,
模型②的残差相对较大一些,所以模型①的拟合效果相对较好,
所以选择模型①.
(2)由(1),知关于的回归方程为,令,则.
- 27 -
由所给数据得:,
,
,
,
关于的回归方程为.
(3)预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为(人).
【点睛】本题考查了利用残差图判断拟合效果,求解回归方程,利用回归方程求解预估值的问题,考查了学生的数据处理能力,对于学生的运算求解能力有一定的要求,属于基础题.
20.已知抛物线焦点为,直线过与抛物线交于两点.到准线的距离之和最小为8.
(1)求抛物线方程;
(2)若抛物线上一点纵坐标为,直线分别交准线于.求证:以为直径的圆过焦点.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
分析】
(1)根据题意及抛物线定义,可知,从而可求出抛物线方程;
(2)当直线与轴垂直时,求出,的坐标,进而证得以为直径的圆过焦点;当直线与轴不垂直时,设出直线方程,点和点坐标,并与抛物线方程联立,
借助根与系数的关系以及向量数量积的坐标表示,证得,从而证出以为直径的圆过焦点.
【详解】(1)到准线的距离之和等于到焦点的距离之和,即为,
- 27 -
最小为通径,所以,解得,
所以抛物线方程为.
(2)抛物线焦点,准线方程:,
由点纵坐标为,得,
当直线与轴垂直时,
直线方程为,此时,, ,
直线:,直线:,
所以,,,
所以,圆心坐标为,半径,
焦点到圆心的距离,
此时,以为直径的圆过焦点.
当直线与轴不垂直时,
设直线,设,
,得,,,
直线为代入准线得:
同理可得
- 27 -
,
所以,所以焦点在以为直径的圆上.
综上,以为直径的圆过焦点.
【点睛】本题考查了抛物线的定义,抛物线的标准方程,直线与抛物线的位置关系以及向量数量积的坐标表示,属于中档题.解决直线与圆锥曲线的位置关系的题型时,要注意韦达定理的应用.
21.已知函数,.
(1)若的切线过,求该切线方程;
(2)讨论与图像的交点个数.
【答案】(1)(2)时,只有一个交点;时,有两个交点
【解析】
【分析】
(1)设出切点,根据,求出切点,进而求出直线斜率,从而得解;
(2)构造函数,求出导函数,通过分类讨论,研究的单调性,进而判断出的零点个数,从而得解.
【详解】(1),,
设切点为,则,
化简得,所以,,
所以切线方程为.
(2)设,即讨论零点个数.
,
- 27 -
时,只有一个零点;
时,在上单调递减,单调递增,
,,时,均,此时,有两个零点,
时,时,,时,
由得,,
若时,在单增,只有一个零点;
若时,,,
极大值极小值均小于0,从而也只有一个零点.
综上,时,只有一个交点;时,有两个交点.
【点睛】本题考查了函数过某点的切线方程,两个函数图像交点个数的判断,难度较大.求函数的切线方程时,要注意区分“在某点”和“过某点”,这是一个易错点.求解两个函数交点个数的问题时,常用构造函数法,转化为求解零点个数的题型.
(二)选考题:共10分.请考生从第22、23题中任选一题作答,并用2B铅笔在答题卡相应题号处填涂,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若曲线上两点,有,求面积最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)将曲线的参数方程消去参数,可得曲线的普通方程,再将,代入普通方程,即可得解;
(2)设出,两点的坐标,代入曲线的极坐标方程,求出,化简得
- 27 -
,再根据三角函数的范围即可求出的范围,从而得解.
【详解】(1)由曲线的参数方程消去参数,
得曲线的普通方程为:,
将,代入,
得曲线的极坐标方程为:.
(2)设,,代入曲线得:
,,
则,
当,,,时可以取到等号,
所以面积为.
故面积最小值为
【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程的转化,极坐标方程的几何意义,三角函数的取值范围等知识,属于中档题.参数方程化为普通方程的关键是消参数,要根据参数的特点进行转化;普通方程化为极坐标方程,将,代入普通方程,即可化为极坐标方程;极坐标方程转化为普通方程,要巧用极坐标方程两边同乘以或同时平方技巧,将极坐标方程构造成含有,,的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程.
23.已知函数.
(1)若关于的不等式有解,求实数的取值范围;
(2)若不等式对任意成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
- 27 -
【解析】
【分析】
(1)将化为分段函数,求出函数的值域,即可求出的范围,
(2)画出相对应的函数的图象,结合图象可得b的取值范围.
【详解】(1),
∴的值域为,
∵关于的不等式有解,
∴,
(2)与对的图象如图所示:
由图象知,要使对任意成立,
只需要,且
解得,
故得取值范围为.
【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题和存在性问题,考查了数形结合的思想.
- 27 -
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