人教A版数学必修一2-2-2对数函数及其性质（第1-2课时） 5页

§2.2.2 对数函数及其性质（第一、二课时） 一．教学目标 1．知识技能 ①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题. 2．过程与方法 让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质. 3．情感、态度与价值观 ①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养学生严谨的科学态度. 二．学法与教学用具 1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 2．教学手段：多媒体计算机辅助教学． 三．教学重点、难点 1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质. 2、难点：底数 a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 四．教学过程 1．设置情境 在 2．2．1 的例 6 中，考古学家利用 15730 2 log P 估算出土文物或古遗址的年代，对于 每一个 C14 含量 P，通过关系式，都有唯一确定的年代t 与之对应．同理，对于每一个对数 式 log x ay  中的 x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以 log x ay x 关于 的函数． 2．探索新知 一般地，我们把函数 logay x （ a ＞0 且 a ≠1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，函 数的定义域是（0，+∞）． 提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定 a ＞0 且 a ≠1． （2）．为什么对数函数 logay x （ a ＞0 且 a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生 充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解. 答：①根据对数与指数式的关系，知 logay x 可化为 ya x ，由指数的概念，要使 ya x 有意义，必须规定 a ＞0 且 a ≠1． ②因为 logay x 可化为 yx a ，不管 y 取什么值，由指数函数的性质， ya ＞0，所以 (0, )x  ． 例题 1：求下列函数的定义域 （1） 2log ay x （2） log (4 )ay x  （ a ＞0 且 a ≠1） 分析：由对数函数的定义知： 2x ＞0； 4 x ＞0，解出不等式就可求出定义域． 解：（1）因为 2x ＞0，即 x ≠0，所以函数 2 log x ay  的定义域为 | 0x x  . （2）因为 4 x ＞0，即 x ＜4，所以函数 (4 )log x ay  的定义域为 |x x ＜ 4 . 下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质： 先完成 P81 表 2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数 2log xy  的图象, 再利用 电脑软件画出 0.5log .xy  的图象 x 1 2 1 2 4 6 8 12 16 y －1 0 1 2 2.58 3 3.58 4 y 0.5logy x ０ x 2logy x 注 意 到 ： 1 2 2 log logy x x   ， 若 点 2( , ) logx y y x在 的 图 象 上 ， 则 点 1 2 ( , ) logx y y x 在 的图象上. 由于（ ,x y ）与（ ,x y ）关于 x 轴对称，因此， 1 2 logy x 的图象与 2logy x 的图象关于 x 轴对称 . 所以，由此我们可以画出 1 2 logy x 的图象 . 先由学生自己画出 1 2 logy x 的图象，再由电脑软件画出 2logy x 与 1 2 logy x 的图 象. 探究：选取底数 (a a ＞0，且 a ≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的 对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？ .作法：用多媒体再画出 4logy x ， 3logy x ， 1 3 logy x 和 1 4 logy x 3logy x 4 2 -2 -4 -5 5 提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征， 性质又如何？ 先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影) 图象的特征 函数的性质 （1）图象都在 y 轴的右边 （1）定义域是（0，+∞） （2）函数图象都经过（1，0）点 （2）1 的对数是 0 （3）从左往右看，当 a ＞1 时，图象逐渐 上升，当 0＜ a ＜1 时，图象逐渐下降 . （3）当 a ＞1 时， log x ay  是增函数，当 0＜ a ＜1 时， logay x 是减函数. （4）当 a ＞1 时，函数图象在（1，0）点 右边的纵坐标都大于 0，在（1，0）点左 边的纵坐标都小于 0. 当 0＜ a ＜1 时，图 象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标 都小于 0，在（1，0）点左边的纵坐标都 大于 0 . （4）当 a ＞1 时 x＞1，则 loga x ＞0 0＜ x＜1， loga x ＜0 当 0＜ a ＜1 时 x＞1，则 loga x ＜0 0＜ x＜1， loga x ＜0 由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当 启发、引导）： a ＞1 0＜ a ＜1 图 象 性 质 （1）定义域（0，+∞）； （2）值域 R； （3）过点（1，0），即当 x =1， y =0； 4logy x 1 4 logy x 1 3 logy x 0 （4）在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）是上减函数 例题训练： 1. 比较下列各组数中的两个值大小 （1） 2 2log 3.4 , log 8.5 （2） 0.3 0.3log 1.8 , log 2.7 （3） log 5.1, log 5.9a a （ a ＞0，且 a ≠1） 分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成： （1）解法 1：用图形计算器或多媒体画出对数函数 2logy x 的图象.在图象上，横坐 标为 3、4 的点在横坐标为 8.5 的点的下方： 所以， 2 2log 3.4 log 8.5 解法 2：由函数 2logy x R 在 +上是单调增函数，且 3.4＜8.5，所以 2 2log 3.4 log 8.5 . 解法 3：直接用计算器计算得： 2log 3.4 1.8 ， 2log 8.5 3.1 （2）第（2）小题类似 （3）注：底数是常数，但要分类讨论 a 的范围，再由函数单调性判断大小. 解法 1：当 a ＞1 时， logay x 在（0，＋∞）上是增函数，且 5.1＜5.9. 所以， log 5.1a  log 5.9a 当 a  1 时， logay x 在（0，＋∞）上是减函数，且 5.1＜5.9. 所以， log 5.1a  log 5.9a 解法 2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一， 令 1 1 log 5.1, 5.1,b ab a 则 令 2 2 log 5.9, 5.9,b ab a 则 则 2 5.9ba 则 当 a ＞1 时， xy a 在 R 上是增函数，且 5.1＜5.9 所以， 1b ＜ 2b ，即 log 5.1a ＜ log 5.9a 当 0＜ a ＜1 时， xy a 在 R 上是减函数，且 5.1＞5.9 所以， 1b ＜ 2b ，即 log 5.1a ＞ log 5.9a 说明：先画图象，由数形结合方法解答 课堂练习：Ｐ73 练习 第２，３题 补充练习 1．已知函数 (2 )xy f 的定义域为[-1，1]，则函数 2(log )y f x 的定义域为 2．求函数 22 log ( 1)y x x   的值域. 3．已知 log 7m ＜ log 7n ＜0，按大小顺序排列 m, n, 0, 1 4．已知 0＜ a ＜1, b＞1, ab＞1. 比较 1log ,log ,loga a bbb 1的大小b 归纳小结： 2 对数函数的概念必要性与重要性; ②对数函数的性质，列表展现.