2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 第 2 课时 单调性与最值 13页

第 2 课时 单调性与最值 学习目标 1.掌握 y＝sin x，y＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最 值.2.掌握 y＝sin x，y＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数 y＝Asin(ωx＋φ) 及 y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间． 知识点 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正弦函数 余弦函数 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 在 2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2 (k∈Z)上单调 递增， 在 2kπ＋π 2 ，2kπ＋3 2π (k∈Z)上单 调递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调 递增， 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调 递减 最值 x＝π 2 ＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－π 2 ＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 思考 正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？ 答案 不正确．正弦函数在每个闭区间 2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2 (k∈Z)上是增函数，并不是在整个定 义域上是增函数，同样的，余弦函数在每个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数，并不是 在整个定义域上是减函数． 预习小测 自我检验 1．函数 y＝2cos x＋1 的值域为________． 答案 [－1,3] 2．函数 y＝sin x 取最大值时 x＝________. 答案 π 2 ＋2kπ，k∈Z 3．函数 y＝sin x π 6 ≤x≤π 的值域为________． 答案 [0,1] 4．函数 y＝－cos x 的单调递减区间是________；单调递增区间是________． 答案 [－π＋2kπ，2kπ](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 一、求正弦、余弦函数的单调区间 例 1 求函数 y＝2sin x－π 3 的单调区间． 解 令 z＝x－π 3 ，则 y＝2sin z. ∵z＝x－π 3 是增函数， ∴y＝2sin z 单调递增(减)时， 函数 y＝2sin x－π 3 也单调递增(减)． 由 z∈ 2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2 (k∈Z)， 得 x－π 3 ∈ 2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2 (k∈Z)， 即 x∈ 2kπ－π 6 ，2kπ＋5π 6 (k∈Z)， 故函数 y＝2sin x－π 3 的单调递增区间为 2kπ－π 6 ，2kπ＋5π 6 (k∈Z)． 同理可求函数 y＝2sin x－π 3 的单调递减区间为 2kπ＋5π 6 ，2kπ＋11 6 π (k∈Z)． 延伸探究 求函数 y＝2sin π 4 －x 的单调递减区间． 解 y＝2sin π 4 －x ＝－2sin x－π 4 ， 令 z＝x－π 4 ，而函数 y＝－2sin z 的单调递减区间是 －π 2 ＋2kπ，π 2 ＋2kπ (k∈Z)． ∴原函数递减时，得－π 2 ＋2kπ≤x－π 4 ≤π 2 ＋2kπ(k∈Z)， 得－π 4 ＋2kπ≤x≤3π 4 ＋2kπ(k∈Z)． ∴原函数的单调递减区间是 －π 4 ＋2kπ，3π 4 ＋2kπ (k∈Z)． 反思感悟 求正、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换， 将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求 y＝Asin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．求 形如 y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上． 跟踪训练 1 求下列函数的单调递增区间： (1)y＝cos 2x；(2)y＝sin π 6 －x ，x∈ π 2 ，2π . 解 (1)由 2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)， 所以 kπ－π 2 ≤x≤kπ(k∈Z)， 所以函数 y＝cos 2x 的单调递增区间为 kπ－π 2 ，kπ (k∈Z)． (2)因为 y＝sin π 6 －x ＝－sin x－π 6 ， 所以函数 y＝sin π 6 －x 的单调递增区间就是函数 y＝sin x－π 6 的单调递减区间， 由 2kπ＋π 2 ≤x－π 6 ≤2kπ＋3π 2 ，k∈Z，得 2kπ＋2π 3 ≤x≤2kπ＋5π 3 ，k∈Z. 因为 x∈ π 2 ，2π ， 所以所求函数的单调递增区间为 2π 3 ，5π 3 . 二、三角函数值的大小比较 例 2 比较下列各组中函数值的大小： (1)cos －23 5 π 与 cos －17 4 π ； (2)sin 194°与 cos 160°. 解 (1)cos －23 5 π ＝cos －6π＋7 5π ＝cos 7 5π， cos －17 4 π ＝cos －6π＋7 4π ＝cos 7 4π， ∵π<7 5π<7 4π<2π，∴cos 7 5πcos 160°. 反思感悟 比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数； (2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上； (3)利用函数的单调性比较大小． 跟踪训练 2 比较大小：(1)cos －7π 8 与 cos 7π 6 ； (2)sin 7 4 与 cos 5 3. 解 (1)cos －7π 8 ＝cos 7π 8 ＝cos π－π 8 ＝－cos π 8 ， 而 cos 7π 6 ＝－cos π 6 ， ∵0<π 8<π 6<π 2 ，∴cos π 8>cos π 6. ∴－cos π 8<－cos π 6 ，∴cos －7π 8 sin π 2 ＋5 3 ＝cos 5 3 ，即 sin 7 4>cos 5 3. 三、正弦、余弦函数的最值(值域) 例 3 求下列函数的值域： (1)y＝cos x＋π 6 ，x∈ 0，π 2 ； (2)y＝cos2x－4cos x＋5. 解 (1)由 y＝cos x＋π 6 ，x∈ 0，π 2 可得 x＋π 6 ∈ π 6 ，2π 3 ， 因为函数 y＝cos x 在区间 π 6 ，2π 3 上单调递减，所以函数的值域为 －1 2 ， 3 2 . (2)y＝cos2x－4cos x＋5，令 t＝cos x，则－1≤t≤1. y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1， 当 t＝－1，函数取得最大值 10； t＝1 时，函数取得最小值 2，所以函数的值域为[2,10]． 反思感悟 求三角函数值域的常用方法 (1)求解形如 y＝asin x＋b(或 y＝acos x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的 有界性(－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量 x 的集合时，要 注意考虑三角函数的周期性． (2)求解形如 y＝asin2x＋bsin x＋c(或 y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D 的函数的值域或最值时，通 过换元，令 t＝sin x(或 cos x)，将原函数转化为关于 t 的二次函数，利用配方法求值域或最值 即可．求解过程中要注意 t＝sin x(或 cos x)的有界性． 跟踪训练 3 (1)函数 y＝2cos 2x＋π 6 ，x∈ －π 6 ，π 4 的值域为________． (2)函数 f(x)＝2sin2x＋2sin x－1 2 ，x∈ π 6 ，5π 6 的值域为________． 答案 (1)[－1,2] (2) 1，7 2 解析 (1)∵x∈ －π 6 ，π 4 ， ∴2x＋π 6 ∈ －π 6 ，2π 3 ， ∴cos 2x＋π 6 ∈ －1 2 ，1 ， ∴函数的值域为[－1,2]． (2)令 t＝sin x， ∵x∈ π 6 ，5π 6 ，∴1 2 ≤sin x≤1， 即1 2 ≤t≤1. ∴f(t)＝2t2＋2t－1 2 ＝2 t＋1 2 2－1，t∈ 1 2 ，1 ，且该函数在 1 2 ，1 上单调递增． ∴f(t)的最小值为 f 1 2 ＝1，最大值为 f(1)＝7 2. 即函数 f(x)的值域为 1，7 2 . 正弦、余弦函数的对称性 典例 函数 y＝sin 2x＋π 3 的图象的对称轴方程是________，对称中心的坐标是________． 答案 x＝k 2π＋ π 12(k∈Z) k 2π－π 6 ，0 (k∈Z) 解析 根据正弦函数的周期性知，过函数图象的最高点或最低点且与 x 轴垂直的直线均是对 称轴，而图象与 x 轴的交点均为对称中心． 要使 sin 2x＋π 3 ＝±1，必有 2x＋π 3 ＝kπ＋π 2(k∈Z)，所以 x＝k 2π＋ π 12(k∈Z)， 即对称轴方程为 x＝k 2π＋ π 12(k∈Z)， 而函数 y＝sin 2x＋π 3 的图象与 x 轴的交点即为对称中心， 所以令 y＝0，即 sin 2x＋π 3 ＝0， 所以 2x＋π 3 ＝kπ(k∈Z)，即 x＝k 2π－π 6(k∈Z)， 故函数 y＝sin 2x＋π 3 的图象的对称中心的坐标为 k 2π－π 6 ，0 (k∈Z)． [素养提升] 正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低 点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正 弦曲线、余弦曲线与 x 轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为 0. 1．函数 y＝－cos x 在区间 －π 2 ，π 2 上是( ) A．增函数 B．减函数 C．先减后增函数 D．先增后减函数 答案 C 解析 因为 y＝cos x 在区间 －π 2 ，π 2 上先增后减， 所以 y＝－cos x 在区间 －π 2 ，π 2 上先减后增． 2．正弦函数 y＝sin x，x∈R 的图象的一条对称轴是( ) A．y 轴 B．x 轴 C．直线 x＝π 2 D．直线 x＝π 答案 C 解析 当 x＝π 2 时，y 取最大值，∴x＝π 2 是一条对称轴． 3．y＝cos x－π 4 在[0，π]上的单调递减区间为( ) A. π 4 ，3π 4 B. 0，π 4 C. 3π 4 ，π D. π 4 ，π 答案 D 4．下列关系式中正确的是( ) A．sin 11°sin － π 10 B．sin 3>sin 2 C．sin 7 5π>sin －2 5π D．sin 2>cos 1 答案 D 解析 ∵sin 2＝cos π 2 －2 ＝cos 2－π 2 ， 且 0<2－π 2<1<π，∴cos 2－π 2 >cos 1， 即 sin 2>cos 1.故选 D. 3．当－π 2 ≤x≤π 2 时，函数 f(x)＝2sin x＋π 3 有( ) A．最大值 1，最小值－1 B．最大值 1，最小值－1 2 C．最大值 2，最小值－2 D．最大值 2，最小值－1 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 答案 D 解析 因为－π 2 ≤x≤π 2 ，所以－π 6 ≤x＋π 3 ≤5π 6 ， 所以－1 2 ≤sin x＋π 3 ≤1，所以－1≤f(x)≤2. 4．函数 y＝2sin ωx＋π 4 (ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A. kπ－3π 4 ，kπ＋π 4 (k∈Z) B. 2kπ－3π 4 ，2kπ＋π 4 (k∈Z) C. kπ－3π 8 ，kπ＋π 8 (k∈Z) D. 2kπ－3π 8 ，2kπ＋π 8 (k∈Z) 答案 C 解析 周期 T＝π，∴2π ω ＝π，∴ω＝2. ∴y＝2sin 2x＋π 4 . 由－π 2 ＋2kπ≤2x＋π 4 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z， 得 kπ－3 8π≤x≤kπ＋π 8 ，k∈Z. 5．已知函数 f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线 x＝π 8 对称，则φ可能是( ) A.π 2 B．－π 4 C.3π 4 D.π 4 答案 D 解析 由题意，当 x＝π 8 时， f(x)＝sin 2×π 8 ＋φ ＝±1， 故π 4 ＋φ＝kπ＋π 2(k∈Z)， 解得φ＝kπ＋π 4(k∈Z)． 当 k＝0 时，φ＝π 4 ，故φ可能是π 4. 6．sin 470°________cos 760°(填“>”“<”或“＝”)． 答案 > 解析 sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0 且 cos 20°>cos 40°， 所以 sin 470°>cos 760°. 7．函数 y＝sin(x＋π)在 －π 2 ，π 上的单调递增区间为________． 答案 π 2 ，π 解析 因为 sin(x＋π)＝－sin x，所以要求 y＝sin(x＋π)在 －π 2 ，π 上的单调递增区间， 即求 y＝sin x 在 －π 2 ，π 上的单调递减区间，易知为 π 2 ，π . 8．函数 y＝1 3sin π 3 －x (x∈[0，π])的单调递增区间为________． 答案 5π 6 ，π 解析 y＝－1 3sin x－π 3 ， ∵x∈[0，π]， ∴－π 3 ≤x－π 3 ≤2π 3 . 要求函数的单调递增区间， 则π 2 ≤x－π 3 ≤2π 3 ， 即5π 6 ≤x≤π. ∴y＝1 3sin π 3 －x (x∈[0，π])的单调递增区间为 5π 6 ，π . 9．已知函数 f(x)＝2cos π 3 －2x . (1)若 f(x)＝1，x∈ －π 6 ，π 4 ，求 x 的值； (2)求 f(x)的单调递增区间． 解 (1)根据题意 cos π 3 －2x ＝1 2 ， 因为π 3 －2x＝2kπ±π 3(k∈Z)， 而 x∈ －π 6 ，π 4 ，故 x＝0. (2)f(x)＝2cos 2x－π 3 ， 令－π＋2kπ≤2x－π 3 ≤2kπ，k∈Z， 解得－π 3 ＋kπ≤x≤kπ＋π 6 ，k∈Z， 从而 f(x)的单调递增区间为 kπ－π 3 ，kπ＋π 6 (k∈Z)． 10．已知函数 f(x)＝2cos 3x＋π 4 . (1)求 f(x)的单调递增区间． (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 值． 解 (1)令 2kπ－π≤3x＋π 4 ≤2kπ(k∈Z)， 解得2kπ 3 －5π 12 ≤x≤2kπ 3 － π 12(k∈Z)． ∴f(x)的单调递增区间为 2kπ 3 －5π 12 ，2kπ 3 － π 12 (k∈Z)． (2)当 3x＋π 4 ＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取最小值－2. 即 x＝2kπ 3 －5π 12(k∈Z)时，f(x)取最小值－2. 11．函数 y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈ π 3 ，2π 3 的最小值是( ) A．－1 3 B.15 4 C．0 D．－1 4 答案 D 解析 令 t＝cos x，x∈ π 3 ，2π 3 ， ∴t∈ －1 2 ，1 2 ， y＝3t2－4t＋1＝3 t－2 3 2－1 3. ∵y＝3 t－2 3 2－1 3 在 t∈ －1 2 ，1 2 上单调递减， ∴当 t＝1 2 ，即 x＝π 3 时，ymin＝3× 1 2 2－4×1 2 ＋1＝－1 4. 12．已知ω>0，函数 f(x)＝sin ωx＋π 4 在 π 2 ，π 上单调递减，则ω的取值范围是( ) A. 1 2 ，5 4 B. 1 2 ，3 4 C. 0，1 2 D．(0,2] 答案 A 解析 取ω＝5 4 ，f(x)＝sin 5 4x＋π 4 ， 其减区间为 8 5kπ＋π 5 ，8 5kπ＋π ，k∈Z， 显然 π 2 ，π ⊆ 8 5kπ＋π 5 ，8 5kπ＋π ，k∈Z，排除 B，C. 取ω＝2，f(x)＝sin 2x＋π 4 ， 其减区间为 kπ＋π 8 ，kπ＋5 8π ，k∈Z， 显然 π 2 ，π ⊈ kπ＋π 8 ，kπ＋5 8π ，k∈Z，排除 D. 13．函数 y＝sin x 的定义域为[a，b]，值域为 －1，1 2 ，则 b－a 的最大值与最小值之和为____． 答案 2π 解析 由图可知， b－a 的最大值为13π 6 －5π 6 ＝4π 3 ， b－a 的最小值为3π 2 －5π 6 ＝2π 3 . 所以最大值与最小值之和为4π 3 ＋2π 3 ＝2π. 14．函数 y＝sin2x＋sin x－1 的最大值为________ ，最小值为________． 答案 1 －5 4 解析 令 t＝sin x∈[－1,1]，y＝t2＋t－1＝ t＋1 2 2－5 4(－1≤t≤1)， 显然－5 4 ≤y≤1. 15．若函数 f(x)＝sin(2x＋φ) |φ|<π 2 与函数 g(x)＝cos ωx－π 6 (ω>0)的图象具有相同的对称中心， 则φ＝________. 答案 π 3 解析 ∵两函数图象具有相同的对称中心， ∴它们的周期相同， ∴ω＝2.令 2x＋φ＝kπ(k∈Z)， 则 x＝kπ 2 －φ 2(k∈Z)， 即 f(x)的图象的对称中心为 kπ 2 －φ 2 ，0 (k∈Z)． 令 2x－π 6 ＝k′π＋π 2(k′∈Z)， 则 x＝k′π 2 ＋π 3(k′∈Z)， 即 g(x)的图象的对称中心为 k′π 2 ＋π 3 ，0 (k′∈Z)． 又 g(x)，f(x)的图象的对称中心相同， 则kπ 2 －φ 2 ＝k′π 2 ＋π 3(k，k′∈Z)， 即φ＝(k－k′)π－2π 3 (k，k′∈Z)， 又∵|φ|<π 2 ， ∴φ＝π 3. 16．已知ω是正数，函数 f(x)＝2sin ωx 在区间 －π 3 ，π 4 上是增函数，求ω的取值范围． 解 由－π 2 ＋2kπ≤ωx≤π 2 ＋2kπ(k∈Z)，ω>0，得－ π 2ω ＋2kπ ω ≤x≤ π 2ω ＋2kπ ω ， ∴f(x)的单调递增区间是 － π 2ω ＋2kπ ω ， π 2ω ＋2kπ ω ，k∈Z. 根据题意，得 －π 3 ，π 4 ⊆ － π 2ω ＋2kπ ω ， π 2ω ＋2kπ ω (k∈Z)， 从而有 － π 2ω ≤－π 3 ， π 2ω ≥π 4 ， ω>0 解得 0<ω≤3 2. 故ω的取值范围是 0，3 2 .