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- 2021-06-16 发布
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阶段质量检测(二)
(A 卷 学业水平达标)
(时间:90 分钟,满分:120 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.在五边形 ABCDE 中(如图), AB
+ BC
- DC
=( )
A. AC
B. AD
C. BD
D. BE
答案:B
2.(全国大纲卷)已知向量 m=(λ+1,1), n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=( )
A.-4 B.-3
C.-2 D.-1
答案:B
3.若|a|= 2,|b|=2,且(a-b)⊥a,则 a 与 b 的夹角是( )
A.π
6 B.π
4
C.π
3 D.π
2
答案:B
4.在△ABC 中,D 为 BC 边的中点,已知 AB
=a,
AC
=b,则下列向量中与 AD
同向的是( )
A. a+b
|a+b|
B. a
|a|
+ b
|b|
C. a-b
|a-b|
D. a
|a|
- a
|b|
答案:A
5.已知边长为 1 的正三角形 ABC 中, BC
·CA
+CA
· AB
+ AB
· BC
的值为( )
A.1
2 B.-1
2
C.3
2 D.-3
2
答案:D
6.已知平面内不共线的四点 O,A,B,C 满足 OB
=1
3OA
+2
3OC
,则| AB
|∶| BC
|=
( )
A.1∶3 B.3∶1
C.1∶2 D.2∶1
答案:D
7.P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA
· PB
= PB
· PC
= PC
· PA
,则 P 是△ABC 的
( )
A.内心 B.外心
C.垂心 D.重心
答案:C
8.已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|
的最大值是( )
A.1 B.2
C. 2 D. 2
2
答案:C
9.在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=45°,AB=2CD=2,M 为腰 BC
的中点,则 MA
· MD
=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
10.如图,半圆的直径 AB=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于 A,B 的
任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点,则( PA
+ PB
)· PC
的最小值是( )
A.9
2 B.9 C.-9
2 D.-9
答案:C
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
11.在直角坐标系 xOy 中, AB
=(2,1), AC
=(3,k),若三角形 ABC 是直角三角形,
则 k 的值为________.
答案:-6 或-1
12.在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠BAD=60°,E 为 CD 的中点,则 AE
· BD
=________.
答案:1
13.如图,OM∥AB,点 P 在由射线 OM,线段 OB 及 AB 的延长线围成的区域(不含边
界)内运动,且 OP
=x OA
+y OB
,则 x 的取值范围是______.当 x=-1
2
时,y 的取值范围
是________.
答案:(-∞,0)
1
2
,3
2
14.在平面直角坐标系中,若 O 为坐标原点,则 A,B,C 三点在同一直线上的等价条件
为存在唯一实数λ,使得OC
=λ OA
+(1-λ)OB
成立,此时称实数λ为“向量OC
关于 OA
和
OB
的终点共线分解系数”.若已知 P1(3,1),P2(-1,3),且向量 3OP
与向量 a=(1,1)垂直,则
“向量 3OP
关于 1OP
和 2OP
的终点共线分解系数”为________.
答案:-1
三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 12 分)已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R.
(1)若 a⊥b,求 x 的值;
(2)若 a∥b,求|a-b|.
解:(1)若 a⊥b,
则 a·b=(1,x)·(2x+3,-x)
=1×(2x+3)+x(-x)=0.
整理得 x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3.
(2)若 a∥b,则有 1×(-x)-x(2x+3)=0,
即 x(2x+4)=0,
解得 x=0 或 x=-2.
当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0),
∴a-b=(-2,0),|a-b|=2;
当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2),
∴a-b=(2,-4),
∴|a-b|= 4+16=2 5.
综上所述,|a-b|为 2 或 2 5.
16.(本小题满分 12 分)如图,平行四边形 ABCD 中, AB
=a, AD
=b,H,M 分别是
AD,DC 的中点,BF=1
3BC.
(1)以 a,b 为基底表示向量 AM
与 HF
;
(2)若|a|=3,|b|=4,a 与 b 的夹角为 120°,求 AM
· HF
.
解:(1)∵M 为 DC 的中点,
∴ DM
=1
2 DC
,又 DC
= AB
,
∴ AM
= AD
+ DM
= AD
+1
2 AB
=1
2a+b,
∵H 为 AD 的中点,BF=1
3BC, BC
= AD
,
∴ AH
=1
2 AD
, BF
=1
3 AD
,
∴ HF
= HA
+ AB
+ BF
=-1
2 AD
+ AB
+1
3 AD
= AB
-1
6 AD
=a-1
6b.
(2)由已知得 a·b=3×4×cos 120°=-6,
AM
· HF
=
1
2
a+b · a-1
6b
=1
2a2+ 1- 1
12 a·b-1
6b2
=1
2
×32+11
12
×(-6)-1
6
×42
=-11
3 .
17.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,
-1).
(1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
(2)设实数 t 满足( AB
-tOC
)·OC
=0,求 t 的值.
解:(1)由题设知 AB
=(3,5), AC
=(-1,1),
则 AB
+ AC
=(2,6), AB
- AC
=(4,4).
所以| AB
+ AC
|=2 10,| AB
- AC
|=4 2.
故所求的两条对角线长分别为 4 2,2 10.
(2)由题设知OC
=(-2,-1),
AB
-tOC
=(3+2t,5+t).
由( AB
-tOC
)·OC
=0,
得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,
即(3+2t)×(-2)+(5+t)×(-1)=0,
从而 5t=-11,所以 t=-11
5 .
18.(本小题满分 14 分)已知 e1,e2 是平面内两个不共线的非零向量,AB
=2e1+e2,BE
=-e1+λe2, EC
=-2e1+e2,且 A,E,C 三点共线.
(1)求实数λ的值;
(2)若 e1=(2,1),e2=(2,-2),求 BC
的坐标;
(3)已知 D(3,5),在(2)的条件下,若 A,B,C,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,求
点 A 的坐标.
解:(1) AE
= AB
+ BE
=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2.
∵A,E,C 三点共线,
∴存在实数 k,使得 AE
=k EC
,
即 e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.
∵e1,e2 是平面内两个不共线的非零向量,
∴ 1+2k=0,
λ=k-1,
解得 k=-1
2
,λ=-3
2.
(2) BC
= BE
+ EC
=-3e1-1
2e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).
(3)∵A,B,C,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,
∴ AD
= BC
.
设 A(x,y),则 AD
=(3-x,5-y),
∵ BC
=(-7,-2),
∴ 3-x=-7,
5-y=-2,
解得 x=10,
y=7,
即点 A 的坐标为(10,7).
(B 卷 能力素养提升)
(时间:90 分钟,满分:120 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.化简 AC
- BD
+CD
- AB
得( )
A. AB
B. DA
C. BC
D.0
解析:选 D AC
- BD
+CD
- AB
= AC
+CD
-( AB
+ BD
)= AD
- AD
=0.
2.已知向量 a 与 b 的夹角为π
3
,|a|= 2,则 a 在 b 方向上的投影为( )
A. 3 B. 2
C. 2
2 D. 3
2
解析:选 C a 在 b 方向上的投影为|a|·cos〈a,b〉= 2cos π
3
= 2
2 .选 C.
3.向量 BA
=(4,-3), BC
=(2,-4),则△ABC 的形状为( )
A.等腰非直角三角形
B.等边三角形
C.直角非等腰三角形
D.等腰直角三角形
解析:选 C AC
= BC
- BA
=(2,-4)-(4,-3)=(-2,-1),而 AC
· BC
=(-2,
-1)·(2,-4)=0,所以 AC
⊥ BC
,又| AC
|≠| BC
|,所以△ABC 是直角非等腰三角形.故
选 C.
4.若OF
1=(2,2),OF
2=(-2,3)分别表示 F1,F2,则|F1+F2|为( )
A.(0,5) B.25
C.2 2 D.5
解析:选 D ∵F1+F2=(0,5),∴|F1+F2|= 02+52=5.
5.若向量 a,b,c 满足 a∥b 且 a⊥c,则 c·(a+2b)=( )
A.4 B.3
C.2 D.0
解析:选 D 由 a∥b 及 a⊥c,得 b⊥c,则 c·(a+2b)=c·a+2c·b=0.
6.(广东高考)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ=( )
A.1
4 B.1
2
C.1 D.2
解析:选 C 可得 a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c 得(1+λ)×4-3×2=0,∴λ=1
2.
7.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于( )
A. 3 B.2 3
C.4 D.12
解析:选 B 因为|a|=2,|b|=1,
∴a·b=2×1×cos 60°=1.
∴|a+2b|= a2+4×a·b+4b2=2 3.
8.如图,非零向量OA
=a,|a|=2,OB
=b,a·b=1,且 BC
⊥OA
,C 为垂足,若OC
=λa,则λ为( )
A.1
2 B.1
3
C.1
4 D.2
解析:选 C 设 a 与 b 的夹角为θ.∵|OC
|就是OB
在OA
上的投影|b|cos θ,∴|OC
|=|b|
cos θ=a·b
|a|
=λ|a|,即λ=a·b
|a|2
=1
4
,故选 C.
9.若 e1,e2 是平面内夹角为 60°的两个单位向量,则向量 a=2e1+e2 与 b=-3e1+2e2 的
夹角为( )
A.30° B.60°
C.90° D.120°
解析:选 D e1·e2=|e1||e2|cos 60°=1
2
,a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-7
2
,|a|= 2e1+e22
= 4+4e1·e2+1= 7,|b|= -3e1+2e22= 9-12e1·e2+4= 7,所以 a,b 的夹角的余弦值
为 cos〈a,b〉= a·b
|a||b|
=
-7
2
7× 7
=-1
2
,所以〈a,b〉=120°.故选 D.
10.在△ABC 中,已知向量 AB
与 AC
满足 AB
|
AB
|
+ AC
|
AC
|
· BC
=0 且 AB
|
AB
|
·
AC
|
AC
|
=1
2
,
则△ABC 为( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
解析:选 D 非零向量 AB
与 AC
满足
AB
|
AB
|
+AC
|
AC
| · BC
=0,即∠A 的平分线垂直
于 BC,∴AB=AC.
又 cos A= AB
|
AB
|
·
AC
|
AC
|
=1
2
,∴∠A=π
3
,
所以△ABC 为等边三角形,选 D.
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
11.若向量 AB
=(3,-1),n=(2,1),且 n· AC
=7,那么 n· BC
=________.
解析:n· BC
=n·( AC
- AB
)=n· AC
-n· AB
=7-5=2.
答案:2
12.已知 a,b 的夹角为θ,|a|=2,|b|=1,则 a·b 的取值范围为________.
解析:∵a·b=|a||b|cos θ=2cos θ,
又∵θ∈[0,π],∴cos θ∈[-1,1],即 a·b∈[-2,2].
答案:[-2,2]
13.如图,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P,且 AP=3,则 AP
· AC
=________.
解析:设 AC∩BD=O,则 AC
=2( AB
+ BO
), AP
· AC
= AP
·2( AB
+ BO
)=
2 AP
· AB
+2 AP
· BO
=2 AP
· AB
=2 AP
·( AP
+ PB
)=2| AP
|2=18.
答案:18
14.关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题:
①若 a·b=a·c,则 b=c;
②若 a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=-3;
③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 60°,其中真命题的序号为
________.(写出所有真命题的序号)
解析:①a·b=a·c⇔a·(b-c)=0,表明 a 与 b-c 向量垂直,不一定有 b=c,所以①不正
确;对于②,当 a∥b 时,1×6+2k=0,则 k=-3,所以②正确;结合平行四边形法则知,
若|a|=|b|=|a-b|,则|a|,|b|,|a-b|可构成一正三角形,那么 a+b 与 a 的夹角为 30°,而非
60°,所以③错误.
答案:②
三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 12 分)已知 OA
=a, OB
=b,对于任意点 M 关于 A 点的对称点为 S,
S 点关于 B 点的对称点为 N.
(1)用 a,b 表示向量 MN
;
(2)设|a|=1,|b|=2,| MN
|∈[2 3,2 7],求 a 与 b 的夹角θ的取值范围.
解:(1)依题意,知 A 为 MS 的中点,B 为 NS 的中点.
∴ SN
=2 SB
, SM
=2 SA
.
∴ MN
= SN
- SM
=2( SB
- SA
)=2 AB
=2(OB
- OA
)=2(b-a).
(2)∵| MN
|∈[2 3,2 7],
∴ MN
2∈[12,28],∴12≤4(b-a)2≤28.
∴3≤4+1-2a·b≤7,∴-1≤a·b≤1.
∵cos θ= a·b
|a||b|
=a·b
2
,∴-1
2
≤cos θ≤1
2.
∵0≤θ≤π,∴π
3
≤θ≤2π
3
,即θ的取值范围为
π
3
,2π
3 .
16.(本小题满分 12 分)已知在梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=
DA=1
2AB.
求证:AC⊥BC.
证明:以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,如 图,
设 AD=1,则 A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1).
∴ BC
=(-1,1), AC
=(1,1),
BC
· AC
=-1×1+1×1=0,∴ BC
⊥ AC
,
∴BC⊥AC.
17.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(m,cos 2x),b=(1+sin 2x,1),
x∈R,且 y=f(x)的图象经过点
π
4
,2 .求实数 m 的值.
解:f(x)=a·b=m(1+sin 2x)+cos 2x,
由已知得 f
π
4 =m 1+sinπ
2 +cosπ
2
=2,
解得 m=1.
18.(本小题满分 14 分)(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,求 a 与 b 的夹角;
(2)设 OA
=(2,5), OB
=(3,1),OC
=(6,3),在 OC
上是否存在点 M,使 MA
⊥ MB
?
若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)(2a-3b)·(2a+b)=4a2-4a·b-3b2=61.
∵|a|=4,|b|=3,
∴a·b=-6,
∴cos θ= a·b
|a||b|
= -6
4×3
=-1
2
,
∴θ=120°.
(2)假设存在点 M,且OM
=λOC
=(6λ,3λ)(0<λ≤1),
∴ MA
=(2-6λ,5-3λ), MB
=(3-6λ,1-3λ),
∴(2-6λ)×(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,
∴45λ2-48λ+11=0,得λ=1
3
或λ=11
15.
∴OM
=(2,1)或OM
=
22
5
,11
5 .
∴存在 M(2,1)或 M
22
5
,11
5 满足题意.
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