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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a版必修4阶段质量检测(二) word版含解析

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阶段质量检测(二) (A 卷 学业水平达标) (时间:90 分钟,满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.在五边形 ABCDE 中(如图), AB  + BC  - DC  =( ) A. AC  B. AD  C. BD  D. BE  答案:B 2.(全国大纲卷)已知向量 m=(λ+1,1), n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 答案:B 3.若|a|= 2,|b|=2,且(a-b)⊥a,则 a 与 b 的夹角是( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 答案:B 4.在△ABC 中,D 为 BC 边的中点,已知 AB  =a, AC  =b,则下列向量中与 AD  同向的是( ) A. a+b |a+b| B. a |a| + b |b| C. a-b |a-b| D. a |a| - a |b| 答案:A 5.已知边长为 1 的正三角形 ABC 中, BC  ·CA  +CA  · AB  + AB  · BC  的值为( ) A.1 2 B.-1 2 C.3 2 D.-3 2 答案:D 6.已知平面内不共线的四点 O,A,B,C 满足 OB  =1 3OA  +2 3OC  ,则| AB  |∶| BC  |= ( ) A.1∶3 B.3∶1 C.1∶2 D.2∶1 答案:D 7.P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA  · PB  = PB  · PC  = PC  · PA  ,则 P 是△ABC 的 ( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 答案:C 8.已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)·(b-c)=0,则|c| 的最大值是( ) A.1 B.2 C. 2 D. 2 2 答案:C 9.在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=45°,AB=2CD=2,M 为腰 BC 的中点,则 MA  · MD  =( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 10.如图,半圆的直径 AB=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于 A,B 的 任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点,则( PA  + PB  )· PC  的最小值是( ) A.9 2 B.9 C.-9 2 D.-9 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.在直角坐标系 xOy 中, AB  =(2,1), AC  =(3,k),若三角形 ABC 是直角三角形, 则 k 的值为________. 答案:-6 或-1 12.在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠BAD=60°,E 为 CD 的中点,则 AE  · BD  =________. 答案:1 13.如图,OM∥AB,点 P 在由射线 OM,线段 OB 及 AB 的延长线围成的区域(不含边 界)内运动,且 OP  =x OA  +y OB  ,则 x 的取值范围是______.当 x=-1 2 时,y 的取值范围 是________. 答案:(-∞,0) 1 2 ,3 2 14.在平面直角坐标系中,若 O 为坐标原点,则 A,B,C 三点在同一直线上的等价条件 为存在唯一实数λ,使得OC  =λ OA  +(1-λ)OB  成立,此时称实数λ为“向量OC  关于 OA  和 OB  的终点共线分解系数”.若已知 P1(3,1),P2(-1,3),且向量 3OP  与向量 a=(1,1)垂直,则 “向量 3OP  关于 1OP  和 2OP  的终点共线分解系数”为________. 答案:-1 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R. (1)若 a⊥b,求 x 的值; (2)若 a∥b,求|a-b|. 解:(1)若 a⊥b, 则 a·b=(1,x)·(2x+3,-x) =1×(2x+3)+x(-x)=0. 整理得 x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3. (2)若 a∥b,则有 1×(-x)-x(2x+3)=0, 即 x(2x+4)=0, 解得 x=0 或 x=-2. 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0), ∴a-b=(-2,0),|a-b|=2; 当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2), ∴a-b=(2,-4), ∴|a-b|= 4+16=2 5. 综上所述,|a-b|为 2 或 2 5. 16.(本小题满分 12 分)如图,平行四边形 ABCD 中, AB  =a, AD  =b,H,M 分别是 AD,DC 的中点,BF=1 3BC. (1)以 a,b 为基底表示向量 AM  与 HF  ; (2)若|a|=3,|b|=4,a 与 b 的夹角为 120°,求 AM  · HF  . 解:(1)∵M 为 DC 的中点, ∴ DM  =1 2 DC  ,又 DC  = AB  , ∴ AM  = AD  + DM  = AD  +1 2 AB  =1 2a+b, ∵H 为 AD 的中点,BF=1 3BC, BC  = AD  , ∴ AH  =1 2 AD  , BF  =1 3 AD  , ∴ HF  = HA  + AB  + BF  =-1 2 AD  + AB  +1 3 AD  = AB  -1 6 AD  =a-1 6b. (2)由已知得 a·b=3×4×cos 120°=-6, AM  · HF  = 1 2 a+b · a-1 6b =1 2a2+ 1- 1 12 a·b-1 6b2 =1 2 ×32+11 12 ×(-6)-1 6 ×42 =-11 3 . 17.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2, -1). (1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( AB  -tOC  )·OC  =0,求 t 的值. 解:(1)由题设知 AB  =(3,5), AC  =(-1,1), 则 AB  + AC  =(2,6), AB  - AC  =(4,4). 所以| AB  + AC  |=2 10,| AB  - AC  |=4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2,2 10. (2)由题设知OC  =(-2,-1), AB  -tOC  =(3+2t,5+t). 由( AB  -tOC  )·OC  =0, 得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0, 即(3+2t)×(-2)+(5+t)×(-1)=0, 从而 5t=-11,所以 t=-11 5 . 18.(本小题满分 14 分)已知 e1,e2 是平面内两个不共线的非零向量,AB  =2e1+e2,BE  =-e1+λe2, EC  =-2e1+e2,且 A,E,C 三点共线. (1)求实数λ的值; (2)若 e1=(2,1),e2=(2,-2),求 BC  的坐标; (3)已知 D(3,5),在(2)的条件下,若 A,B,C,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,求 点 A 的坐标. 解:(1) AE  = AB  + BE  =(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2. ∵A,E,C 三点共线, ∴存在实数 k,使得 AE  =k EC  , 即 e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2. ∵e1,e2 是平面内两个不共线的非零向量, ∴ 1+2k=0, λ=k-1, 解得 k=-1 2 ,λ=-3 2. (2) BC  = BE  + EC  =-3e1-1 2e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2). (3)∵A,B,C,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形, ∴ AD  = BC  . 设 A(x,y),则 AD  =(3-x,5-y), ∵ BC  =(-7,-2), ∴ 3-x=-7, 5-y=-2, 解得 x=10, y=7, 即点 A 的坐标为(10,7). (B 卷 能力素养提升) (时间:90 分钟,满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.化简 AC  - BD  +CD  - AB  得( ) A. AB  B. DA  C. BC  D.0 解析:选 D AC  - BD  +CD  - AB  = AC  +CD  -( AB  + BD  )= AD  - AD  =0. 2.已知向量 a 与 b 的夹角为π 3 ,|a|= 2,则 a 在 b 方向上的投影为( ) A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 3 2 解析:选 C a 在 b 方向上的投影为|a|·cos〈a,b〉= 2cos π 3 = 2 2 .选 C. 3.向量 BA  =(4,-3), BC  =(2,-4),则△ABC 的形状为( ) A.等腰非直角三角形 B.等边三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析:选 C AC  = BC  - BA  =(2,-4)-(4,-3)=(-2,-1),而 AC  · BC  =(-2, -1)·(2,-4)=0,所以 AC  ⊥ BC  ,又| AC  |≠| BC  |,所以△ABC 是直角非等腰三角形.故 选 C. 4.若OF  1=(2,2),OF  2=(-2,3)分别表示 F1,F2,则|F1+F2|为( ) A.(0,5) B.25 C.2 2 D.5 解析:选 D ∵F1+F2=(0,5),∴|F1+F2|= 02+52=5. 5.若向量 a,b,c 满足 a∥b 且 a⊥c,则 c·(a+2b)=( ) A.4 B.3 C.2 D.0 解析:选 D 由 a∥b 及 a⊥c,得 b⊥c,则 c·(a+2b)=c·a+2c·b=0. 6.(广东高考)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ=( ) A.1 4 B.1 2 C.1 D.2 解析:选 C 可得 a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c 得(1+λ)×4-3×2=0,∴λ=1 2. 7.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于( ) A. 3 B.2 3 C.4 D.12 解析:选 B 因为|a|=2,|b|=1, ∴a·b=2×1×cos 60°=1. ∴|a+2b|= a2+4×a·b+4b2=2 3. 8.如图,非零向量OA  =a,|a|=2,OB  =b,a·b=1,且 BC  ⊥OA  ,C 为垂足,若OC  =λa,则λ为( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.2 解析:选 C 设 a 与 b 的夹角为θ.∵|OC  |就是OB  在OA  上的投影|b|cos θ,∴|OC  |=|b| cos θ=a·b |a| =λ|a|,即λ=a·b |a|2 =1 4 ,故选 C. 9.若 e1,e2 是平面内夹角为 60°的两个单位向量,则向量 a=2e1+e2 与 b=-3e1+2e2 的 夹角为( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 解析:选 D e1·e2=|e1||e2|cos 60°=1 2 ,a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-7 2 ,|a|= 2e1+e22 = 4+4e1·e2+1= 7,|b|= -3e1+2e22= 9-12e1·e2+4= 7,所以 a,b 的夹角的余弦值 为 cos〈a,b〉= a·b |a||b| = -7 2 7× 7 =-1 2 ,所以〈a,b〉=120°.故选 D. 10.在△ABC 中,已知向量 AB  与 AC  满足 AB  | AB  | + AC  | AC  | · BC  =0 且 AB  | AB  | · AC  | AC  | =1 2 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 解析:选 D 非零向量 AB  与 AC  满足 AB  | AB  | +AC  | AC  | · BC  =0,即∠A 的平分线垂直 于 BC,∴AB=AC. 又 cos A= AB  | AB  | · AC  | AC  | =1 2 ,∴∠A=π 3 , 所以△ABC 为等边三角形,选 D. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.若向量 AB  =(3,-1),n=(2,1),且 n· AC  =7,那么 n· BC  =________. 解析:n· BC  =n·( AC  - AB  )=n· AC  -n· AB  =7-5=2. 答案:2 12.已知 a,b 的夹角为θ,|a|=2,|b|=1,则 a·b 的取值范围为________. 解析:∵a·b=|a||b|cos θ=2cos θ, 又∵θ∈[0,π],∴cos θ∈[-1,1],即 a·b∈[-2,2]. 答案:[-2,2] 13.如图,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P,且 AP=3,则 AP  · AC  =________. 解析:设 AC∩BD=O,则 AC  =2( AB  + BO  ), AP  · AC  = AP  ·2( AB  + BO  )= 2 AP  · AB  +2 AP  · BO  =2 AP  · AB  =2 AP  ·( AP  + PB  )=2| AP  |2=18. 答案:18 14.关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题: ①若 a·b=a·c,则 b=c; ②若 a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=-3; ③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 60°,其中真命题的序号为 ________.(写出所有真命题的序号) 解析:①a·b=a·c⇔a·(b-c)=0,表明 a 与 b-c 向量垂直,不一定有 b=c,所以①不正 确;对于②,当 a∥b 时,1×6+2k=0,则 k=-3,所以②正确;结合平行四边形法则知, 若|a|=|b|=|a-b|,则|a|,|b|,|a-b|可构成一正三角形,那么 a+b 与 a 的夹角为 30°,而非 60°,所以③错误. 答案:② 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)已知 OA  =a, OB  =b,对于任意点 M 关于 A 点的对称点为 S, S 点关于 B 点的对称点为 N. (1)用 a,b 表示向量 MN  ; (2)设|a|=1,|b|=2,| MN  |∈[2 3,2 7],求 a 与 b 的夹角θ的取值范围. 解:(1)依题意,知 A 为 MS 的中点,B 为 NS 的中点. ∴ SN  =2 SB  , SM  =2 SA  . ∴ MN  = SN  - SM  =2( SB  - SA  )=2 AB  =2(OB  - OA  )=2(b-a). (2)∵| MN  |∈[2 3,2 7], ∴ MN  2∈[12,28],∴12≤4(b-a)2≤28. ∴3≤4+1-2a·b≤7,∴-1≤a·b≤1. ∵cos θ= a·b |a||b| =a·b 2 ,∴-1 2 ≤cos θ≤1 2. ∵0≤θ≤π,∴π 3 ≤θ≤2π 3 ,即θ的取值范围为 π 3 ,2π 3 . 16.(本小题满分 12 分)已知在梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD= DA=1 2AB. 求证:AC⊥BC. 证明:以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,如 图, 设 AD=1,则 A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1). ∴ BC  =(-1,1), AC  =(1,1), BC  · AC  =-1×1+1×1=0,∴ BC  ⊥ AC  , ∴BC⊥AC. 17.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(m,cos 2x),b=(1+sin 2x,1), x∈R,且 y=f(x)的图象经过点 π 4 ,2 .求实数 m 的值. 解:f(x)=a·b=m(1+sin 2x)+cos 2x, 由已知得 f π 4 =m 1+sinπ 2 +cosπ 2 =2, 解得 m=1. 18.(本小题满分 14 分)(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,求 a 与 b 的夹角; (2)设 OA  =(2,5), OB  =(3,1),OC  =(6,3),在 OC  上是否存在点 M,使 MA  ⊥ MB  ? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)(2a-3b)·(2a+b)=4a2-4a·b-3b2=61. ∵|a|=4,|b|=3, ∴a·b=-6, ∴cos θ= a·b |a||b| = -6 4×3 =-1 2 , ∴θ=120°. (2)假设存在点 M,且OM  =λOC  =(6λ,3λ)(0<λ≤1), ∴ MA  =(2-6λ,5-3λ), MB  =(3-6λ,1-3λ), ∴(2-6λ)×(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0, ∴45λ2-48λ+11=0,得λ=1 3 或λ=11 15. ∴OM  =(2,1)或OM  = 22 5 ,11 5 . ∴存在 M(2,1)或 M 22 5 ,11 5 满足题意.