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- 2021-06-16 发布
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专练6 函数的奇偶性与周期性
命题范围:函数的奇偶性、函数的周期性.
[基础强化]
一、选择题
1.下列函数中,在(0,+∞)上单调递减,并且是偶函数的是( )
A.y=x2 B.y=-x3
C.y=-lg|x| D.y=2x
2.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.f(x)|g(x)|是奇函数
C.|f(x)|g(x)是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-8)=( )
A.3 B.
C.- D.-3
4.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f=( )
A.- B.-
C. D.
5.[2020·广西桂林测试]定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=3x,则( )
A.f(-1)=f(2) B.f(-1)=f(4)
C.f>f D.f=f(4)
6.[2020·天水一中测试]函数f(x)为奇函数,定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(2 016)+f(2 017)=( )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
7.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设a=f(log47),b=f(log23),c=f(0.20.6),则a,b,c的大小关系是( )
A.c0恒成立;
②f(x+4)=-f(x);
③y=f(x+4)是偶函数.
若a=f(6),b=f(11),c=f(2 017),则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.a0,给出下列命题:
①f(3)=0;
②直线x=-6是y=f(x)的一条对称轴;
③y=f(x)在(-9,-6)上为增函数;
④y=f(x)在[-9,9]上有四个零点.
其中所有正确命题的序号为( )
A.①② B.②④
C.①②③ D.①②④
专练6 函数的奇偶性与周期性
1.C
2.B
3.D ∵f(x)为奇函数,∴f(-8)=-f(8)=-log28=-3.
4.A ∵f(x)为奇函数且周期为2,∴f=-f=-f=-2××=-.
5.C ∵f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为2,又f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1)=31=3,∴f(2)=f(0)=1,∴f(4)=f(0)=1,f=f=,f=f=f=,
∴f>f.
6.D ∵f(x+2)为偶函数,∴f(2+x)=f(2-x),
又f(x)为奇函数,∴f(-x+2)=-f(x-2),
∴f(x+2)=-f(x-2),∴f(x+4)=-f(x),∴f(x+8)=-f(x+4)=f(x),
∴f(x)是以8为周期的周期函数,
∵f(0)=0,∴f(2 016)=f(0)=0,f(2 017)=f(1)=1,
∴f(2 016)+f(2 017)=0+1=1.
7.C f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,得函数在(0,+∞)上是减函数,图象越靠近y轴,图象越靠上,即自变量的绝对值越小,函数值越大,由于0<0.20.6<10时,-x<0,f(-x)=-e-ax.因为函数f(x)为奇函数,所以当x>0时,f(x)=-f(-x)=e-ax,所以f(ln 2)=e-aln 2=a=8,所以a=-3.
13.B ∵f(x+6)=f(x),∴f(x)为周期函数,且周期为6,
∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(3-6)=f(-3)=
-(-3+2)2=-1,
f(4)=f(4-6)=f(-2)=-(-2+2)2=0,
f(5)=f(5-6)=f(-1)=-(-1+2)2=-1,
f(6)=f(0)=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)=336+1+2=339.
14.C 奇函数f(x)在R上是增函数,
当x>0时,f(x)>f(0)=0,
当x1>x2>0时,f(x1)>f(x2)>0,
∴x1f(x1)>x2f(x2),
∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,
且g(x)=xf(x)是偶函数,
∴a=g(-log25.1)=g(log25.1),20,
故函数y=f(x)在[0,3]上是增函数,作出函数y=f(x)在区间[-9,9]上的大致图象如图:
由图可知,f(x)在(-9,-6)上为减函数,且有f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,即y=f(x)在[-9,9]上有四个零点,故③错误,④正确.
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