浙江省衢州、湖州、丽水2021届高三11月教学质量检测数学试题 13页

衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷 高三数学（2020.11） ‎ 本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.‎ 考生注意：‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在试题卷和答题纸规定的位置上.‎ ‎2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求.在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效.‎ 参考公式：‎ 若事件互斥，则 柱体的体积公式 ‎ ‎ 若事件相互独立，则 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 ‎ 锥体的体积公式 ‎ 若事件在一次试验中发生的概率是，则次 ‎ 独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 ‎ 球的表面积公式 台体的体积公式 ‎ ‎ 球的体积公式 其中分别表示台体的上、下底面积， ‎ 表示台体的高 其中表示球的半径 第 Ⅰ 卷 (选择题,共40分)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合， ，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则 ‎ 13‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.若实数满足，则 ‎ A. 有最小值，无最大值 B. 有最小值，无最大值 C. 有最大值，无最小值 D. 有最大值，无最小值 第4题图 ‎4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知是定义在上的函数，则“”是 ‎“是奇函数”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎6.，是空间两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 第7题图 A. 若，，，则 ‎ B. 若，，，则 ‎ C. 若，，，则 ‎ D. 若，，，则 A B C D ‎7.已知函数的图象如图所示，则的图象可能是 ‎ ‎8.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线在第一象限的交点为，若原点到直线的距离为，，则双曲线的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ 13‎ ‎9.已知数列的前项和是，前项的积是. ‎ ‎①若是等差数列，则是等差数列；‎ ‎②若是等比数列，则是等比数列；‎ ‎③若是等差数列，则是等差数列；‎ ‎④若是等比数列，则是等比数列. ‎ 其中正确命题的个数有 ‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎10.已知空间向量两两的夹角均为，且，.若向量满足，，则的最大值是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 第 Ⅱ 卷 （非选择题部分，共110分）‎ 注意事项：‎ 用钢笔或签字笔将试题卷上的题目做在答题卷上，做在试题卷上的无效.‎ 二.填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)‎ ‎11.古希腊著名数学家毕达格拉斯发现：数量为的石子，可以排成三角形（如图），我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，第个“三角形数”是，则第5个“三角形数”是 ▲ ，前6个“三角形数”的和是 ▲ .‎ ‎ ‎ ‎12.已知展开式中第三项的二项式系数是，则 ▲ ，展开式中最大的系数是 ▲ .‎ ‎13.已知函数的最小正周期是，则 ▲ ，单调递增区间是 ▲ .‎ 13‎ 第15题图 ‎14.已知直线被圆所截得的弦长为4，且与圆心为的圆相切，则 ▲ ；圆的半径长是 ▲ .‎ ‎15.已知三棱柱的所有棱长均为，侧棱底面，‎ 若分别是线段，的中点，则异面直线与所成角 的余弦值是 ▲ .‎ ‎16.一个口袋中有3个红球，3个白球，2个黑球，现从中任取3个球，‎ 记取出的球的颜色有种，则 ▲ .‎ ‎17.若实数满足，则的最小值是 ▲ .‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18. (本小题满分14分）‎ 在锐角中，角所对的边分别是，.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围.‎ ‎19.（本小题满分15分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，侧面底面，，分别为，的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ 13‎ ‎（Ⅱ）当时，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.（本小题满分15分）‎ 已知正项数列的前项和为，且，.‎ ‎（Ⅰ）求，的值，并写出数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：.‎ ‎21.（本小题满分15分）‎ 已知椭圆，抛物线的焦点是，且动点在其准线上.‎ ‎（Ⅰ）当点在椭圆上时，求的值；‎ ‎（Ⅱ）如图，过点的直线与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，且 是线段的中点，过点的直线交抛物线于两点.若，求的斜率的取值范围.‎ ‎22.（本小题满分15分）‎ 13‎ 已知函数，（）.‎ ‎（Ⅰ）求的值域；‎ ‎（Ⅱ）当时，函数有三个不同的零点，求实数的最小值；‎ ‎（Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围.‎ 13‎ 衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷 高三数学卷参考答案（2020.11） ‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 A B A D B D B D C C 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.‎ ‎11. 12. ‎ ‎ 13. 14. ‎ ‎ 15. 16. 17. ‎ 三、解答题 ‎18.在锐角中，角所对的边分别是，已知 ‎.‎ ‎（Ⅰ）求角的值；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围.‎ 解：（1）由已知得，---------------------------2分 所以,---------------------------------------4分 所以，所以；--------------------------------------6分 ‎（2）‎ 13‎ ‎---------------------------------------------8分 ‎，-------------------------------------------------------10分 因为是锐角三角形，所以，--------------------------12分 ‎，所以---------------13分 所以----------------------------------------------14分 ‎19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，侧面底面，，分别为，的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）当，求直线与平面所成角的正弦值 解：（1）取的中点，连结，,--------------2分 ‎ 由已知，且,‎ ‎ 所以四边形是平行四边形，-----------------------3分 ‎ 所以，又平面，平面------------------6分 所以平面；-----------------------------7分 ‎（Ⅱ）解法一：取的中点，连结，‎ ‎∵，，‎ 又侧面底面，∴平面，‎ ‎∴‎ 又∵，‎ ‎∴平面，------------------------------------------9分 ‎∴‎ 又，∴．--------------------11分 13‎ 过点作于点，连结，由平面平面知， 平面，所以是直线与平面所成角．-----------13分 又，，所以，‎ 即直线与平面所成角为．------------15分 解法二：取的中点，连结，‎ ‎∵，，‎ 又侧面底面，∴平面，‎ ‎∴‎ 又∵，‎ ‎∴平面，------------------------9分 ‎∴‎ 又，∴．----------------------11分 以为原点，射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，， ‎ 则，又平面的法向量为，-------------------13分 设直线与平面所成角为，则，‎ 所以直线与平面所成角为．---------------------------------------------------15分 ‎20.已知正项数列的前项和为，且，.‎ ‎（Ⅰ）求，的值，并写出数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：当时，.‎ 解（1）当时，，即 ‎，，，解得，------------------------------------4分 13‎ 由，可得 即 ‎，‎ 又 是首项为，公差为的等差数列，‎ ‎.----------------------------------------------------------7分 ‎（2）由（1）得，‎ 当时，,-------------------------9分 将上式对从1到求和，得，-------------12分 注意到：--------------------14分 将上式对从1到求和，‎ 得--------------15分 所以.‎ 经验证，当时，上式也成立.‎ ‎21.已知椭圆，抛物线的焦点是，点在的准线上.‎ ‎（Ⅰ）当在椭圆上时，求的值；‎ ‎（Ⅱ）如图，过点的直线与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，且 ‎ 是的中点，过点的直线交抛物线于两点.若，求的斜率的 取值范围.‎ 13‎ 解：（1）由已知，；------------------------------------------------2分 ‎ 因为在椭圆上，所以，所以---------------------4分 ‎ 所以；------------------------------------------------------------6分 ‎（2）设，，‎ ‎，‎ 因为是的中点，所以，且，‎ 所以，--------（1）且-------（2）----------------------------------------------8分 由消去得，‎ 则，------（3）且，------------------10分 由消去得，‎ 所以，----------------------------------------------------------------------------12分 因为，所以，即，‎ 所以，----------（4）-----------------------------------------------------14分 由（1）（2）（3）解得，‎ 由（4）得，即，所以或.----------------------------------15分 13‎ ‎22.已知函数，（）．‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）设，若当时，有三个不同的零点，求的最小值；‎ ‎（Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围．‎ 解：（1）∵，由得，--------------------2分 ‎∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，-----------4分 ‎∴函数的值域是；----------------------------5分 ‎（2），∴，‎ 当时，，单调递增 又，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴，∴在上单调递增，不合题意.-------------------------7分 当时，由，得，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ ‎∵，‎ ‎∴若，则在区间上存在，当时，，当时，，当时，‎ ‎∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时函数有且只有一个零点．-------------------------------------9分 当时，存在，使得，‎ 13‎ ‎∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，从而要使有三个零点，必有，‎ ‎∴，即，∴，‎ 又∵，令，则 ‎∵当时，，∴在区间单调递增，‎ ‎∴，即．-------------------------------------------11分 ‎（3），‎ ‎∴，---------------------13分 令，则，令，则，∵，∴，在上单调递增，∴，于是在上单调递增，‎ 又由（1）知当时，恒成立，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴的取值范围是．--------------------------15分 13‎