福建省厦门外国语学校2020届高三下学期高考最后一次模拟数学（理）试题 4页

1 厦门外国语学校 2020届高三高考模拟考试 数学（理）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页。 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡 和试卷规定的位置上。 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需 改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上 要求作答的答案无效。 第Ⅰ卷 （选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1. 复数 22 (1 ) 1 i i    的共轭复数是 （ ） A. 1 3i B. 1 3i C. 1 3i  D. 1 3i  2. 已知集合  2 2 0,A x x x x R    ，  2 2 4, ,B x x y x R y R     ，则 A B  （ ） A.  2,0 B.  2,0 C.  0,2 D.  0 2， 3．“ ln lnx y ”是“ 1 1 3 2 x y             ”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取 30 名 学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的 频数分布表如表： 设得分的中位数为 em ，众数为 0m ，平均数为 x ，则（ ） A. 0em m x  B. 0em m x  C. 0em m x  D. 0 em m x  5. 已知不等式 2 0 1 x ax    的解集为 ( 2, 1)  ，则二项式 6 2 1 ax x       展开式的常数项是 （ ） A． 15 B．15 C． 5 D．5 6．函数   2e 2xf x x x   的图象大致为 （ ） A B C D 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 10 6 3 2 2 2 O x y 1 1 O x y 1 1 y 1 O 1 xO x y 1 1 2 7．已知C 是以 AB 为直径的半圆弧上的动点，O为圆心，P 为OC 中点，若 4AB  ，则  PA PB PC   A．2 B．1 C． 2 D．4 （ ） 8．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类： 可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由 9位同学组成四个宣传小组，其中可回收 物宣传小组有 3位同学，其余三个宣传小组各有 2位同学．现从这 9位同学中选派 5人到某小区进行宣 传活动，则每个宣传小组至少选派 1人的概率为 ( ) A． 2 7 B． 3 7 C． 8 21 D． 10 21 9．已知函数 （ ），若函数 的图象与直线 在 上 有 3 个不同的交点，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 10．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，过点 D 作直线 l 与异面直线 AC 和 1BC 所成角均为 ，则 的最小值为 A 15 B 30 C 45 D 60 （ ） 11. 已知正项数列 na 中，  2 2 2 1 2 1 1 1 1 1, 2,2 2 ,n n n n n n a a a a a n b a a           ，记数列  nb 的 前n 项和为 nS ，则 33S 的值是 （ ） A． 99 B． 33 C．4 2 D．3 12．数学有许多形状优美、寓意美好的曲线，如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为   3 2 2 2 2x y x y  ． 给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为 1 4 ；③曲线C 第一 象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为 1 8 ；④四叶草面积小于 4  ． 其中，所有正确结论的序号是 （ ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22—23 题为 选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分． 13.已知 nS 是等差数列 na 的前n 项和，若 5 45 10S a  ，则数列 na 的公差为 ． 14. 已知双曲线 2 2 2 2 1 x y a b   ( 0, 0)a b  的左右顶点分别为 A， B ，点 P 是双曲线上一点，若 PAB△ 为 等腰三角形， 120PAB  ，则双曲线的离心率为_____.    sin sin cosf x x x x    0  f x 1y   0,  1 3 , 2 4       1 5 , 2 4       5 3 , 4 2       5 5 , 4 2       3 15. 中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相 补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成 另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理，解决下面问题：已知函数 ( )f x 满 足 (4 ) ( )f x f x  ，且当 [0,2]x 时的解析式为 2 2 log (2 ),0 1, ( ) log ,1 2 x x f x x x         ，则函数 (y f x ） 在 [0,4]x 时的图像与直线 1y   围成封闭图形的面积是_____ 16.已知长方体 1 1 1 1ABCD A B C D ， 3 2 AB  ， 2AD  ， 1 2 3AA  ，已知 P是矩形 ABCD内一动点， 1PA 与平面 ABCD所成角为 3  ，设 P点形成的轨迹长度为 ，则 tan  _________； 当 1C P的长度最短时，三棱锥 1D DPC 的外接球的表面积为_____________. 三、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在 ABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2 2 cosa c b C  . （1）求证：三内角 A， B ，C 成等差数列； （2）若 3b  ，求 ABC 的周长的最大值. 18. 已知椭圆 的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆 与直线 3 2 4x y  相切于点 1 ( 3, ) 2 A . （1）求椭圆方程； （2）已知点 ,M N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，，记 AP AQ   ，求 的取值范围. 19．四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是边长为 2 的菱形，侧面 PAD底面 ABCD， 60BCD  ， 2PA PD  ， E 是 BC 中点，点Q 在侧棱 PC 上． （1）若Q 是 PC 中点, 求二面角 E DQ C  的余弦值； （2）是否存在Q ,使 / /PA 平面 DEQ？若存在，求出 PQ PC 的值； 若不存在，说明理由． C C Q E A B D C P 4 20. 当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招 对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开 展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.某地区 2019 年初中 毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、 1 分钟跳绳三项测试，三项考试满分为 50 分，其中立定跳远 15 分， 掷实心球 15 分，1 分钟跳绳 20 分.某学校在初三上期开始时要掌握 全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了 100 名学生进行测试， 得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如下表： 每分钟跳绳个数  165,175  175,185  185,195  195,205  205,215 得分 16 17 18 19 20 （1）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 33 分的概率； （2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 X 服从正态分布  2,N   ，用样本数据的平均值和方差估计 总体的期望和方差（结果四舍五入到整数），已知样本方差 2 77.8S  （各组数据用中点值代替）.根据 往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设 明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 10 个，利用现所得正态分布模型： （ⅰ）预估全年级恰好有 1000 名学生，正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数.（结果四舍五入到整数） （ⅱ）若在该地区 2020 年所有初三毕业生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 202 个以上的人数为 ， 求随机变量 的分布列和期望. 附：若随机变量 X 服从正态分布  2,N   ， 77.8 9   ，则   0.6826P X        ，  2 2 0.9544P X        ，  3 3 0.9974P X        21. 已知函数   1xf x e ax   ． （1）讨论  f x 的单调性； （2）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  3 3,C x y ，  1 2 3x x x  是曲线  y f x 上任意三点， 求证：        2 1 3 1 2 1 3 1 f x f x f x f x x x x x      请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂 黑，按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。 22．以平面直角坐标系的原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为  sin4 ，将曲线 C1绕极点逆时针旋转 3 2 后得到曲线 C2． （1）求曲线 C2的极坐标方程； （2）若直线 )(: Rl   与 C1，C2分别相交于异于极点的 A，B两点，求 AB 的最大值. 23.已知函数   1f x x  . （1）求不等式   4 2 3f x x   的解集； （2）若正数m 、 n满足 2m n mn  ，求证：    2 8f m f n   .