2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第五章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算 16页

www.ks5u.com 第1节　平面向量的概念及线性运算 考试要求　1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.‎ 知 识 梳 理 ‎1.向量的有关概念 ‎(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).‎ ‎(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.‎ ‎(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.‎ ‎(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.‎ ‎(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.‎ ‎(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.‎ ‎2.向量的线性运算 向量 运算 定　义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量 和的运算 ‎(1)交换律：‎ a＋b＝b＋a.‎ ‎(2)结合律：‎ ‎(a＋b)＋c＝‎ a＋(b＋c)‎ 减法 减去一个向 量相当于加 上这个向量 的相反向量 a－b＝a＋(－b)‎ 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎(1)|λa|＝|λ||a|；‎ ‎(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0‎ λ(μa)＝λμa；‎ ‎(λ＋μ)a＝λa＋μa；‎ λ(a＋b)＝λa＋λb ‎3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.‎ ‎2.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).‎ ‎3.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.‎ ‎4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.(　　)‎ ‎(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)‎ ‎(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(　　)‎ ‎(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(　　)‎ 解析　(2)若b＝0，则a与c不一定平行.‎ ‎(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2.(老教材必修4P78T6改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等.则所有正确命题的序号是(　　)‎ A.① B.③ C.①③ D.①②‎ 解析　根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误.‎ 答案　A ‎3.(老教材必修4P92T5改编)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)‎ A. B.2 C.3 D.4 解析　＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.‎ 答案　D ‎4.(2020·长沙检测)若四边形ABCD满足＝且||＝||，则四边形ABCD的形状是(　　)‎ A.等腰梯形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 解析　因为＝，所以∥，且||＝||，所以四边形ABCD为以AD为上底，BC为下底的梯形.又||＝||，所以梯形ABCD的两腰相等.因此四边形ABCD是等腰梯形.‎ 答案　A ‎5.(2019·西安调研)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.‎ 解析　由已知2a－b≠0，依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，因为a，b是两个不共线向量，故a与b均不为零向量，所以解得k＝，λ＝－.‎ 答案　－ ‎6.(2020·昆明诊断)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.‎ 解析　＝＋＝＋ ‎＝＋(＋)＝－＋，‎ ‎∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.‎ 答案　 考点一　平面向量的概念 ‎【例1】 (1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是(　　)‎ A.a＝2b B.a∥b C.a＝－b D.a⊥b ‎(2)给出下列命题：‎ ‎①若a＝b，b＝c，则a＝c；‎ ‎②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；‎ ‎③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.‎ 其中正确命题的序号是________.‎ 解析　(1)由＋＝0得＝－≠0，即a＝－·|a|≠0，则a与b共线且方向相反，因此当向量a与向量b共线且方向相反时，能使＋＝0成立.对照各个选项可知，选项A中a与b的方向相同；选项B中a与b共线，方向相同或相反；选项C中a与b的方向相反；选项D中a与b互相垂直，因此选C.‎ ‎(2)①正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，‎ 又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，‎ ‎∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.‎ ‎②正确.∵＝，∴||＝||且∥，‎ 又A，B，C，D是不共线的四点，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形；‎ 反之，若四边形ABCD为平行四边形，‎ 则∥且||＝||，因此，＝.‎ ‎③不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件.‎ 答案　(1)C　(2)①②‎ 规律方法　向量有关概念的四个关注点：‎ ‎(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的；‎ 非零向量的平行具有传递性；‎ 相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；‎ 相等向量具有传递性.‎ ‎(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大小.‎ ‎(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈.‎ ‎(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.‎ ‎【训练1】 (1)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　)‎ A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ ‎(2)给出下列说法：‎ ‎①非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件；‎ ‎②若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上；‎ ‎③a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向；‎ ‎④设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线.‎ 其中错误说法的序号是________.‎ 解析　(1)根据相等向量的定义，分析可得与不平行，与不平行，所以＝，＝均错误，与平行，但方向相反也不相等，只有与方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以＝.‎ ‎(2)根据向量的有关概念可知①②③正确，对于④，当λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，故④错误.‎ 答案　(1)D　(2)④‎ 考点二　向量的线性运算　多维探究 角度1　平面向量的加、减运算的几何意义 ‎【例2－1】 已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是(　　)‎ A.a∥b B.a⊥b C.|a|＝|b| D.a＋b＝a－b 解析　由已知a，b不共线，在▱ABCD中，设＝a，＝b，由|a＋b|＝|a－b|，知||＝||，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.‎ 答案　B 规律方法　解题的关键：一是搞清各向量间的关系，找出问题对应的几何图形，二是熟练运用向量的加、减法法则和运算律以及几何意义求解.‎ 角度2　向量的线性运算 ‎【例2－2】 (2019·衡水中学五调)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝(　　)‎ A.－＋ B.＋ C.－ D.－ 解析　＝－，＝＋.‎ ‎∵E为BC的中点，F为AE的中点，‎ ‎∴＝，＝，‎ ‎∴＝－＝－＝(＋)－ ‎＝＋－，‎ 又＝，∴＝－.故选D.‎ 答案　D 规律方法　1.解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.‎ ‎2.在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.‎ 角度3　利用向量的线性运算求参数 ‎【例2－3】 (2019·荆门阶段检测)在△AOB中，＝，D为OB的中点，若＝λ＋μ，则λμ的值为________.‎ 解析　因为＝，所以＝(－)，‎ 因为D为OB的中点，所以＝，‎ 所以＝＋＝－＋(＋)‎ ‎＝－＋＋(－)＝－，‎ 所以λ＝，μ＝－，则λμ的值为－.‎ 答案　－ 规律方法　利用向量线性运算求解参数的思路：(1)先利用向量的线性运算得到相关的线性表示，(2)对比向量等式求出参数或建立方程(组)求解.‎ ‎【训练2】 (1)(角度2)(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)‎ A.－ B.－ C.＋ D.＋ ‎(2)(角度3)(2020·河北质检)在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－2μ＝(　　)‎ A.－ B.－1 C. D.－ 解析　(1)∵E是AD的中点，∴＝－，‎ ‎∴＝＋＝－＋，‎ 又知D是BC的中点，‎ ‎∴＝(＋)，‎ 因此＝－(＋)＋＝－.‎ ‎(2)如图，连BO并延长交AC于点M，‎ ‎∵点O为△ABC的重心，‎ ‎∴M为AC的中点，‎ ‎∴＝＝ ‎＝－＋＝－＋(－)‎ ‎＝－＋，‎ 又知＝λ＋μ，∴λ＝－，μ＝，‎ ‎∴λ－2μ＝－－2×＝－，故选D.‎ 答案　(1)A　(2)D 考点三　共线向量定理及其应用 ‎【例3】 设两向量a与b不共线.‎ ‎(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.‎ ‎(1)证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).‎ ‎∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴，共线，又它们有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线.‎ ‎(2)解　∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，‎ 使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，‎ ‎∴(k－λ)a＝(λk－1)b.‎ ‎∵a，b是不共线的两个向量，‎ ‎∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.‎ 规律方法　1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.‎ ‎2.向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立.‎ ‎【训练3】 (1)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为(　　)‎ A.λ＋μ＝2 B.λ－μ＝1‎ C.λμ＝－1 D.λμ＝1‎ ‎(2)已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是(　　)‎ A.A，B，C B.A，B，D C.B，C，D D.A，C，D 解析　(1)因为A，B，C三点共线，所以∥，设＝m(m≠0)，则λa＋b＝m(a＋μb)，由于a与b不共线，所以所以λμ＝1.‎ ‎(2)因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，所以与共线，又，有公共点A，所以A，B，D三点共线.‎ 答案　(1)D　(2)B A级　基础巩固 一、选择题 ‎1.已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C满足2＋＝0，则＝(　　)‎ A.2－ B.－＋2 C.－ D.－＋ 解析　依题意，得＝＋＝＋2＝＋2(－)，所以＝2－，故选A.‎ 答案　A ‎2.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)‎ A.0 B. C. D. 解析　由题图知＋＋＝＋＋＝＋＝.‎ 答案　D ‎3.在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析　∵＝，∴＝，‎ ‎∴＝＋＝＋＝＋(－)‎ ‎＝＋＝a＋b，故选B.‎ 答案　B ‎4.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)‎ A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|－λa|≥|a| D.|－λa|≥|λ|·a 解析　对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.‎ 答案　B ‎5.(2020·原创冲刺卷)在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，＝－2，若＝x＋y，则x＋y＝(　　)‎ A.1 B.6 C. D. 解析　因为四边形ABCD是平行四边形，‎ 所以＝，＝，‎ 因为＝－2，所以＝－＝－，‎ 连接AF，在△AEF中，‎ 所以＝＋＝－＋＋ ‎＝－－＋＋＝－，‎ 又因为＝x＋y，‎ 所以x＝，y＝－，所以x＋y＝.‎ 答案　C ‎6.(2019·长沙月考)已知M为△ABC内一点，＝＋，则△ABM和△ABC的面积之比为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　设＝，＝，以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC于F，则EF∥AB，且AE＝AC，∴＝＝.故选A.‎ 答案　A ‎7.(一题多解)(2020·郑州质检)若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 解析　法一(特殊点法)‎ 取点O在点C处，则＝0，(－)·(＋－2)＝0可化为(－)·(＋)＝2－2＝0，即2＝2，所以||＝||，又三角形中是否有直角不确定，所以△ABC为等腰三角形，故选A.‎ 法二(向量的加减法运算)‎ 因为(－)·(＋－2)＝0，所以·(＋)＝0，所以边AB的中线垂直于AB，即△ABC为等腰三角形，又三角形中是否有直角不确定，故选A.‎ 答案　A ‎8.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　设＝y，因为＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).‎ 因为＝3，∴＝3y，0<3y<1，‎ 点O在线段CD上(与点C，D不重合)，‎ 所以y∈，因为＝x＋(1－x)，‎ 所以x＝－y，所以x∈.‎ 答案　D 二、填空题 ‎9.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有________个.‎ 解析　根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量相等的向量有，，，共3个.‎ 答案　3‎ ‎10.已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________________条件(选填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”).‎ 解析　若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q.‎ 若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算法则知a与b同向共线，即a＝λb，且λ>0，故qp.‎ 所以p是q的充分不必要条件.‎ 答案　充分不必要 ‎11.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.‎ 解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解得λ＝μ＝.‎ 答案　 ‎12.已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.‎ 解析　依题意得＝－＝(＋)－＝－＋＋，因此x＋y＋z＝－1＋＋＝0.‎ 答案　0‎ B级　能力提升 ‎13.(2019·孝感二模)设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　因为D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，所以＋2＋3＝(＋)＋2×(＋)＋3××(＋)＝＋＋＋＋＋＝＋＋＝＋＝.‎ 答案　D ‎14.(一题多解)(2020·滁州模拟)已知A1，A2，A3为平面上三个不共线的定点，平面上点M满足＝λ(＋)(λ是实数)，且＋＋是单位向量，则这样的点M有(　　)‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 解析　法一　由题意得，＝－λ(＋)，＝＋ ，＝＋，∴＋＋＝(1－3λ)(＋)，如图所示，设D为A2A3的中点，∴(1－3λ)(＋)是与共起点且共线的一个向量，显然直线A1D与以A1为圆心的单位圆有两个交点，故λ有两个值，即符合题意的点M有两个，故选C.‎ 法二　以A1为原点建立平面直角坐标系，‎ 设A2(a，b)，A3(m，n)，则＋＝(a＋m，b＋n)，‎ ‎∴M(λ(a＋m)，λ(b＋n))，‎ ‎∴＝(－λ(a＋m)，－λ(b＋n))，‎ ＝(a－λ(a＋m)，b－λ(b＋n))，‎ ＝(m－λ(a＋m)，n－λ(b＋n))，‎ ‎∴＋＋＝((1－3λ)(a＋m)，(1－3λ)(b＋n)).‎ ‎∵＋＋是单位向量，‎ ‎∴(1－3λ)2[(a＋m)2＋(b＋n)2]＝1，‎ ‎∵A1，A2，A3是平面上三个不共线的定点，‎ ‎∴(a＋m)2＋(b＋n)2>0，所以关于λ的方程有两解，‎ 故满足条件的M有两个，故选C.‎ 答案　C ‎15.(2020·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________.‎ 解析　由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得＝λ.‎ 又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，‎ 所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)‎ ‎＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，‎ 所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，‎ 又e1与e2不共线，‎ 所以解得k＝－.‎ 答案　－ ‎16.(一题多解)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.‎ 解析　法一　由＝λ＋μ，‎ 得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，‎ 则＋＋＝0，‎ 得＋＋＝0，‎ 得＋＝0.‎ 又因为，不共线，‎ 所以由平面向量基本定理得 解得所以λ＋μ＝.‎ 法二　连接MN并延长交AB的延长线于T，‎ 由已知易得AB＝AT，‎ ‎∴＝＝λ＋μ，‎ 即＝λ＋μ，‎ ‎∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝1.‎ ‎∴λ＋μ＝.‎ 答案　 C级　创新猜想 ‎17.(开放题)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝BC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N，若＝m，＝n，则＋＝________，若BD＝kBC，写出类似的结论为________________(答案不唯一).‎ 解析　因为M，N，D三点共线，‎ 所以＝λ＋(1－λ)，‎ 又＝m，＝n，‎ 所以＝λm＋(1－λ)n，‎ 又＝，‎ 所以＝＋＝＋＝＋，‎ 所以λm＝，(1－λ)n＝，故＋＝3.‎ 若BD＝kBC，‎ 则＝＋＝＋k＝(1－k)＋k，‎ 故λm＝1－k，(1－λ)n＝k，所以λ＝，1－λ＝，‎ 故＋＝1.‎ 答案　3　＋＝1(答案不唯一)‎