浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第3节空间点直线平面之间的位置关系课件 36页

第 3 节　空间点、直线、平面之间的位置关系 考试要求　 1. 理解空间直线、平面位置关系的定义； 2. 了解可以作为推理依据的公理和定理； 3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 . 知 识 梳 理 1 . 平面的基本性质 (1) 公理 1 ：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内 . (2) 公理 2 ：过 的三点，有且只有一个平面 . (3) 公理 3 ：如果两个不重合的平面有 公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 . 两点 不在同一条直线上 一个 2 . 空间点、直线、平面之间的位置关系   直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a ∥ b a ∥ α α ∥ β 相交关系 图形语言 符号语言 a ∩ b ＝ A a ∩ α ＝ A α ∩ β ＝ l 独有关系 图形语言   符号语言 a ， b 是异面直线 a ⊂ α   3. 平行公理 ( 公理 4) 和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线 . 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 . 4 . 异面直线所成的角 (1) 定义：设 a ， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a ′ ∥ a ， b ′ ∥ b ，把 a ′ 与 b ′ 所成的 叫做异面直线 a 与 b 所成的角 ( 或夹角 ). 互相平行 相等或互补 锐角 ( 或直角 ) [ 常用结论与易错提醒 ] 1. 异面直线易误解为 “ 分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线 ” ，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交 . 2. 直线与平面的位置关系在判断时最易忽视 “ 线在面内 ”. 3. 两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角 . 诊 断 自 测 1. 判断下列说法的正误 . (1) 两个平面 α ， β 有一个公共点 A ，就说 α ， β 相交于过 A 点的任意一条直线 .( 　　 ) (2) 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 .( 　　 ) (3) 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 .( 　　 ) (4) 若直线 a 不平行于平面 α ，且 a ⊄ α ，则 α 内的所有直线与 a 异面 .( 　　 ) 解析　 (1) 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误 . (3) 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误 . (4) 由于 a 不平行于平面 α ，且 a ⊄ α ，则 a 与平面 α 相交，故平面 α 内有与 a 相交的直线，故错误 . 答案　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) × 2. ( 必修 2P52B1(2) 改编 ) 如图所示，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别是 AB ， AD 的中点，则异面直线 B 1 C 与 EF 所成的角的大小为 ( 　　 ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析 　连接 B 1 D 1 ， D 1 C ，则 B 1 D 1 ∥ EF ，故 ∠ D 1 B 1 C 为所求的角 . 又 B 1 D 1 ＝ B 1 C ＝ D 1 C ， ∴∠ D 1 B 1 C ＝ 60°. 答案 　 C 3. 在下列命题中，不是公理的是 ( 　　 ) A. 平行于同一个平面的两个平面相互平行 B. 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析 　选项 A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的 . 答案 　 A 4. 已知直线 a ， b 分别在两个不同的平面 α ， β 内，则 “ 直线 a 和直线 b 相交 ” 是 “ 平面 α 和平面 β 相交 ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 解析 　由题意知 a ⊂ α ， b ⊂ β ，若 a ， b 相交，则 a ， b 有公共点，从而 α ， β 有公共点，可得出 α ， β 相交；反之，若 α ， β 相交，则 a ， b 的位置关系可能为平行、相交或异面 . 因此 “ 直线 a 和直线 b 相交 ” 是 “ 平面 α 和平面 β 相交 ” 的充分不必要条件 . 答案 　 A 5. 若直线 a ⊥ b ，且直线 a ∥ 平面 α ，则直线 b 与平面 α 的位置关系是 ________. 答案 　 b 与 α 相交或 b ∥ α 或 b ⊂ α 6. 如图所示，平面 α ， β ， γ 两两相交， a ， b ， c 为三条交线，且 a ∥ b ，则 a 与 c 的位置关系是 ________ ； b 与 c 的位置关系是 ________. 答案　 a ∥ c 　 b ∥ c 考点一　平面的基本性质及应用 【例 1 】 如图所示，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别是 AB ， AA 1 的中点 . 求证： (1) E ， C ， D 1 ， F 四点共面； (2) CE ， D 1 F ， DA 三线共点 . 证明　 (1) 如图，连接 EF ， CD 1 ， A 1 B . ∵ E ， F 分别是 AB ， AA 1 的中点 ， ∴ EF ∥ A 1 B . 又 A 1 B ∥ CD 1 ， ∴ EF ∥ CD 1 ， ∴ E ， C ， D 1 ， F 四点共面 . (2) ∵ EF ∥ CD 1 ， EF < CD 1 ， ∴ CE 与 D 1 F 必相交，设交点为 P ， 则由 P ∈ CE ， CE ⊂ 平面 ABCD ，得 P ∈ 平面 ABCD . 同理 P ∈ 平面 ADD 1 A 1 . 又平面 ABCD ∩ 平面 ADD 1 A 1 ＝ DA ， ∴ P ∈ 直线 DA . ∴ CE ， D 1 F ， DA 三线共点 . 规律方法 　 (1) 证明线共面或点共面的常用方法 ① 直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面 . ② 纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内 . ③ 辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后证明平面 α ， β 重合 . (2) 证明点共线问题的常用方法 ① 基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 . ② 纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上 . (1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2) C ， D ， F ， E 四点是否共面？为什么？ ∴ 四边形 BCHG 为平行四边形 . ∴ 四边形 BEFG 为平行四边形， ∴ EF ∥ BG . 又 D ∈ FH ， ∴ C ， D ， F ， E 四点共面 . 考点二　判断空间两直线的位置关系 【例 2 】 (1) ( 一题多解 ) 若直线 l 1 和 l 2 是异面直线， l 1 在平面 α 内， l 2 在平面 β 内， l 是平面 α 与平面 β 的交线，则下列命题正确的是 ( 　　 ) A. l 与 l 1 ， l 2 都不相交 B. l 与 l 1 ， l 2 都相交 C. l 至多与 l 1 ， l 2 中的一条相交 D. l 至少与 l 1 ， l 2 中的一条相交 (2) 如图， G ， H ， M ， N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH ， MN 是异面直线的图形有 ________( 填上所有正确答案的序号 ). 解析 　 (1) 法一 　由于 l 与直线 l 1 ， l 2 分别共面，故直线 l 与 l 1 ， l 2 要么都不相交，要么至少与 l 1 ， l 2 中的一条相交 . 若 l ∥ l 1 ， l ∥ l 2 ，则 l 1 ∥ l 2 ，这与 l 1 ， l 2 是异面直线矛盾 . 故 l 至少与 l 1 ， l 2 中的一条相交 . 法二 　如图 1 ， l 1 与 l 2 是异面直线， l 1 与 l 平行， l 2 与 l 相交，故 A ， B 不正确；如图 2 ， l 1 与 l 2 是异面直线， l 1 ， l 2 都与 l 相交，故 C 不正确 . (2) 在图 ① 中，直线 GH ∥ MN ； 在图 ② 中， G ， H ， N 三点共面，但 M ∉ 平面 GHN ， N ∉ GH ，因此直线 GH 与 MN 异面； 在图 ③ 中，连接 GM ， GM ∥ HN ，因此 GH 与 MN 共面； 在图 ④ 中， G ， M ， N 共面，但 H ∉ 平面 GMN ， G ∉ MN ， 因此 GH 与 MN 异面 . 所以在图 ②④ 中 GH 与 MN 异面 . 答案 　 (1)D 　 (2) ②④ 规律方法　 (1) 异面直线的判定方法 ① 反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面 . ② 定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线 . (2) 点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系 . 【训练 2 】 (1) 如图，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， M ， N 分别是 BC 1 ， CD 1 的中点，则下列判断错误的是 ( 　　 ) A. MN 与 CC 1 垂直 B. MN 与 AC 垂直 C. MN 与 BD 平行 D. MN 与 A 1 B 1 平行 (2) 已知 a ， b ， c 表示不同的直线， M 表示平面，给出四个命题： ① 若 a ∥ M ， b ∥ M ，则 a ∥ b 或 a ， b 相交或 a ， b 异面； ② 若 b ⊂ M ， a ∥ b ，则 a ∥ M ； ③ 若 a ⊥ c ， b ⊥ c ，则 a ∥ b ； ④ 若 a ⊥ M ， b ⊥ M ，则 a ∥ b . 其中正确的为 ( 　　 ) A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ①② 解析 　 (1) 如图，连接 C 1 D ， 在 △ C 1 DB 中， MN ∥ BD ，故 C 正确； ∵ CC 1 ⊥ 平面 ABCD ， BD ⊂ 平面 ABCD ， ∴ CC 1 ⊥ BD ， ∴ MN ⊥ CC 1 ，故 A 正确； ∵ AC ⊥ BD ， MN ∥ BD ， ∴ MN ⊥ AC ，故 B 正确； ∵ A 1 B 1 与 BD 异面， MN ∥ BD ， ∴ MN 与 A 1 B 1 不可能平行，故选项 D 错误 . (2) 对于 ① ，当 a ∥ M ， b ∥ M 时，则 a 与 b 平行、相交或异面， ① 为真命题 . ② 中， b ⊂ M ， a ∥ b ，则 a ∥ M 或 a ⊂ M ， ② 为假命题 . 命题 ③ 中， a 与 b 相交、平行或异面， ③ 为假命题 . 由线面垂直的性质，命题 ④ 为真命题，所以 ① ， ④ 为真命题 . 答案 　 (1)D 　 (2)A 考点三　异面直线所成的角 (2) 根据平面与平面平行的性质，将 m ， n 所成的角转化为平面 CB 1 D 1 与平面 ABCD 的交线及平面 CB 1 D 1 与平面 ABB 1 A 1 的交线所成的角 . 设平面 CB 1 D 1 ∩ 平面 ABCD ＝ m 1 . ∵ 平面 α ∥ 平面 CB 1 D 1 ， ∴ m 1 ∥ m . 又平面 ABCD ∥ 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 ， 且平面 CB 1 D 1 ∩ 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 ＝ B 1 D 1 ， ∴ B 1 D 1 ∥ m 1 ， ∴ B 1 D 1 ∥ m . ∵ 平面 ABB 1 A 1 ∥ 平面 DCC 1 D 1 ， 且平面 CB 1 D 1 ∩ 平面 DCC 1 D 1 ＝ CD 1 ，同理可证 CD 1 ∥ n . 因此直线 m 与 n 所成的角即直线 B 1 D 1 与 CD 1 所成的角 . 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， △ CB 1 D 1 是正三角形， 答案　 (1)60° 　 (2)A 规律方法　 (1) 求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点 ( 线段的端点或中点 ) 作平行线平移；补形平移 . (2) 求异面直线所成角的三个步骤 ① 作：通过作平行线，得到相交直线的夹角 . ② 证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角 . ③ 求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 . (2) 法一 　 以 B 为原点，建立如图 (1) 所示的空间直角坐标系 . 图 (1) 图 (2) 则 B (0 ， 0 ， 0) ， B 1 (0 ， 0 ， 1) ， C 1 (1 ， 0 ， 1). 法二　 如图 (2) ，设 M ， N ， P 分别为 AB ， BB 1 ， B 1 C 1 中点，则 PN ∥ BC 1 ， MN ∥ AB 1 ， ∴ AB 1 与 BC 1 所成的角是 ∠ MNP 或其补角 . ∵ AB ＝ 2 ， BC ＝ CC 1 ＝ 1 ，