高中数学第一章解三角形1-1正弦定理和余弦定理第3课时正余弦定理的综合应用达标检测含解析新人教A版必修5 5页

正、余弦定理的综合应用 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．已知三角形的三边长分别是a，b，，则此三角形中最大的角是(　　)‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ 解析：因为＞a, ＞b，‎ 所以最大边是，‎ 设其所对的角为θ，则 cos θ＝＝－，‎ 所以θ＝120°.‎ 答案：C ‎2．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　)‎ A．2 B．2 C. D．1‎ 解析：由＝，得＝，‎ 所以＝，‎ 故cos A＝，‎ 因为A∈(0，π)，所以A＝，‎ 所以B＝，C＝，c＝＝＝2.‎ 答案：B ‎3．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6.则·的值为(　　)‎ A．19 B．14 C．－18 D．－19‎ 解析：由余弦定理的推论知：‎ cos B＝＝.‎ 所以·＝||·||·cos(π－B)＝7×5×＝－19.‎ 答案：D - 5 -‎ ‎4．锐角三角形ABC中，sin A和cos B的大小关系是(　　)‎ A．sin A＝cos B B．sin A＜cos B C．sin A＞cos B D．不能确定 解析：在锐角三角形ABC中，A＋B＞90°.‎ 所以A＞90°－B，‎ 所以sin A＞sin (90°－B)＝cos B.‎ 答案：C ‎5．在△ABC中，b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：a2＝b2＋c2－2bccos A＝82＋32－2×8×3×＝49，‎ 所以a＝7，所以2R＝＝＝，‎ 所以R＝，所以S＝π＝π.‎ 答案：D 二、填空题 ‎6．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________．‎ 答案： ‎7．在△ABC中，AB＝，D为BC的中点，AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积S△ABC＝________．‎ 解析：因为AB＝，AD＝1，∠BAD＝30°，‎ 所以S△ABD＝··1·sin 30°＝，‎ 又D是BC边中点，‎ 所以S△ABC＝2SABD＝.‎ 答案： ‎8．(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________．‎ 解析：本小题考查正弦定理、余弦定理．‎ - 5 -‎ 由＝得sin B＝sin A＝，‎ 由a2＝b2＋c2－2bccos A，得c2－2c－3＝0，‎ 解得c＝3(舍负)．‎ 答案：　3‎ 三、解答题 ‎9．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos C·(acos C＋ccos A)＋b＝0.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若b＝2，c＝2，求△ABC的面积．‎ 解：(1)由正弦定理可得2cos C(sin Acos C＋sin Ccos A)＋sin B＝0，‎ 所以2cos Csin(A＋C)＋sin B＝0，即2cos Csin B＋sin B＝0，‎ 又00，所以a＝2.‎ 所以S△ABC＝absin C＝，所以△ABC的面积为.‎ ‎10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2－cos 2A＝.‎ ‎(1)求A的度数；‎ ‎(2)若a＝，b＋c＝3，求b和c的值．‎ 解：(1)由4sin2－cos 2A＝及A＋B＋C＝180°，‎ 得2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝⇒4(1＋cos A)－4cos2 A＝5，‎ 即4cos2 A－4cos A＋1＝0，‎ 所以(2cos A－1)2＝0，解得cos A＝.‎ 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.‎ ‎(2)由余弦定理，得cos A＝.‎ 因为cos A＝，所以＝，‎ 化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc，‎ 将a＝，b＋c＝3代入上式，得bc＝2.‎ 则由解得或 - 5 -‎ B级　能力提升 ‎1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ 答案：A ‎2．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．‎ 解析：如图所示，延长BA，CD交于点E，则可知在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，所以设AD＝x，AE＝x，DE＝x，CD＝m，因为BC＝2，‎ 所以·sin 15°＝1⇒x＋m＝＋，所以0＜x＜4，而AB＝x＋m－x＝x＋m＝ ＋－x，所以AB的取值范围是(－，＋)．‎ 答案：(－，＋)‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ 解：(1)由已知及正弦定理得：‎ ‎2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，‎ 即2cos Csin(A＋B)＝sin C.‎ 故2sin Ccos C＝sin C.‎ 可得cos C＝，所以C＝.‎ ‎(2)由已知，absin C＝.‎ - 5 -‎ 又C＝，所以ab＝6.‎ 由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7.‎ 故a2＋b2＝13，从而＝25.‎ 所以△ABC的周长为5＋.‎ - 5 -‎