2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 8.4.1 平 面 11页

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1 平 面 学习目标 1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质 的三个基本事实.3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系. 知识点一 平面 1.平面的概念 几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来 的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的. 2.平面的画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，它的锐角通常画成 45°，且横边长等于其 邻边长的 2 倍，如图①. 如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画 出来，如图②. 3.平面的表示法 图①的平面可表示为平面α、平面 ABCD、平面 AC 或平面 BD. 思考 几何中的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？ 答案 没有 平行四边形 知识点二 点、线、面之间的位置关系 1.直线在平面内的概念 如果直线 l 上的所有点都在平面α内，就说直线 l 在平面α内，或者说平面α经过直线 l. 2.一些文字语言与符号语言的对应关系： 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点 A 在直线 l 上 A∈l 点 A 在直线 l 外 A∉l 点 A 在平面α内 A∈α 点 A 在平面α外 A∉α 直线 l 在平面α内 l⊂α 直线 l 在平面α外 l⊄α 直线 l，m 相交于点 A l∩m＝A 平面α，β相交于直线 l α∩β＝l 知识点三 平面的基本性质及作用 1. 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实 1 过不在一条直线 上的三个点，有 且只有一个平面 A，B，C 三点 不共线⇒存在 唯一的平面α 使 A，B，C∈α 一是确定平面；二 是证明点、线共面 问题；三是判断两 个平面重合的依据 基本事实 2 如果一条直线上 的两个点在一个 平面内，那么这 条直线在这个平 面内 A∈l，B∈l， 且 A∈α，B∈α ⇒l⊂α 既可判定直线和点 是否在平面内，又 能说明平面是无限 延展的 基本事实 3 如果两个不重合 的平面有一个公 共点，那么它们 有且只有一条过 该点的公共直线 P∈α且 P∈β ⇒α∩β＝l，且 P∈l ①判定两平面相交 的依据 ②判定点在直线上 2.利用基本事实 1 和基本事实 2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 1.两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.( × ) 2.两个平面α，β有一个公共点 A，就说α，β相交于 A 点，记作α∩β＝A.( × ) 3.空间不同三点确定一个平面.( × ) 4.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( √ ) 一、图形语言、文字语言、符号语言的相互转换 例 1 (1)若点 A 在直线 b 上，b 在平面β内，则点 A，直线 b，平面β之间的关系用符号可以 记作________________. 答案 A∈b，b⊂β，A∈β (2)用符号表示下列语句，并画出图形. ①点 A 在平面α内但在平面β外； ②直线 a 经过平面α内一点 A，α外一点 B； ③直线 a 在平面α内，也在平面β内. 解 ①A∈α，A∉β.(如图①) ②A∈a，B∈a，A∈α，B∉α，a⊄α.(如图②) ③α∩β＝a.(如图③) 反思感悟 三种语言转换方法：用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形 有几个平面，几条直线及相互之间的位置关系，试着用文字语言表示，再用符号语言表示. 跟踪训练 1 用符号表示下列语句，并画出图形. (1)平面α与β相交于直线 l，直线 a 与α，β分别相交于点 A，B. (2)点 A，B 在平面α内，直线 a 与平面α交于点 C，点 C 不在直线 AB 上. 解 (1)用符号表示α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图. (2)用符号表示 A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图. 二、点、线共面问题 例 2 如图，已知 a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α. 证明 因为 PQ∥a，所以 PQ 与 a 确定一个平面β，所以直线 a⊂β，点 P∈β.因为 P∈b，b ⊂α，所以 P∈α.又因为 a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以 PQ⊂α. 反思感悟 证明点、线共面问题的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”. (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重 合，即用“同一法”. 跟踪训练 2 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线 l1，l2，l3 在同一平面内. 证明 方法一 (纳入法) ∵l1∩l2＝A，∴l1 和 l2 确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证 C∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线 l1，l2，l3 在同一平面内. 方法二 (同一法) ∵l1∩l2＝A，∴l1 和 l2 确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3 确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证 B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点 A，B，C 既在平面α内，又在平面β内， ∴平面α和β重合，即直线 l1，l2，l3 在同一平面内. 证明点共线、线共点问题 典例 (1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AB⊂α，CD⊂ β.求证：AB，CD，l 共点. 证明 ∵在梯形 ABCD 中， AD∥BC， ∴AB 与 CD 必交于一点， 设 AB 交 CD 于 M. 则 M∈AB，M∈CD， 又∵AB⊂α，CD⊂β， ∴M∈α，M∈β， 又∵α∩β＝l， ∴M∈l， ∴AB，CD，l 共点. (2)如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB∥CD，直线 AB，BC，AD，DC 分别与平面α相交于 点 E，G，H，F. 求证：E，F，G，H 四点必定共线. 证明 ∵AB∥CD， ∴AB，CD 确定一个平面β， ∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α， ∴E∈β， ∴E 在α与β的交线 l 上. 同理，F，G，H 也在α与β的交线 l 上， ∴E，F，G，H 四点必定共线. [素养提升] 点共线与线共点的证明方法 (1)点共线：证明多点共线通常用基本事实 3，即两相交平面交线的唯一性.通过证明点分别 在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其 他点也在其上. (2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线， 然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线， 证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点. 1.有以下说法： ①平面是处处平的面； ②平面是无限延展的； ③平面的形状是平行四边形； ④一个平面的厚度可以是 0.001 cm. 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种 说法是错误的. 2.如果点 A 在直线 a 上，而直线 a 在平面α内，点 B 在平面α内，则可以表示为( ) A.A⊂a，a⊂α，B∈α B.A∈a，a⊂α，B∈α C.A⊂a，a∈α，B⊂α D.A∈a，a∈α，B∈α 答案 B 解析 点 A 在直线 a 上，而直线 a 在平面α内，点 B 在平面α内，表示为 A∈a，a⊂α，B∈α. 3.下图中图形的画法正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 4.能确定一个平面的条件是( ) A.空间三个点 B.一个点和一条直线 C.无数个点 D.两条相交直线 答案 D 解析 A 项，三个点可能共线，B 项，点可能在直线上，C 项，无数个点也可能在同一条直 线上. 5.如图，已知 D，E 是△ABC 的边 AC，BC 上的点，平面α经过 D，E 两点，若直线 AB 与平 面α的交点是 P，则点 P 与直线 DE 的位置关系是________. 答案 P∈直线 DE 解析 因为 P∈AB，AB⊂平面 ABC，所以 P∈平面 ABC. 又 P∈α，平面 ABC∩平面α＝DE，所以 P∈直线 DE. 1.知识清单： (1)平面的概念. (2)点、线、面之间的位置关系. (3)平面的基本性质及作用. 2.方法归纳：同一法. 3.常见误区：三种语言的转化. 1.下列有关平面的说法正确的是( ) A.平行四边形是一个平面 B.任何一个平面图形都是一个平面 C.平静的太平洋面就是一个平面 D.圆和平行四边形都可以表示平面 答案 D 解析 我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故 A 项不正确； 平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故 B 项不正确；太 平洋面是有边界的，不是无限延展的，故 C 项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平 面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故 D 项正确. 2.(多选)下列命题中错误的是( ) A.空间三点可以确定一个平面 B.三角形一定是平面图形 C.若 A，B，C，D 既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合 D.四条边都相等的四边形是平面图形 答案 ACD 解析 共线的三点不能确定一个平面，故 A 错误；当 A，B，C，D 四点共线时，这两个平 面可以是相交的，故 C 错误；四边都相等的四边形可以是空间四边形，故 D 错误. 3.若一直线 a 在平面α内，则正确的作图是( ) 答案 A 解析 B 中直线 a 不应超出平面α；C 中直线 a 不在平面α内；D 中直线 a 与平面α相交. 4.如图，用符号语言可表述为( ) A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 答案 A 解析 很明显，α与β交于 m，n 在α内，m 与 n 交于 A. 5.如果直线 a⊂平面α，直线 b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( ) A.l⊂α B.l⊄α C.l∩α＝M D.l∩α＝N 答案 A 解析 ∵M∈a，a⊂α，∴M∈α， 又∵N∈b，b⊂α，∴N∈α， 又 M，N∈l，∴l⊂α. 6.如图所示的图形可用符号表示为________. 答案 α∩β＝AB 7.A，B，C 为空间三点，经过这三点的平面有________个. 答案 1 或无数 解析 当 A，B，C 不共线时，有一个平面经过三点； 当 A，B，C 共线时，有无数个平面经过这三点. 8.用符号表示“点 A 在直线 l 上，l 在平面α外”为________. 答案 A∈l，l⊄α 9.若直线 l 与平面α相交于点 O，A，B∈l，C，D∈α，且 AC∥BD，求证：O，C，D 三点共 线. 证明 ∵AC∥BD， ∴AC 与 BD 确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线 CD. ∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB，AB⊂β， ∴O∈β， ∴O∈直线 CD， ∴O，C，D 三点共线. 10.已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：a，b，c 和 l 共面. 证明 如图，∵a∥b， ∴a 与 b 确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l ⊂ α. ∵b∥c，∴b 与 c 确定一个平面β，同理 l ⊂ β. ∵平面α与β都包含 l 和 b，且 b∩l＝B， 由推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面， ∴平面α与平面β重合，∴a，b，c 和 l 共面. 11.空间不共线的四点可以确定平面的个数是( ) A.0 B.1 C.1 或 4 D.无法确定 答案 C 解析 若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点可以确定平面 的个数为 1；若任意三点均不共线，则可以确定平面的个数是 4，所以空间不共线的四点可 以确定平面的个数是 1 或 4. 12.如果空间四点 A，B，C，D 不共面，那么下列判断中正确的是( ) A.A，B，C，D 四点中必有三点共线 B.A，B，C，D 四点中不存在三点共线 C.直线 AB 与 CD 相交 D.直线 AB 与 CD 平行 答案 B 解析 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面. 13.设平面α与平面β相交于 l，直线 a⊂α，直线 b⊂β，a∩b＝M，则 M________l. 答案 ∈ 解析 ∵a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，∴M∈α，M∈β. 又∵α∩β＝l，∴M∈l. 14.空间 5 点，其中有 4 点共面，它们没有任何 3 点共线，这 5 个点最多可以确定________ 个平面. 答案 7 解析 可以想象四棱锥的 5 个顶点，它们总共确定 7 个平面. 15.在空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取点 E，F，G，H，若 EF 与 HG 交 于点 M，则( ) A.M 一定在直线 AC 上 B.M 一定在直线 BD 上 C.M 可能在直线 AC 上，也可能在直线 BD 上 D.M 不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上 答案 A 解析 由题意得 EF 在平面 ABC 内，HG 在平面 ACD 内，EF 与 HG 交于点 M，∴M 一定落 在平面 ABC 与平面 ACD 的交线 AC 上. 16.如图，在直角梯形 ABDC 中，AB∥CD，AB>CD，S 是直角梯形 ABDC 所在平面外一点， 画出平面 SBD 和平面 SAC 的交线. 解 很明显，点 S 是平面 SBD 和平面 SAC 的一个公共点，即点 S 在交线上. 由于 AB>CD，则分别延长 AC 和 BD 交于点 E，如图所示， ∵E∈AC，AC⊂平面 SAC， ∴E∈平面 SAC. 同理，可证 E∈平面 SBD. ∴点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上，则连接 SE，直线 SE 就是平面 SBD 和平面 SAC 的交线.