高中数学（人教版a版必修三）配套课时作业：第三章 概率 §3.2 习题课 6页

§3.2 习题课 课时目标 进一步理解古典概型的概念，学会判断古典概型．并会运用古典概型解决有 关的生活实际问题． 1．集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝{0,1,2,3,4}，点 P 的坐标为(m，n)，m∈A，n∈B，则点 P 在 直线 x＋y＝6 上方的概率为( ) A. 8 25 B. 7 25 C.1 5 D. 6 25 2．下列试验中，是古典概型的是( ) A．放飞一只信鸽观察它是否能够飞回 B．从奇数中抽取小于 10 的正奇数 C．抛掷一枚骰子，出现 1 点或 2 点 D．某人开车路过十字路口，恰遇红灯 3．袋中有 2 个白球，2 个黑球，从中任意摸出 2 个，则至少摸出 1 个黑球的概率是( ) A.3 4 B.5 6 C.1 6 D.1 3 4．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们 12 个月大的婴儿拼排 3 块分别写有“20”，“08”和“北 京”的字块，如果婴儿能够排成“2008 北京”或者“北京 2008”，则他们就给婴儿奖励， 假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是( ) A.1 6 B.1 4 C.1 3 D.1 2 5．下列试验中，是古典概型的有( ) A．种下一粒种子观察它是否发芽 B．连续抛一枚骰子，直到上面出现 6 点 C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶 6．从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构 成三角形的概率是________． 一、选择题 1．用 1、2、3 组成无重复数字的三位数，这些数能被 2 整除的概率是( ) A.1 5 B.1 4 C.1 3 D.3 5 2．某城市有相连接的 8 个商场 A、B、C、D、E、F、G、H 和市中心 O 排成如图所示的 格局，其中每个小方格为正方形，某人从网格中随机地选择一条最短路径，欲从商场 A 前往 H，则他经过市中心 O 的概率为( ) A.2 3 B.1 3 C.3 4 D.1 2 3．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回的抽取三次，球的颜色全相同的 概率是( ) A. 2 27 B.1 9 C.2 9 D. 1 27 4．某汽车站每天均有 3 辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天某人准备在该汽 车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的发车情况．为了尽可能乘上上等车，他采用 如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好，则上第二辆，否则上第三辆．那么 他乘上上等车的概率是( ) A.1 2 B.1 3 C.1 5 D.2 3 5．2010 年世博会在中国举行，建馆工程有 6 家企业参与竞标，其中 A 企业来自陕西省， B，C 两家企业来自天津市，D、E、F 三家企业来自北京市，现有一个工程需要两家企业 联合建设，假设每家企业中标的概率相同，则在中标企业中，至少有 1 家来自北京市的 概率是( ) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 6．在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球，这些小球除标注的数字外完全 相同．现从中随机取出 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是( ) A. 1 12 B. 1 10 C.1 5 D. 3 10 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多 12 人，从这些教师中随机挑选一人 表演节目．若选到男教师的概率为 9 20 ，则参加联欢会的教师共有________人． 8．在集合{x|x＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足 log2x 为整数的概率 是________． 9．现有 5 根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为________． 三、解答题 10．把一个骰子抛 1 次，设正面出现的点数为 x. (1)求出 x 的可能取值情况(即全体基本事件)； (2)下列事件由哪些基本事件组成(用 x 的取值回答)? ①x 的取值是 2 的倍数(记为事件 A)． ②x 的取值大于 3(记为事件 B)． ③x 的取值不超过 2(记为事件 C)． (3)判断上述事件是否为古典概型，并求其概率． 11．某商场举行抽奖活动，从装有编号 0,1,2,3 四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回， 连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于 5 中一等奖，等于 4 中二等奖，等于 3 中三等奖． (1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率． 能力提升 12．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1,2,3,4.从袋中随机抽取 一个球，将其编号记为 a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为 b.求关于 x 的一元二次方程 x2＋2ax＋b2＝0 有实根的概率． 13．班级联欢时，主持人拟出如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定 3 个男生 和 2 个女生来参与，把 5 个人分别编号为 1,2,3,4,5，其中 1,2,3 号是男生，4,5 号是女生， 将每个人的号分别写在 5 张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机 地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出 2 人来表演双人舞，连续抽取 2 张卡片，求取出的 2 人不全是男生的概率； (2)为了选出 2 人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分 混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率． 在建立概率模型时，把什么看作一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．因此，我 们必须选择恰当的观察角度，把问题转化为不同的古典概型(基本事件满足有限性和等可 能性)来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果越少，问题的解决就变得越简单． 答案： §3.2 习题课 双基演练 1．D [点 P 在直线 x＋y＝6 上方，即指点 P 的坐标中的点满足 m＋n>6，(m，n)的坐标 可以是(3,4)，(4,3)，(4,4)，(5,2)，(5,3)，(5,4)共 6 种情况，所以点 P 在直线 x＋y＝6 上方 的概率为 6 5×5 ＝ 6 25.] 2．C [由于试验次数为一次，并且出现 1 点或 2 点的概率是等可能的，故选 C.] 3．B [该试验中会出现(白 1，白 2)，(白 1，黑 1)，(白 1，黑 2)，(白 2，黑 1)，(白 2， 黑 2)和(黑 1，黑 2)共 6 种等可能的结果，所以属于古典概型．事件“至少摸出 1 个黑球” 所含有的基本事件为(白 1，黑 1)，(白 1，黑 2)，(白 2，黑 1)，(白 2，黑 2)和(黑 1，黑 2) 共 5 种，据古典概型概率公式，得事件“至少摸出 1 个黑球”的概率是5 6.] 4．C [3 块字块共能拼排成以下 6 种情形： 2008 北京，20 北京 08，北京 2008，北京 0820,08 北京 20,0820 北京，即共有 6 个基本事 件．其中这个婴儿能得到奖励的基本事件有 2 个： 2008 北京，北京 2008，故婴儿能得到奖励的概率为 P＝2 6 ＝1 3.] 5．C [判断一个试验是否为古典概型的关键为：①对每次试验来说，只可能出现有限个 试验结果；②对于试验中所有的不同试验结果而言，它们出现的可能性相等．] 6.3 4 解析 从四条线段中任取三条的所有可能结果有 4 种，其中任取三条能构成三角形的可 能有 2,3,4；2,4,5；3,4,5 三种，因此所求概率为3 4. 作业设计 1．C 2．A [此人从小区 B 前往 H 的所有最短路径有 A→B→C→E→H，A→B→O→E→H， A→B→O→G→H，A→D→O→E→H， A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共 6 条，其中经过市中心 O 的有 4 条路径，所以 其概率为2 3.] 3．B [有放回地取球三次，假设第一次取红球共有如下所示 9 种取法． 同理，第一次取黄球，绿球分别也有 9 种情况，共计 27 种．而三次颜色全相同，共有 3 种 情况，故颜色全相同的概率为 3 27 ＝1 9.] 4．A [基本事件空间中包括以下六个基本事件： 第一辆为上等车，若第二辆为中等车，则乘上下等车；若第二辆为下等车，则乘上中等 车． 第一辆为中等车，若第二辆为上等车，则乘上上等车，若第二辆为下等车，则乘第三辆 车，亦乘上上等车． 第一辆为下等车，若第二辆为上等车，则乘上上等车，若第二辆为中等车，则乘不上上 等车． 所以，他乘上上等车的概率 P＝3 6 ＝1 2.] 5．D [从这 6 家企业中选出 2 家的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)， (B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F) 共有 15 种．其中，在中标的企业中没有来自北京市的选法有：(A，B)，(A，C)，(B，C) 共 3 种．所以“在中标的企业中，没有来自北京市”的概率为 3 15 ＝1 5.所以“在中标的企业 中，至少有一家来自北京市”的概率为 1－1 5 ＝4 5.] 6．D [由袋中随机取出 2 个小球的基本事件总数为 10，取出小球标注数字和为 3 的事件 为 1,2.取出小球标注数字和为 6 的事件为 1,5 或 2,4.∴取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率为 P＝1＋2 10 ＝ 3 10.] 7．120 解析 设男教师有 n 人，则女教师有(n＋12)人． 由已知从这些教师中选一人，选到男教师的概率 P＝ n 2n＋12 ＝ 9 20 ，得 n＝54， 故参加联欢会的教师共有 120 人． 8.2 5 解析 当 x＝1,2,4,8 时，log2x 分别为整数 0,1,2,3.又因总体共有 10 个，其概率为 4 10 ＝2 5. 9．0.2 解析 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根竹竿共有 10 种抽取方法，而抽取的两根竹竿长度 恰好相差 0.3 m 的情况是 2.5 和 2.8,2.6 和 2.9 两种， ∴概率 P＝ 2 10 ＝0.2. 10．解 (1)根据古典概型的定义进行判断得，x 的可能取值情况为：1,2,3,4,5,6； (2)事件 A 为 2,4,6；事件 B 为 4,5,6，事件 C 为 1,2， (3)由题意可知①②③均是古典概型． 其中 P(A)＝3 6 ＝1 2 ； P(B)＝3 6 ＝1 2 ； P(C)＝2 6 ＝1 3. 11．解 设“中三等奖”的事件为 A，“中奖”的事件为 B，从四个小球中有放回的取两 个共有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)， (3,1)，(3,2)，(3,3)16 种不同的方法． (1)两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种： (0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,0)． 故 P(A)＝ 4 16 ＝1 4. (2)由(1)知，两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种． 两个小球号码相加之和等于 4 的取法有 3 种：(1,3)，(2,2)，(3,1)， 两个小球号码相加之和等于 5 的取法有 2 种：(2,3)，(3,2)， P(B)＝ 4 16 ＋ 3 16 ＋ 2 16 ＝ 9 16. 12．解 设事件 A 为“方程 x2＋2ax＋b2＝0 有实根”． 当 a>0，b>0 时，方程 x2＋2ax＋b2＝0 有实根的充要条件为 a≥b. 基本事件共 12 个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)， (4,3)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值． 事件 A 中包含 6 个基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)， 事件 B 发生的概率为 P(A)＝ 6 12 ＝1 2. 13．解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取 2 张卡片的所有可能结果(如下图所示)． 由上图可以看出，试验的所有可能结果数为 20，因为每次都随机抽取，所以这 20 种结果 出现的可能性是相同的，试验属于古典概型． 用 A1 表示事件“连续抽取 2 人一男一女”，A2 表示事件“连续抽取 2 人都是女生”，则 A1 与 A2 互斥，并且 A1∪A2 表示事件“连续抽取 2 张卡片，取出的 2 人不全是男生”， 由列出的所有可能结果可以看出，A1 的结果有 12 种，A2 的结果有 2 种，由互斥事件的概 率加法公式，可得 P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝12 20 ＋ 2 20 ＝ 7 10 ＝0.7，即连续抽取 2 张卡片， 取出的 2 人不全是男生的概率为 0.7. (2)有放回地连续抽取 2 张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能 性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出 2 号， 第二次取出 4 号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出. 第二次抽取 第一次抽取 1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 试验的所有可能结果数为 25，并且这 25 种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概 型． 用 A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A 的结果共有 5 种， 因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率 P(A)＝ 5 25 ＝1 5 ＝0.2.