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- 2021-06-16 发布
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湖南省新田县第一中学高中数学 第一章 1.2.1 几个常用函数的导
数练习 新人教 B 版选修 2-2
班级___________ 姓名___________学号___________
1.已知 f(x)=x2,则 f′(3) ( ).
A.0 B.2x C.6 D.9
2.f(x)=0 的导数为 ( ).
A.0 B.1 C.不存在 D.不确定
3.曲线 y=xn 在 x=2 处的导数为 12,则 n 等于 ( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
4.设 f0(x)=sin x,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则 f2010(x)
= ( ).
A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x
5.下列结论
①(sin x)′=-cos x;②
1
x ′=1
x2; ③(log3x)′= 1
3ln x
; ④(ln x)′=1
x
.
其中正确的有 ( ).
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
6.设函数 y=f(x)是一次函数,已知 f(0)=1,f(1)=-3,则 f′(x)=________.
7.函数 f(x)= x x x的导数是________.
8.曲线 y=9
x
在点 M(3,3)处的切线方程是________.
9.在曲线 y=x3+x-1 上求一点 P,使过 P 点的切线与直线 y=4x-7 平行.
10.已知 f(x)=cos x,g (x)=x,求适合 f′(x)+g′(x)≤0 的 x 的值.
11.求下列函数的导数:
(1)y=log4x3-log4x2; (2)y=2x2+1
x
-2x;
(3)y=-2sinx
2
(2sin2x
4
-1).
1.已知 f(x)=x2,则 f′(3) ( ).
A.0 B.2x C.6 D.9
解析 ∵f(x)=x2,∴f′(x)=2x,∴f′(3)=6.
答案 C
2.f(x)=0 的导数为
( ).
A.0 B.1 C.不存在 D.不确定
解析 常数函数导数为 0.
答案 A
3.曲线 y=xn 在 x=2 处的导数为 12,则 n 等于
( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 对 y=xn 进行求导,得 n·2n-1=12,代入验证可得
n=3.
答案 C
4.设函数 y=f(x)是一次函数,已知 f(0)=1,f(1)=-3,则 f′(x)=________.
解析 设 f(x)=ax+b,由 f(0)=1,f(1)=-3,可知 a=-4,b=1,∴f(x)=-4x
+1,∴f′(x)=-4.
答案 -4
5.函数 f(x)= x x x的导数是________.
6.在曲线 y=x3+x-1 上求一点 P,使过 P 点的切线与直线 y=4x-7 平行.
解 ∵y′=3x2+1.
∴3x2
0+1=4,∴x0=±1.
当 x0=1 时,y0=1,此时切线为 y-1=4(x-1)
即 y=4x-3 与 y=4x-7 平行.
∴点为 P(1,1),
当 x0=-1 时,y0=-3,
此时切线 y=4x+1 也满足条件.
∴点也可为 P(-1,-3),
综上可知点 P 坐标为(1,1)或(-1,-3).
综合提高 限时 25 分钟
7.设 f0(x)=sin x,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则 f2010(x)
=
( ).
A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x
解析 f0(x)=sin x,f1(x)=f0′(x)=cos x,f2(x)=f1′(x)=-sin x,f3(x)=f2′(x)
=-cos x,f4(x)=f3′(x)=sin x,….由此继续求导下去,发现四个一循环,从 0 到
2 010 共 2 011 个数,2 011=4×502+3,所以 f2 010(x)=f2(x)=-sin x.
答案 B
8.下列结论
①(sin x)′=-cos x;②
1
x ′=1
x2;
③(log3x)′= 1
3ln x
;④(ln x)′=1
x
.
其中正确的有
( ).
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
解析 在①中(sin x)′=cos x,在②中
1
x ′=-1
x2,在③中(log3x)′= 1
xln 3
,④正
确.
答案 B
9.曲线 y=
4
x3在点 Q(16,8)处的切线的斜率是________.
答案 3
8
10.曲线 y=9
x
在点 M(3,3)处的切线方程是________.
解析 ∵y′=-9
x2,∴y′|x=3=-1,∴过点(3,3)的斜率为-1 的切线方程为:y-3=
-(x-3)即 x+y-6=0.
答案 x+y-6=0
11.已知 f(x)=cos x,g(x)=x,求适合 f′(x)+g′(x)≤0 的 x 的值.
解 ∵f(x)=cos x,g(x)=x,
∴f′(x)=(cos x)′=-sin x,g′(x)=x′=1,
由 f′(x)+g′(x)≤0,得-sin x+1≤0,
即 sin x≥1,但 sin x∈[-1,1],
∴sin x=1,∴x=2kπ+π
2
,k∈Z.
12.(创新拓展)求下列函数的导数:
(1)y=log4x3-log4x2;
(2)y=2x2+1
x
-2x;
(3)y=-2sinx
2
(2sin2x
4
-1).
解 (1)∵y=log4x3-log4x2=log4x,
∴y′=(log4x)′= 1
xln 4
.
(2)∵y=2x2+1
x
-2x=2x2+1-2x2
x
=1
x
.
∴y′=(1
x
)′=-1
x2.
(3)∵y=-2sinx
2
(2sin2x
4
-1)=2sinx
2
(1-2sin2x
4
)
=2sinx
2
cosx
2
=sinx.
∴y′=(sin x)′=cos x.
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