2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 11页

6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法 则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律， 并能作图解释向量加法运算律的合理性. 知识点一 向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则 向量求和 的法则 三角形法则 已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作AB→＝a，BC→＝ b，则向量AC→叫做 a 与 b 的和，记作 a＋b，即 a＋b＝AB→＋ BC→＝AC→ . 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量 a，规定 a＋0＝0＋a＝a 平行四边形 法则 以同一点 O为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作▱OACB， 则以 O为起点的对角线OC→就是 a 与 b 的和.把这种作两个 向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行 四边形法则的物理模型. 思考 |a＋b|与|a|，|b|有什么关系？ 答案 (1)当向量 a 与 b 不共线时，a＋b 的方向与 a，b 不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.(2)当 a 与 b 同向时，a＋b，a，b 同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当 a 与 b 反向时，若|a|>|b|，则 a＋b 的方向 与 a 相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则 a＋b 的方向与 b 相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. 知识点二 向量加法的运算律 向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 1.0＋a＝a＋0＝a.( √ ) 2.AB→＋BC→＝AC→ .( √ ) 3.AB→＋BA→＝0.( √ ) 4.AB→＋BC→>AC→ .( × ) 5.|AB→ |＋|BC→ |＝|AC→ |.( × ) 一、向量加法法则 例 1 (1)如图①所示，求作向量 a＋b. (2)如图②所示，求作向量 a＋b＋c. 解 (1)首先作向量OA→＝a，然后作向量AB→＝b，则向量OB→＝a＋b.如图③所示. (2)方法一 (三角形法则)如图④所示， 首先在平面内任取一点 O，作向量OA→＝a，再作向量AB→＝b，则得向量OB→＝a＋b，然后作向 量BC→＝c，则向量OC→＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c 即为所求. 方法二 (平行四边形法则)如图⑤所示， 首先在平面内任取一点 O，作向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c， 以 OA，OB为邻边作▱OADB，连接 OD， 则OD→＝OA→＋OB→＝a＋b. 再以 OD，OC为邻边作▱ODEC，连接 OE， 则OE→＝OD→＋OC→＝a＋b＋c 即为所求. 反思感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形 是平行四边形法则作出 图形的一半平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个 向量求和 跟踪训练 1 如图所示，O为正六边形 ABCDEF的中心，化简下列向量. (1)OA→＋OC→＝________；(2)BC→＋FE→＝________；(3)OA→＋FE→＝________. 答案 (1)OB→ (2)AD→ (3)0 解析 (1)因为四边形 OABC是以 OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故OA→＋OC→ ＝OB→ . (2)因为BC→＝FE→，故BC→＋FE→与BC→方向相同，长度为BC→的长度的 2倍，故BC→＋FE→＝AD→ . (3)因为OD→＝FE→，故OA→＋FE→＝OA→＋OD→＝0. 二、向量加法运算律的应用 例 2 化简： (1)BC→＋AB→；(2)DB→＋CD→＋BC→；(3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→. 解 (1)BC→＋AB→＝AB→＋BC→＝AC→ . (2)DB→＋CD→＋BC→＝BC→＋CD→＋DB→ ＝(BC→＋CD→ )＋DB→＝BD→＋DB→＝0. (3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→ ＝AB→＋BC→＋CD→＋DF→＋FA→ ＝AC→＋CD→＋DF→＋FA→ ＝AD→＋DF→＋FA→ ＝AF→＋FA→＝0. 反思感悟 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运 算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照 任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调 整向量相加的顺序. 跟踪训练 2 已知正方形 ABCD的边长等于 1，则|AB→＋AD→＋BC→＋DC→ |＝________. 答案 2 2 解析 |AB→＋AD→＋BC→＋DC→ |＝|AB→＋BC→＋AD→＋DC→ |＝|AC→＋AC→ |＝2|AC→ |＝2 2. 三、向量加法的实际应用 例 3 河水自西向东流动的速度为 10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的 速度为 10 3 km/h，求小船的实际航行速度. 解 设 a，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点 O作OA→＝a，OB→＝ b，以OA→，OB→为邻边作矩形 OACB，连接OC→，如图，则OC→＝a＋b，并且OC→即为小船的实 际航行速度. ∴|OC→ |＝ |a＋b|2＝ |a|2＋|b|2＝20(km/h)， tan∠AOC＝10 3 10 ＝ 3，∴∠AOC＝60°， ∴小船的实际航行速度为 20 km/h，沿北偏东 30°的方向航行. 反思感悟 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量 问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 跟踪训练 3 如图，用两根绳子把重 10 N的物体 W吊在水平杆子 AB上，∠ACW＝150°， ∠BCW＝120°，求 A和 B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计) 解 如图所示，设CE→，CF→分别表示 A，B所受的力，10 N的重力用CG→表示，则CE→＋CF→＝CG→ . 由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°. ∴|CE→ |＝|CG→ |cos 30° ＝10× 3 2 ＝5 3(N)， |CF→ |＝|CG→ |cos 60° ＝10×1 2 ＝5(N). ∴A处所受的力为 5 3 N，B处所受的力为 5 N. 1.化简CB→＋AD→＋BA→等于( ) A.DB→ B.CA→ C.CD→ D.DC→ 答案 C 解析 根据平面向量的加法运算， 得CB→＋AD→＋BA→＝(CB→＋BA→ )＋AD→＝CA→＋AD→＝CD→ . 2.下列等式不正确的是( ) ①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b； ②AB→＋BA→＝0； ③AC→＝DC→＋AB→＋BD→ . A.②③ B.② C.① D.③ 答案 B 解析 ②错误，AB→＋BA→＝0，①③正确. 3.在四边形 ABCD中，AC→＝AB→＋AD→，则( ) A.四边形 ABCD一定是矩形 B.四边形 ABCD一定是菱形 C.四边形 ABCD一定是正方形 D.四边形 ABCD一定是平行四边形 答案 D 解析 由AC→＝AB→＋AD→知，A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形. 4.如图，四边形 ABCD是梯形，AD∥BC，对角线 AC与 BD相交于点 O，则OA→＋BC→＋AB→＋ DO→等于( ) A.CD→ B.DC→ C.DA→ D.DO→ 答案 B 解析 OA→＋BC→＋AB→＋DO→＝DO→＋OA→＋AB→＋BC→＝DA→＋AB→＋BC→＝DB→＋BC→＝DC→ . 5.已知向量 a 表示“向东航行 3 km”，b 表示“向南航行 3 km”，则 a＋b 表示_________. 答案 向东南航行 3 2 km 解析 根据题意由于向量 a 表示“向东航行 3 km”，向量 b 表示“向南航行 3 km”，那么 可知 a＋b 表示向东南航行 3 2 km. 1.知识清单： (1)向量加法的三角形法则. (2)向量加法的平行四边形法则. (3)向量加法的运算律. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移 到共同起点. 1.化简AE→＋EB→＋BC→等于( ) A.AB→ B.BA→ C.0 D.AC→ 答案 D 解析 AE→＋EB→＋BC→＝AB→＋BC→＝AC→ . 2.如图，在正六边形 ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→等于( ) A.0 B.BE→ C.AD→ D.CF→ 答案 D 解析 BA→＋CD→＋EF→＝DE→＋CD→＋EF→＝CE→＋EF→＝CF→ . 3.若正方形 ABCD的边长为 1，则|AB→＋AD→ |等于( ) A.1 B. 2 C.3 D.2 2 答案 B 解析 在正方形 ABCD中，AB＝1，可知 AC＝ 2， 所以|AB→＋AD→ |＝|AC→ |＝AC＝ 2. 4.已知四边形 ABCD为菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB→＋BC→＝CA→ B.AB→＋AC→＝BC→ C.AC→＋BA→＝AD→ D.AC→＋AD→＝DC→ 答案 C 5.(多选)下列说法错误的有( ) A.如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反，那么 a＋b 的方向必与 a 或 b 的方向相同 B.在△ABC中，必有AB→＋BC→＋CA→＝0 C.若AB→＋BC→＋CA→＝0，则 A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D.若 a，b 均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b| 答案 ACD 解析 A错，若 a＋b＝0，则 a＋b 的方向是任意的； B正确；C错，当 A，B，C三点共线时，也满足AB→＋BC→＋CA→＝0；D错，|a＋b|≤|a|＋|b|. 6.已知AB→＝a，BC→＝b，CD→＝c，DE→＝d，AE→＝e，则 a＋b＋c＋d＝________. 答案 e 解析 a＋b＋c＋d＝AB→＋BC→＋CD→＋DE→＝AE→＝e. 7.在菱形 ABCD中，∠BAD＝60°，|AB→ |＝1，则|BC→＋CD→ |＝________. 答案 1 解析 如图，由题意知△ABD为等边三角形， 所以|BC→＋CD→ |＝|BD→ |＝|AB→ |＝1. 8.如图，在平行四边形 ABCD中，O是 AC和 BD的交点. (1)AB→＋AD→＋CD→＝________； (2)AC→＋BA→＋DA→＝________. 答案 (1)AD→ (2)0 9.如图，已知在▱ABCD中，O是两条对角线的交点，E是 CD的一个三等分点(靠近 D点)， 求作： (1)AO→＋AC→；(2)DE→＋BA→ . 解 (1)延长 AC，在延长线上截取 CF＝AO，则向量AF→即为所求. (2)在 AB上取点 G，使 AG＝1 3 AB，则向量BG→即为所求. 10.在静水中船的速度为 20 m/min，水流的速度为 10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水 流的航线到达对岸，求船行进的方向. 解 作出图形，如图所示. 设船速 v 船与岸的方向成α角， 由图可知 v 水＋v 船＝v 实际， 结合已知条件，四边形 ABCD为平行四边形， 在 Rt△ACD中， |CD→ |＝|AB→ |＝|v 水|＝10 m/min， |AD→ |＝|v 船|＝20 m/min， ∴cos α＝ |CD→ | |AD→ | ＝ 10 20 ＝ 1 2 ， ∴α＝60°，从而船行进的方向与水流方向成 120°角. ∴船是沿与水流方向成 120°角的方向行进. 11.在矩形 ABCD中，|AB→ |＝4，|BC→ |＝2，则向量AB→＋AD→＋AC→的长度为( ) A.2 5 B.4 5 C.12 D.6 答案 B 解析 因为AB→＋AD→＝AC→， 所以AB→＋AD→＋AC→的长度为AC→的模的 2倍. 又|AC→ |＝ 42＋22＝2 5， 所以向量AB→＋AD→＋AC→的长度为 4 5. 12.若在△ABC中，AB＝AC＝1，|AB→＋AC→ |＝ 2，则△ABC的形状是( ) A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 答案 D 解析 以 AB，AC为邻边作平行四边形 ABDC，∵AB＝AC＝1，AD＝ 2，∴∠ABD为直角， 该四边形为正方形，∴∠BAC＝90°，△ABC为等腰直角三角形. 13.已知点 G是△ABC的重心，则GA→＋GB→＋GC→＝______. 答案 0 解析 如图所示，连接 AG并延长交 BC于点 E，点 E为 BC的中点，延长 AE到点 D，使 GE＝ED， 则GB→＋GC→＝GD→，GD→＋GA→＝0，∴GA→＋GB→＋GC→＝0. 14.如图所示，已知电线 AO与天花板的夹角为 60°，电线 AO所受拉力|F1|＝24 N，绳 BO与 墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N.则 F1和 F2的合力为________ N. 答案 12 3 解析 如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝OC → . 在△OCA中，|OA→ |＝24， |AC→ |＝12，∠OAC＝60°， ∴∠OCA＝90°，∴|OC→ |＝12 3. ∴F1与 F2的合力大小为 12 3 N，方向为与 F2成 90°角，竖直向上. 15.如图所示，P，Q是△ABC的边 BC上两点，且 BP＝QC.求证：AB→＋AC→＝AP→＋AQ→ . 证明 AB→＝AP→＋PB→，AC→＝AQ→＋QC→， ∴AB→＋AC→＝AP→＋PB→＋AQ→＋QC→ . ∵PB→与QC→大小相等，方向相反， ∴PB→＋QC→＝0， 故AB→＋AC→＝AP→＋AQ→＋0＝AP→＋AQ→ . 16.如图，已知 D，E，F分别为△ABC的三边 BC，AC，AB的中点，求证：AD→＋BE→＋CF→＝ 0. 证明 由题意知，AD→＝AC→＋CD→， BE→＝BC→＋CE→，CF→＝CB→＋BF→ . 由平面几何知识可知，EF→＝CD→，BF→＝FA→， 所以AD→＋BE→＋CF→＝(AC→＋CD→ )＋(BC→＋CE→ )＋(CB→＋BF→ ) ＝(AC→＋CD→＋CE→＋BF→ )＋(BC→＋CB→ ) ＝(AE→＋EC→＋CD→＋CE→＋BF→ )＋0 ＝AE→＋CD→＋BF→＝AE→＋EF→＋FA→＝0.