江苏省2020届高三高考全真模拟（二）数学试题 Word版含解析 26页

www.ks5u.com ‎2020年江苏高考数学全真模拟试卷二（南通教研室）‎ 数学Ⅰ试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：‎ ‎1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题~第20题共20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置．‎ ‎3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符．‎ ‎4．作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答律无效．‎ ‎5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条符号等须加黑、加粗．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1.已知集合，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据补集的定义进行计算，即可得答案；‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查集合的补运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2.已知复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于第________象限．‎ ‎【答案】四 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ 根据复数次幂运算和除法运算，化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案；‎ ‎【详解】，‎ z在复平面内对应的点位于第四象限，‎ 故答案为：四.‎ ‎【点睛】本题考查复数的次幂运算和除法运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎3.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算平均数,再利用方差公式求解即可.‎ ‎【详解】该组数据平均数.‎ 故方差 ‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了方差的计算,属于基础题型.‎ ‎4.已知向量，，则的值为________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量数量积的坐标运算，即可得答案；‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量减法和数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎5.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为________．‎ - 26 -‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据程序语言所表示的当型循环，直接模拟程序运行，即可得答案；‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，输出，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查算法语言的当型循环，考查阅读理解能力，属于基础题.‎ ‎6.在一个不透明的口袋中装有形状、大小都相同的红球和黄球共5个，从中随机取出1个球，该球是红球的概率是．现从中一次随机取出2个球，则这2个球的颜色相同的概率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出红球和白球的个数，再利用古典概型计算概率，即可得答案；‎ ‎【详解】易得：红球2个，白球3个，‎ ‎，‎ - 26 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率计算，求解时注意利用计数原理进行计算，属于基础题.‎ ‎7.已知x，y满足约束条件，则的最大值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出约束条件所表示的可域，再根据目标函数的几何意义为两点连线斜率的最大值，即可得答案；‎ ‎【详解】约束条件所表示的可行域，如图所示：‎ 目标式的几何意义是可行域内的点与点连线的斜率，‎ 由图可知过点（1，1）时，．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查线性约束条件下非线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意目标函数几何意义的运用.‎ ‎8.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图像，若是偶函数，则的最小值为________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的解析式，再利用函数为偶函数，则从而得到的表达式，进而得到其最小值.‎ - 26 -‎ ‎【详解】由题意得，‎ 因为是偶函数，所以，‎ ‎，解得．‎ 因为，所以的最小值为3．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的平移变换及偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎9.已知一个圆柱的高为3cm，体积为，则该圆柱的外接球的表面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆柱的底面半径为，求出圆柱的外接球的直径，再代入球的表面积公式，即可得答案；‎ ‎【详解】设圆柱的底面半径为．由，得（负值舍去），‎ 所以圆柱的外接球的直径为5cm，‎ 故外接球的表面积为．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查圆柱的外接球表面积，考查空间想象能力、运算求解能力.‎ ‎10.已知函数，．若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得函数的值域为函数值域的子集，从而得到关于 - 26 -‎ 的不等式组，解不等式组即可得答案；‎ ‎【详解】‎ 当时，，当且仅当时取等号，所以的取值范围为．‎ 当时，，所以，∴的取值范围为．‎ 由题意知，‎ 所以且，解得．‎ 综上，实数a的取值范围为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查全称量词与存在量词运用、函数值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用子集关系解题.‎ ‎11.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左焦点F作倾斜角为30°的直线，与圆交于点A，B．若，则双曲线C的离心率为________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过双曲线C的左焦点F作倾斜角为30°的直线l的方程为（c为双曲线C的半焦距），易得，再结合，即可得答案；‎ ‎【详解】过双曲线C的左焦点F作倾斜角为30°的直线l的方程为（c - 26 -‎ 为双曲线C的半焦距），由题意知圆心O到直线l的距离为，所以．‎ 因为，所以双曲线C的离心率．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎12.设数列的前n项和为，若1，，成等差数列，则的值为________．‎ ‎【答案】1023‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差中项的性质得，再利用临差法可得，从而得到数列为等比数列，再利用等比数列的前项和公式，即可得答案；‎ 详解】由题意得，所以，解得．‎ 由，得，‎ 两式相减得，即，‎ 所以数列是等比数列．因为，所以，‎ 故．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数列的与的关系、等比数列的通项公式和前项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎13.如图在等腰三角形ABC中，，．若D是 - 26 -‎ 所在平面内一点，且，设，则的最大值为________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，求得点D的轨迹方程，再利用三角函数的有界性，即可得答案；‎ ‎【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，．‎ 由知，所以点D在以BC为直径的圆上．‎ 以BC为直径的圆的方程为，‎ 所以可设，则．‎ 因为，，．‎ 所以解得 - 26 -‎ 所以，‎ 其中，‎ 所以的最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理的坐标运算、参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意辅助角公式和三角函数有界性的运用.‎ ‎14.已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数t的取值范围是________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求的值，再求的值，对分5种情况进行讨论，结合函数图象，即可得答案；‎ ‎【详解】因为在上恒成立，所以在上单减，‎ 令，则．‎ ‎（ⅰ）当时，只有，显然不成立 ‎（ⅱ）当时，，，此时如图：‎ - 26 -‎ 有四个交点，∴满足题意．‎ ‎（ⅲ）当时，如图1，由得，．‎ 由得或，‎ 由且，知．‎ 要使有4个不同的零点，必须由得或，‎ 此时，解得，（舍去），‎ 又在恒成立，‎ 所以在上为增函数，所以．‎ ‎ ‎ ‎（ⅳ）当时，由，，得，此时满足题意．‎ ‎（ⅴ）当时，如图2，由得，．‎ 要使有4个不同的零点，必须，此时，所以．‎ - 26 -‎ 综上，实数t的取值范围是或．‎ ‎【点睛】本题考查分段复合函数的零点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.如图，在四棱锥中，，，E是棱D上一点，，．‎ ‎（1）求证：平面PCD；‎ ‎（2）求证：平面平面PCD．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明，再根据线面平行的判定定理，即可证得结论；‎ ‎（2）证明平面PCD，再利用面面垂直的判定定理，即可证得结论；‎ ‎【详解】（1）在四边形ABCD内，因为，，所以．‎ 又因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD． ‎ ‎（2）因为，，所以．‎ 又因为，CD，平面PCD，，所以平面PCD．‎ 又因为平面ADP，所以平面平面PCD．‎ ‎【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查空间想象能力.‎ ‎16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ - 26 -‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦的二倍角公式化简，可得关于的一元二次方程，即可得答案；‎ ‎（2）利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理求得，进而利用同角三角函数的基本关系求得，最后代入两角和的正弦公式，即可得答案；‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以，故，‎ 解得或．‎ 又因为，所以． ‎ ‎（2）由余弦定理知．‎ 因为，，，所以，即．‎ 由正弦定理知，即．‎ 所以．因为，所以，即B为锐角，故．‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数基本关系、正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎17.某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆、半圆和正方形ABCD组成的，且．设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH，标签的其中两个顶点E，F在AM上，另外两个顶点G，H在CN上（M，N分别是AB，CB的中点）．设EF - 26 -‎ 的中点为P，，矩形EFGH的面积为．‎ ‎（1）写出S关于的函数关系式 ‎（2）当为何值时矩形EFGH的面积最大？‎ ‎【答案】（1），；（2）当为时，矩形EFGH的面积最大，为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知，可得，，利用矩形的面积公式，即可得答案；‎ ‎（2）利用导数可得：当时，恒成立，所以在上单调递增，即可得答案；‎ ‎【详解】（1）由题意知，，，‎ 则，‎ 即，‎ ‎（2）‎ - 26 -‎ ‎．‎ 因为，所以，，所以，‎ 故当时，恒成立，所以在上单调递增．‎ 故当时，．‎ 答：当为时，矩形EFGH的面积最大，为．‎ ‎【点睛】本题考查导数在实际问题中的运用，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的短轴长为2，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆E标准方程；‎ ‎（2）若直线l与椭圆E相切于点P（点P在第一象限内），与圆相交于点A，B，且，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接根据短轴和离心率的值，求出，即可得椭圆的方程；‎ ‎（2）由题意可设直线l的方程为，与椭圆联立并消去y得，根据三角形相似可得，再利用点的坐标标可得的关系，从而得到直线的方程.‎ ‎【详解】（1）设椭圆E的焦距为2c，‎ 则，解得，所以椭圆E的标准方程为． ‎ ‎（2）由题意可设直线l的方程为，‎ 与椭圆联立并消去y得．‎ 因为直线l与椭圆E相切，所以，整理得．‎ 设点P的坐标为，则，．‎ 设直线OP交圆于点C，D，则．‎ 又因为，所以，得，‎ 与联立解得（正值舍去），（负值舍去）‎ - 26 -‎ 所以直线l的方程为．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解、直线方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是利用向量关系得到长度的比例关系.‎ ‎19.已知各项均为正数的两个数列，满足，．且．‎ ‎（1）求证数列为等差数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）设数列，的前n项和分别为，，求使得等式成立的有序数对．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据递推关系可得，从而得到数列是等差数列；‎ ‎（2）分别求出数列的奇数项和偶数项的通项公式，进而整合数列的通项公式；‎ ‎（3）求出，，代入中，则存在，使得，，从而，再证明不成立，从而得到，，．‎ ‎【详解】（1）由得，‎ 即．‎ 因为数列各项均为正数，所以，即，‎ 故数列是公差为1的等差数列． ‎ ‎（2）由（1）及知．‎ 由，得．‎ - 26 -‎ 所以，上面两式相除得，‎ 所以数列的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列．‎ 由及知，所以，，‎ 所以．‎ 综上，数列的通项公式为． ‎ ‎（3）由（1）和（2）知，．‎ 由，得，即．‎ 则必存在，使得，，从而．‎ 若，则，故．‎ 又因为，所以．‎ 这与矛盾，所以．由于，则只能，‎ 此时，．‎ ‎【点睛】本题考查数列递推关系、等差、等比数列基本量运算、及数论的相关知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎20.已知函数，，其中e是自然对数的底数．‎ ‎（1）若曲线在处的切线与曲线也相切．‎ ‎①求实数a的值；‎ ‎②求函数的单调区间；‎ ‎（2）设，求证：当时，恰好有2个零点．‎ ‎【答案】（1）①，②函数的单调减区间为，单调增区间为；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ - 26 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）①利用导数的几何意义求出在处的切线方程，再利用切线与曲线也相切，可求得的值；②由①知，对绝对值内的数进行分类讨论，再利用导数分别研究分段函数的单调性.‎ ‎（2）由，得，令，，当时，，故在上单调递增，再利用零点存在定理证明函数的极小值小于0，及，即证得结论；‎ ‎【详解】（1）①由得，所以切线的斜率．‎ 因为切点坐标为，所以切线的方程为．‎ 设曲线的切点坐标为．‎ 由得，‎ 所以，得．‎ 所以切点坐标为．‎ 因为点也在直线上．所以． ‎ ‎②由①知．‎ 当时，，‎ 因为恒成立，所以在上单调递增．‎ 当时，．‎ 所以．‎ 因为恒成立，所以在上单调递增．‎ - 26 -‎ 注意到，所以当时，；当时，．‎ 所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 综上，函数的单调减区间为，单调增区间为． ‎ ‎（2）由，得．‎ 令，，当时，，‎ 故在上单调递增．‎ 又因为，且，‎ 所以在上有唯一解，从而在上有唯一解．‎ 不妨设为，则．‎ 当时，，所以在上单调递减；‎ 当时，，所以在上单调递增．‎ 故是的唯一极值点．‎ 令，则当时，，所以在上单调递减，‎ 从而当时，，即，‎ 所以，‎ 又因为，所以在上有唯一零点．‎ 又因为在上有唯一零点，为1，‎ 所以在上恰好有2个零点．‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程、导数研究函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.‎ 数学Ⅱ附加题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：‎ ‎1．本试卷共4页，均为非选择题（第21题~第23题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．‎ ‎3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符．‎ ‎4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．‎ ‎5．如需作图须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．‎ 本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚．‎ ‎ [选修4-2：矩阵与变换] ‎ ‎21.换，试写出变换T对应的矩阵A，并求出其逆矩阵．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用，可得方程组，解方程组即可得答案；‎ ‎【详解】由，得，设，‎ 则，‎ - 26 -‎ 所以，解得，所以．‎ ‎【点睛】本题考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力，求解时注意待定系数法的应用.‎ ‎ [选修4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），曲线C的参数方程为（m为参数）．若直线l与曲线C相交于点A，B．求的面积．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将直线的参数方程化为普通方程，再利用直线过定点，得到三角形的面积，求出直线与抛物线交点的纵坐标，即可得答案；‎ ‎【详解】由，消去参数t得，由消去参数m得．‎ 联立方程组，‎ 消去x得，解得或．‎ 因为直线l过定点．‎ 所以的面积．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与抛物线的位置关系、三角形面积求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲] ‎ - 26 -‎ ‎23.已知，且，，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用柯西不等式可得关于的不等式，解不等式可得实数a的取值范围．‎ ‎【详解】因为 所以，解得．‎ 综上，实数a的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查柯西不等式求参数的取值范围，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎24.在直三校柱中，是等直角三角形，，，M是AB的中点，且．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）已知点N在棱上，若平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值为，试确定点N的位置．‎ ‎【答案】（1）；（2）N在棱的中点处．‎ - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用直线垂直向量的数量积为0，可得关于的方程，解方程即可得答案；‎ ‎（2）由（1）知，设，所以，，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量为，再代入向量的夹角公式，即可得答案；‎ ‎【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设．‎ 由得，‎ 则，，，，‎ 所以，．‎ 因为，所以，‎ 解得，即的长为． ‎ ‎（2）由（1）知 设，所以，．‎ 设平面的一个法向量为．‎ 由，得，取．‎ - 26 -‎ 易知平面的一个法向量为，‎ 设平面与平面所成锐二面角的平面角为，‎ ‎．‎ 解得或（舍去）‎ 所以N在棱的中点处．‎ ‎【点睛】本题考查空间中线段的长度、向量法求二面角的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.‎ ‎25.整数，集合，A，B，C是集合P的3个非空子集，记，为所有满足Ü，的有序集合对的个数． ‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得，，，，或，，，，，即可得到的值；‎ ‎（2）当B中的元素个数为时，集合A的种数为，集合C的种数为；当B中的元素个数为n时，集合A的种数为，集合C的种数为，即可得到的值；‎ ‎【详解】（1）当时，集合，非空子集为，，，‎ 因为Ü，，‎ - 26 -‎ 所以当时，，则，，；‎ 当时，，则，，．‎ 综上，． ‎ ‎（2）当B中的元素个数为时，集合A的种数为，集合C的种数为；当B中的元素个数为n时，集合A的种数为，集合C的种数为．‎ 所以 ‎．‎ ‎【点睛】本题考查集合的新定义、二项式定理的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑思维能力、运算求解能力，难度较大.‎ - 26 -‎ - 26 -‎