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- 2021-06-16 发布
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课时训练 7 等差数列
一、等差数列通项公式的应用
1.等差数列{an}中,a2=-5,d=3,则 a5 为( )
A.-4 B.4 C.5 D.6
答案:B
解析:a5=a1+4d=(a1+d)+3d=a2+3d=-5+3×3=4.
2.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则 a101 的值为( )
A.49 B.50 C.51 D.52
答案:D
解析:∵2an+1=2an+1,∴an+1=an+
1
2
.
∴an+1-an=
1
2
.
∴数列{an}是首项为 2,公差为
1
2
的等差数列.
∴a101=a1+(101-1)d=2+
100
2
=52.
3.(2015 福建厦门高二期末,2)已知数列{an}满足 a1=1,an=an-1+3(n≥2),则 a100 等于( )
A.297 B.298 C.299 D.300
答案:B
解析:由 an=an-1+3(n≥2),得 an-an-1=3(n≥2),
即数列{an}是以 3 为公差的等差数列.
又 a1=1,∴a100=1+(100-1)×3=298.
4.若等差数列{an}的公差为整数,首项为 19,从第 6 项开始为负值,则公差为( )
A.-5 B.-4 C.-3 D.-2
答案:B
解析:设等差数列{an}的公差为 d(d∈Z),
依题意得 a6=a1+5d=19+5d<0,
即 d<-
19
5
,a5=a1+4d=19+4d≥0,
即 d≥-
19
4
,所以-
19
4
≤d<-
19
5
,
又 d∈Z,所以 d=-4.
5.等差数列{an}中,a2=5,a4=a6+6,则 a1= .
答案:8
解析:由 a4=a6+6,得 2d=a6-a4=-6,∴d=-3.
又∵a1=a2-d=5-(-3)=8,∴a1=8.
二、等差中项的应用
6.(2015 福建宁德五校联考,1)已知实数 m 是 1 和 5 的等差中项,则 m 等于( )
A.
5
B.±
5
C.3 D.±3
答案:C
解析:因为实数 m 是 1 和 5 的等差中项,
所以 2m=1+5=6,则 m=3.故选 C.
7.已知 m 和 2n 的等差中项是 4,2m 和 n 的等差中项是 5,则 m 和 n 的等差中项是( )
A.2 B.3 C.6 D.9
答案:B
解析:依题意可得 m+2n=8,2m+n=10,故 3m+3n=18
⇒
m+n=6,故 m 和 n 的等差中项是 3.
8.若 lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则 x 的值为 ( )
A.1 B.0 或 32 C.32 D.log25
答案:D
解析:由题意得 lg 2+lg(2x+3)=2lg(2x-1),
所以 2(2x+3)=(2x-1)2,
解得 2x=5 或 2x=-1(舍去),所以 x=log25.
三、等差数列的判断与证明
9.(2015 山东威海高二期中,21)数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1)n(n∈N*).令 bn=a2n,求证{bn}是
等差数列,并求{bn}的通项公式.
解:当 n≥2 时,bn-bn-1=a2n-a2n-2=2,
∴{bn}是等差数列,且 b1=a2=2,
∴bn=2n.
10.已知
1
+ ,
1
+ ,
1
+
成等差数列,求证:a2,b2,c2 成等差数列.
证明:∵
1
+ ,
1
+ ,
1
+
是等差数列,
∴
1
+ +
1
+
2
+
.
∴(a+b)(c+a)+(b+c)(c+a)=2(a+b)(b+c).
∴(c+a)(a+c+2b)=2(a+b)(b+c).
∴2ac+2ab+2bc+a2+c2=2ab+2ac+2bc+2b2.
∴a2+c2=2b2.∴a2,b2,c2 成等差数列.
(建议用时:30 分钟)
1.数列{an}的通项公式 an=4n-7,则此数列是( )
A.公差为 4 的等差数列
B.公差为-7 的等差数列
C.首项为-7 的等差数列
D.公差为 n 的等差数列
答案:A
解析:an+1-an=4(n+1)-4n=4.故选 A.
2.等差数列 1,-1,-3,…,-89 的项数是( )
A.45 B.46 C.47 D.92
答案:B
解析:由题可知,等差数列的首项 a1=1,公差 d=-2,且 an=-89.
由 an=a1+(n-1)d,解得 n=46.故选 B.
3.{an}为等差数列,且 a7-2a4=-1,a3=0,则公差 d= ( )
A.-2 B.-
1
2
C.
1
2
D.2
答案:B
解析:
1 + 6
-
2
(
1 + 3
)
-
1
,
1 + 2 0
, 即
1 1
,
-
1
2
.
4.等差数列的相邻 4 项是 a+1,a+3,b,a+b,那么 a,b 的值分别是( )
A.2,7 B.1,6
C.0,5 D.无法确定
答案:A
解析:由等差中项知识得
2 + 6 + + 1
,
2 2 + + 3
, 解得
2
,
7
.
5.首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围为( )
A.d>
8
3
B.d<3
C.
8
3
≤d<3 D.
8
3