人教A版高中数学选修4-5全册试卷课时提升作业二 6页

课时提升作业 二 基本不等式 基础过关 一、选择题(每小题 6 分,共 18 分) 1.若关于 x 的方程 9 x +(4+a)·3 x +4=0 有解,则实数 a的取值范围是( ) A.(-∞,-8]∪[0,+∞) B.(-∞,-4) C.[-8,4) D.(-∞,-8] 【解析】选 D.由方程 9 x +(4+a)·3 x +4=0 有解, 即 a+4=- ≤-4,所以 a≤-8. 2.下列不等式的证明过程正确的是 ( ) A.若 a,b∈R,则 + ≥2 =2 B.若 x>0,则 cosx+ ≥2 =2 C.若 x<0,则 x+ ≤2 =4 D.若 a,b∈R,且 ab<0,则 + =-[ + ]≤-2 =-2 【解析】选 D.A,B,C中在应用基本不等式时忽视了前提“正数”,故均错误. 3.若直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,1),则 a+b 的最小值等于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解题指南】利用基本不等式及“1”的代换求解. 【解析】选 C.因为直线过点(1,1),所以 + =1,所以 a+b=(a+b) = 1+1+ + =2+ + ,因为 a>0,b>0,所以 2+ + ≥2+2 =4,当且仅当“a=b=2”时 等号成立. 二、填空题(每小题 6 分,共 12 分) 4.已知 x+3y-2=0,则 3 x +27 y +1 的最小值是__________. 【解析】3 x +27 y +1=3 x +3 3y +1≥2 +1=7. 答案:7 5.若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是____________. 【解析】令 =t(t>0),由 ab=a+b+3≥2 +3,则 t 2 ≥2t+3,所以 t≥3 或 t≤ -1(舍去),所以 ≥3,ab≥9,当 a=b=3时取等号. 答案:[9,+∞) 【误区警示】解答本题过程中易忽视 a,b∈(0,+∞)而求出 ab∈(-∞,1]∪ [9,+∞)的错误. 三、解答题(每小题 10 分,共 30 分) 6.求函数 y= (x≥0)的最小值. 【解析】原式变形得: y= =x+2+ +1, 因为 x≥0,所以 x+2>0, 所以 x+2+ ≥6, 所以 y≥7,当且仅当 x=1 时等号成立. 所以 y= (x≥0)的最小值为 7. 7.如图,已知小矩形花坛ABCD中,AB=3m,AD=2m,现要将小矩形花坛建成大矩形花 坛 AMPN,使点 B 在 AM 上,点 D 在 AN 上,且对角线 MN 过点 C. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32m 2 ,AN 的长应在什么范围内? (2)M,N 是否存在这样的位置,使矩形 AMPN 的面积最小?若存在,求出这个最小面 积及相应的 AM,AN 的长度;若不存在,说明理由. 【解析】(1)设 AM=x,AN=y(x>3,y>2),矩形 AMPN 的面积为 S,则 S=xy. 因为△NDC∽△NAM,所以 = ,所以 x= ,所以 S= (y>2). 由 >32,得 28,所以 AN 的长度应在 或(8,+∞)内. (2)当 y>2 时 ,S= =3 ≥ 3× =3× (4+4)=24,当且仅当 y-2= ,即 y=4 时,等号成立,解得 x=6.所以存在 M,N 点,当 AM=6,AN=4 时,矩形 AMPN 面积最小为 24. 8.已知 x,y 都是正实数. 求证:(x+y)(x 2 +y 2 )(x 3 +y 3 )≥8x 3 y 3 . 【证明】因为 x,y 都是正实数, 所以 x+y≥2 >0,x 2 +y 2 ≥2xy>0, x 3 +y 3 ≥2 >0. 三式相乘,得(x+y)(x 2 +y 2 )(x 3 +y 3 )≥8x 3 y 3 . 能力提升 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.已知 a>0,b>0,则 + +2 的最小值为 ( ) A.2 B.2 C.4 D.5 【解析】选 C. + +2 ≥2 +2 ≥4. 2.对于 x∈ ,不等式 + ≥16 恒成立,则 p 的取值范围为 ( ) A.(-∞,-9] B.(-9,9] C.(-∞,9] D.[9,+∞) 【解题指南】可令 t=sin 2 x,将原不等式转化为关于 t 的不等式恒成立问题求解. 【解析】选 D.令 t=sin 2 x,则 cos 2 x=1-t. 又 x∈ ,所以 t∈(0,1). 不等式 + ≥16 可化为 p≥ (1-t), 令 y= (1-t) =17- ≤17-2 =9, 当且仅当 =16t,即 t= 时取等号, 因此原不等式恒成立,只需 p≥9. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.若 a>0,b>0,a+b=1,则 的最小值是__________. 【解析】因为 = · = · = = =1+ . 由 a>0,b>0,a+b=1 得 ab≤ = . 所以 ≥4,所以 ≥9. 答案:9 4.已知 x>0,y>0 且满足 x+y=6,则使不等式 + ≥m恒成立的实数 m 的取值范围为 ____________. 【解题指南】由已知条件先求得 + 的最小值,只要 m小于等于其最小值即可. 【解析】因为 x>0,y>0, + = = ≥ (10+6)= , 当且仅当 = ,又 x+y=6,得 x= ,y= 时取等号.所以 m 的取值范围是 . 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1.证明: + + ≥1. 【证明】因为 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c, 故 + + +a+b+c≥2(a+b+c), 所以 + + ≥a+b+c=1. 当且仅当 a=b=c= 时取等号. 6.已知 a,b,x,y∈R+,x,y 为变量,a,b 为常数,且 a+b=10, + =1,x+y 的最小值为 18,求 a,b. 【解析】因为 x+y=(x+y) =a+b+ + ≥a+b+2 =( + ) 2 , 当且仅当 = 时取等号.又(x+y)min=( + ) 2 =18, 即 a+b+2 =18, ① 又 a+b=10, ② 由①②可得 或 【拓展延伸】基本不等式的应用技巧 判断定值条件是应用基本不等式的难点和易忽略点,常见的方法有: (1)拆项、添项、配凑 此法常用在求分式型函数的最值中, 如函数 f(x)= = , 可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑. (2)常值代换 这种方法常用于“已知 ax+by=m(a,b,x,y 均为正数),求 + 的最小值”和“已知 + =1(a,b,x,y 均为正数),求 x+y 的最小值”两类题型. (3)构造不等式 当和与积同时出现在同一个不等式中时,可利用基本不等式构造一个不等式,从 而求出和或积的取值范围,如已知 a+b=ab-3,求 ab 的取值范围,可构造出不等式 2 ≤a+b=ab-3,即( ) 2 -2 -3≥0.