人教新课标A版数学高三高考卷 08 普通高等学校招生全国统一考试数学（广东卷·文科）（附答案，完全word版） 8页

2008 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(文科)全解析 广东佛山南海区南海中学 钱耀周 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求。 1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行，若集合 A={参加北京奥运会 比赛的运动员}，集合 B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。集合 C={参加北京奥运会比赛的 女运动员}，则下列关系正确的是 A.A  B B.B  C C.A∩B=C D.B∪C=A 【解析】送分题呀!答案为 D. 2.已知 0＜a＜2，复数 z a i  (i 是虚数单位)，则|z|的取值范围是 A.(1, 3 ) B. (1, 5 ) C.(1,3) D.(1,5) 【解析】 12  az ，而 20  a ，即 511 2  a ， 51  z ,选 B. 3.已知平面向量 (1,2)a  ， ( 2, )b m  ，且 a  //b  ，则 2 3a b  ＝（ ） A、 ( 5, 10)  B、 ( 4, 8)  C、 ( 3, 6)  D、 ( 2, 4)  【解析】排除法:横坐标为 2 ( 6) 4    ,选 B. 4.记等差数列的前 n 项和为 nS ，若 2 44, 20S S  ，则该数列的公差 d  （ ） A、2 B、3 C、6 D、7 【解析】 4 2 2 4 12 3S S S d d      ,选 B. 5.已知函数 2( ) (1 cos2 )sin ,f x x x x R   ，则 ( )f x 是（ ） A、最小正周期为 的奇函数 B、最小正周期为 2  的奇函数 C、最小正周期为 的偶函数 D、最小正周期为 2  的偶函数 【解析】 2 2 2 21 1 cos4( ) (1 cos2 )sin 2cos sin sin 22 4 xf x x x x x x      ,选 D. 6.经过圆 2 22 0x x y   的圆心 C，且与直线 0x y  垂直的直线方程是（ ） A、 1 0x y   B、 1 0x y   C、 1 0x y   D、 1 0x y   【解析】易知点 C 为 ( 1,0) ，而直线与 0x y  垂直，我们设待求的直线的方程为 y x b  ， 将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 1b  ，故待求的直线的方程为 1 0x y   ,选 C.(或由图形快速排除得正确答案.) 7.将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 A、B、C 分 别是 GHI 三边的中点）得到的几何体如图 2，则 该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为 【解析】解题时在图 2 的右边放扇墙(心中有墙),可得答案 A. 8. 命题“若函数 ( ) log ( 0, 1)af x x a a   在其定义域内是减函数，则 log 2 0a  ”的逆否命题 是（ ） A、若 log 2 0a  ，则函数 ( ) log ( 0, 1)af x x a a   在其定义域内不是减函数 B、若 log 2 0a  ，则函数 ( ) log ( 0, 1)af x x a a   在其定义域内不是减函数 C、若 log 2 0a  ，则函数 ( ) log ( 0, 1)af x x a a   在其定义域内是减函数 D、若 log 2 0a  ，则函数 ( ) log ( 0, 1)af x x a a   在其定义域内是减函数 【解析】考查逆否命题,易得答案 A. 9、设 a R ，若函数 xy e ax  ， x R ，有大于零的极值点，则（ ） A、 1a   B、 1a   C、 1a e   D、 1a e   【解析】题意即 0xe a  有大于0的实根,数形结合令 1 2,xy e y a   ,则两曲线交点在第一象限, 结合图像易得 1 1a a     ,选 A. 10、设 ,a b R ，若 | | 0a b  ，则下列不等式中正确的是（ ） A、 0b a  B、 3 3 0a b  C、 2 2 0a b  D、 0b a  【解析】利用赋值法:令 1, 0a b  排除 A,B,C,选 D. 二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. （一）必做题（11-13 题） 11.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了 20 位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为  45,55 ，     55,65 , 65,75 , 75,85 ，  85,95 由此得到频率分布直方图如图 3，则这 20 名工人中一天生产该产品数量在 55,75 的 人数是 . 【解析】 20 (0.065 10) 13   ,故答案为 13. 12.若变量 x，y 满足 2 40, 2 50, 0, 0, x y x y x y         则 z=3x+2y 的最大 值是________。 【解析】画出可行域,利用角点法可得答案 70. 13.阅读图 4 的程序框图，若输入 m=4,n=3,则输出 a=_______,i=________。 （注：框图中的赋值符号“＝”，也可以写成“←”或“：＝”） 【解析】要结束程序的运算，就必须通过 n 整除 a 的条件运算， 而同时 m 也整除 a ，那么 a 的最小值应为 m 和 n 的最小公倍 数 12，即此时有 3i  。 （二）选择题（14-15 题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 1 2,C C 的极坐标方程分别为 cos 3, 4cos ( 0,0 )2           ，则曲线 1C 2C 交点的极坐标为 【解析】我们通过联立解方程组 cos 3( 0,0 )4cos 2           解得 2 3 6      ,即两曲线的交点为 (2 3, )6  . 15.（几何证明选讲选做题）已知 PA 是圆 O 的切点，切点为 A，PA＝2.AC 是圆 O 的直径，PC 与 圆 O 交于 B 点，PB＝1，则圆 O 的半径 R=________. 【 解 析 】 依 题 意 ， 我 们 知 道 PBA PAC  , 由 相 似 三 角 形 的 性 质 我 们 有 2 PA PB R AB  , 即 2 22 2 1 32 2 1 PA ABR PB      。 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分 13 分） 已 知 函 数 ( ) sin( )( 0,0 ),f x A x a x R        的 最 大 值 是 1 ， 其 图 像 经 过 点 1( , )3 2M  。 （1）求 ( )f x 的解析式；（2）已知 , (0, )2    ，且 3 12( ) , ( ) ,5 13f f   求 ( )f   的值。 【解析】（1）依题意有 1A  ，则 ( ) sin( )f x x   ，将点 1( , )3 2M  代入得 1sin( )3 2    ，而 0    ， 5 3 6      ， 2   ，故 ( ) sin( ) cos2f x x x   ； （ 2 ） 依 题 意 有 3 12cos ,cos5 13    ， 而 , (0, )2    ， 2 23 4 12 5sin 1 ( ) ,sin 1 ( )5 5 13 13         ， 3 12 4 5 56( ) cos( ) cos cos sin sin 5 13 5 13 65f                  。 17.（本小题满分 12 分） 某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米 的楼房.经测算，如果将楼房建为 x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560+48x（单位：元）. 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝ 购地总费用 建筑总面积 ） 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f（x）元，则     2160 10000 10800560 48 560 482000f x x xx x        10,x x Z     2 1080048f x x    , 令   0f x  得 15x  当 15x  时，   0f x  ；当 0 15x  时，   0f x  因此 当 15x  时，f（x）取最小值  15 2000f  ； 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为 15 层。 18.（本小题满分 14 分） 如图 5 所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四 边形，其中 BD 是圆的直径， 60 , 45 , ~ABD BDC ADP BAD       。 （1）求线段 PD 的长； （2）若 11PC R ，求三棱锥 P-ABC 的体积。 【解析】（1） BD 是圆的直径  90BAD   又 ~ADP BAD  ,  AD DP BA AD  ,     22 2 34sin 60 4 31sin30 2 2 RBDADDP RBA BD R         ; (2 ) 在 Rt BCD 中， cos45 2CD BD R   2 2 2 2 2 29 2 11PD CD R R R PC      PD CD 又 90PDA    PD  底面 ABCD   21 1 3 2 1 2 3 1sin 60 45 22 2 2 2 2 2 4ABCS AB BC R R R                三棱锥 P ABC 的体积为 2 31 1 3 1 3 133 3 4 4P ABC ABCV S PD R R R        . 19.（本小题满分 13 分） 某初级中学共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如下表： 初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到初二年级女生的概率是 0.19. （1） 求 x 的值； （2） 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3） 已知 y  245,z  245,求初三年级中女生比男生多的概率. 【解析】（1） 0.192000 x   380x  （2）初三年级人数为 y＋z＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500， 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，应在初三年级抽取的人数为： 48 500 122000   名 （3）设初三年级女生比男生多的事件为 A ，初三年级女生男生数记为（y，z）； 由（2）知 500y z  ，且 ,y z N ,基本事件空间包含的基本事件有： （245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共 11 个 事件 A 包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共 5 个  5( ) 11P A  20.（本小题满分 14 分） 设 0b  ，椭圆方程为 2 2 2 2 12 x y b b   ，抛物线方程为 2 8( )x y b  ．如图 6 所示，过点 (0 2)F b ， 作 x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过 椭圆的右焦点 1F ． （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设 A B， 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 P ，使得 ABP△ 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． 【解析】（1）由 2 8( )x y b  得 21 8y x b  ， 当 2y b  得 4x   ，G 点的坐标为 (4, 2)b  ， 1' 4y x ， 4'| 1xy   ， 过点 G 的切线方程为 ( 2) 4y b x    即 2y x b   ， 令 0y  得 2x b  ， 1F 点的坐标为 (2 ,0)b ，由椭圆方程得 1F 点的坐标为 ( ,0)b ， 2 b b   即 1b  ，即椭圆和抛物线的方程分别为 2 2 12 x y  和 2 8( 1)x y  ； （2）过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,以 PAB 为直角的 Rt ABP 只有一个， 同理 以 PBA 为直角的 Rt ABP 只有一个。 若以 APB 为直角，设 P 点坐标为 21( , 1)8x x  ， A 、 B 两点的坐标分别为 ( 2,0) 和 ( 2,0) ， 2 2 2 4 21 1 52 ( 1) 1 08 64 4PA PB x x x x          。 关于 2x 的二次方程有一大于零的解， x 有两解，即以 APB 为直角的 Rt ABP 有两个， 因此抛物线上存在四个点使得 ABP 为直角三角形。 21.（本小题满分 14 分） 设数列{ }na 满足 1 1a  ， 2 2a  ， 1 2 1 ( 2 )3n n na a a   ( 3,4, )n   。数列{ }nb 满足 1 1, ( 2,3, )nb b n   是 非 零 整 数 ， 且 对 任 意 的 正 整 数 m 和 自 然 数 k ， 都 有 11 1m m m kb b b       。 （1）求数列{ }na 和{ }nb 的通项公式； （2）记 ( 1,2, )n n nc na b n   ，求数列{ }nc 的前 n 项和 nS 。 【解析】（1）由 1 2 1 ( )3n n na a a   得 1 1 2 2 ( )3n n n na a a a      ( 3)n  又 2 1 1 0a a   ，  数 列  1n na a  是 首 项 为 1 公 比 为 2 3  的 等 比 数 列 ， 1 1 2 3 n n na a         1 2 1 3 2 4 3 1( ) ( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a a a           2 22 2 21 1 3 3 3 n                        1 1 21 8 3 231 2 5 5 31 3 n n                ， 由 1 2 2 2 2 1 1 1 1 , 0 b b b b Z b            得 2 1b   ，由 2 3 3 3 3 1 1 1 1 , 0 b b b b Z b            得 3 1b  ，… 同理可得当 n 为偶数时， 1nb   ；当 n 为奇数时， 1nb  ；因此 1 -1nb    （2） 1 1 8 3 2 5 5 3 8 3 2 5 5 3 n n n n n n n c na b n n                   1 2 3 4n nS c c c c c      当 n 为奇数时， 0 1 2 3 18 8 8 8 8 3 2 2 2 2 2( 2 3 4 ) 1 2 3 45 5 5 5 5 5 3 3 3 3 3 n nS n n                                                       0 1 2 3 14 1 3 2 2 2 2 21 2 3 45 5 3 3 3 3 3 nn n                                             当 n 为偶数时 0 1 2 3 18 8 8 8 8 3 2 2 2 2 2( 2 3 4 ) 1 2 3 45 5 5 5 5 5 3 3 3 3 3 n nS n n                                                     0 1 2 3 14 3 2 2 2 2 21 2 3 45 5 3 3 3 3 3 nn n                                             令 0 1 2 3 12 2 2 2 21 2 3 43 3 3 3 3 n nT n                                      ……① ①× 2 3 得: 1 2 3 42 2 2 2 2 21 2 3 43 3 3 3 3 3 n nT n                                     ……② ①-②得: 1 2 3 4 11 2 2 2 2 2 213 3 3 3 3 3 3 n n nT n                                            21 2 23 3 32 3 31 3 n n n n n                      29 9 3 3 n nT n        当 n 为奇数时 当 n 为偶数时 当 n 为奇数时 当 n 为偶数时 因此     9 34 23 2 5 5 3 9 34 27 2 5 5 3 n n n nn S nn                  当 n 为奇数时 当 n 为偶数时