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- 2021-06-16 发布
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河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第1章 集合与函数概念-2.示范教案(1.2集合间的基本关系)
教学分析
课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法,如类比等.
值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用Venn图,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如∈与的区别.
三维目标
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力.
2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想.
重点难点
教学重点:理解集合间包含与相等的含义.
教学难点:理解空集的含义.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.实数有相等、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢?(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生)
欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.
思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填空:(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R.
类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢?(答案:(1)∈;(2);(3)∈)
推进新课
新知探究
提出问题
(1)观察下面几个例子:
①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};
②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;
③设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};
④E={2,4,6},F={6,4,2}.
你能发现两个集合间有什么关系吗?
(2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别?
(3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?
(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每
位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示?
(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.
(6)已知AB,试用Venn图表示集合A和B的关系.
(7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗?
(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢?
(9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论?
活动:教师从以下方面引导学生:
(1)观察两个集合间元素的特点.
(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果AB,但存在x∈B,且xA,我们称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA).
(3)实数中的“≤”类比集合中的.
(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.
(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.
(6)分类讨论:当AB时,AB或A=B.
(7)方程x2+1=0没有实数解.
(8)空集记为,并规定:空集是任何集合的子集,即A;空集是任何非空集合的真子集,即A(A≠).
(9)类比子集.
讨论结果:
(1)①集合A中的元素都在集合B中;
②集合A中的元素都在集合B中;
③集合C中的元素都在集合D中;
④集合E中的元素都在集合F中.
可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.
(2)例子①中AB,但有一个元素4∈B,且4A;而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同.
(3)若AB,且BA,则A=B.
(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.
(5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合B.
图1-1-2-1图1-1-2-2
(6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示.
图1-1-2-3图1-1-2-4
(7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解.
(8)空集.
(9)若AB,BC,则AC;若AB,BC,则AC.
应用示例
思路1
1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.
(1)则下列包含关系哪些成立?
AB,BA,AC,CA.
(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.
活动:学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时,则AB成立,否则AB不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点:
(1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格;
长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格.
(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.
解:(1)包含关系成立的有:BA,CA.
(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示,如图1-1-2-5所示.
图1-1-2-5
变式训练
课本P7练习3.
点评:本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么.
判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,得:当集合A中的元素都属于集合B时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,当集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A、B互不包含.
2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.
活动:学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集.按集合{a,b}的子集所含元素的个数分类讨论.
解:集合{a,b}的所有子集为,{a},{b},{a,b}.真子集为,{a},{b}.
变式训练
2007山东济宁一模,1
已知集合P={1,2},那么满足QP的集合Q的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
分析:集合P={1,2}含有2个元素,其子集有22=4个,
又集合QP,所以集合Q有4个.
答案:A
点评:本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏.
思考:集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集?多少个真子集?
解:当n=0时,即空集的子集为,即子集的个数是1=20;
当n=1时,即含有一个元素的集合如{a}的子集为,{a},即子集的个数是2=21;
当n=2时,即含有一个元素的集合如{a,b}的子集为,{a},{b},{a,b},即子集的个数是4=22.
……
集合A中含有n个元素,那么集合A有2n个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合A有(2n-1)个真子集.
思路2
1.2006上海高考,理1已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若BA,则实数m=_______.
活动:先让学生思考BA的含义,根据BA,知集合B中的元素都属于集合A,集合元素的互异性,列出方程求实数m的值.因为BA,所以3∈A,m2∈A.对m2的值分类讨论.
解:∵BA,∴3∈A,m2∈A.∴m2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.∴m=1.
答案:1
点评:本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后,再代入验证.
讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式.
变式训练
已知集合M={x|2-x<0},集合N={x|ax=1},若NM,求实数a的取值范围.
分析:集合N是关于x的方程ax=1的解集,集合M={x|x>2}≠,由于NM,则N=或N≠,要对集合N是否为空集分类讨论.
解:由题意得M={x|x>2}≠,则N=或N≠.
当N=时,关于x的方程ax=1中无解,则有a=0;
当N≠时,关于x的方程ax=1中有解,则a≠0,此时x=,又∵NM,∴∈M.∴>2.
∴02m-1即m<2时,B=满足BA.
当m+1≤2m-1即m≥2时,要使BA成立,
需可得2≤m≤3.综上所得实数m的取值范围m≤3.
(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},
所以,A的非空真子集个数为2上标8-2=254.
(3)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.
则①若B≠即m+1>2m-1,得m<2时满足条件;
②若B≠,则要满足条件有:或解之,得m>4.
综上有m<2或m>4.
点评:此问题解决要注意:不应忽略;找A中的元素;分类讨论思想的运用.
拓展提升
问题:已知AB,且AC,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A共有多少个?
活动:学生思考AB,且AC所表达的含义.AB说明集合A是集合B的子集,即集合A中元素属于集合B,同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素.
思路1:写出由集合B和集合C的公共元素所组成的集合,得满足条件的集合A;
思路2:分析题意,仅求满足条件的集合A的个数,转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数.
解法一:因AB,AC,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},由此,满足AB,有:,{0},{1},{2},{3},{4},
{0,1},{0,2},{2,3},{2,4},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{3,4},{0,2,4},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{0,3,4},{0,1,2,3},{1,2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3},{1,3,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,1,2,3,4},共25=32(个).
又满足AC的集合A有:,{0},{2},{4},{8},{0,2},{0,4},{0,8},{2,4},{2,8},{4,8},{0,2,4},
{0,2,8},{0,4,8},{2,4,8},{0,2,4,8},共24=16(个).
其中同时满足AB,AC的有8个:,{0},{2},{4},{0,2},{0,4},{2,4},{0,2,4},实际上到此就可看出,上述解法太繁.
解法二:题目只求集合A的个数,而未让说明A的具体元素,故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、2、4,组成集合的子集有23=8(个).
点评:有关集合间关系的问题,常用分类讨论的思想来解决;关于集合的子集个数的结论要熟练掌握,其应用非常广泛.
课堂小结
本节课学习了:
①子集、真子集、空集、Venn图等概念;
②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集;
③清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明.
作业
课本P11习题1.1A组5.
设计感想
本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知,在实际教学中,
要留给学生适当的思考时间,使学生自己通过类比得到正确结论.丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念,学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式.
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