数学人教a版选修2-2章末测试：第一章导数及其应用a word版含解析 8页

第一章测评 A (基础过关卷) (时间：90 分钟 满分：100 分) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．已知 f(x)＝ln x x2 ，则 f′(e)＝( ) A．1 e3 B．1 e2 C．－1 e2 D．－1 e3 2．曲线 f(x)＝ex＋x 在(1，f(1))的切线方程为( ) A．(1＋e)x－y＝0 B．ex－y＋1＝0 C．(1＋e)x＋y－2(1＋e)＝0 D．x－(1＋e)y＝0 3．函数 f(x)＝aln x＋x 在 x＝1 处取得极值，则 a 的值为( ) A．1 2 B．－1 C．0 D．－1 2 4．函数 f(x)＝ x2 x－1 ( ) A．在(0,2)上单调递减 B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增 C．在(0,2)上单调递增 D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减 5．已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)＝2x2，x∈(－1,1)．如果 f(x)＜f(1－x)，则实数 x 的取 值范围为( ) A． －∞，1 2 B．(－1,1) C． －1，1 2 D． 0，1 2 6．1 3 π 4 π 4  cos 2xdx＝( ) A．1 3 B．2 3 C． 2 3 D．－ 2 3 7．已知函数 y＝f(x)，其导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则 y＝f(x)( ) A．在(－∞，0)上为减函数 B．在 x＝0 处取极小值 C．在(4，＋∞)上为减函数 D．在 x＝2 处取极大值 8．已知函数 f(x)的导数 f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，且 f(x)在 x＝a 处取得极大值，则实数 a 的 取值范围是( ) A．a＞－1 B．－1＜a＜0 C．0＜a＜1 D．a＞1 9．如果圆柱的轴截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( ) A． l 6 3π B． l 3 3π C． l 4 3π D．1 4 l 4 3π 10．若 f(x)＝－1 2x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数 b 的取值范围是( ) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1) 第Ⅱ卷(非选择题 共 50 分) 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在题中的横线上) 11．由曲线 y＝ex＋x 与直线 x＝0，x＝1，y＝0 所围成图形的面积等于__________． 12．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y＝x3－10x＋3 上，且在第二象限内， 已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为__________． 13．函数 f(x)＝(x2－3)ex 在[0,2]上的最大值为__________． 14．若 f(x)＝ x2＋3，x≥0， －x，x<0， 则 1 1 f(x)dx＝__________. 15．函数 f(x)＝x3 －3ax＋b(a＞0)的极大值为 6，极小值为 2，则 f(x)的减区间是 __________． 三、解答题(本大题共 4 小题，共 25 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题 6 分)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx 在 x＝－2 3 与 x＝1 处都取得极值． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 f(x)在区间[－2,2]的最大值与最小值． 17．(本小题 6 分)已知函数 f(x)＝ax3＋bx2 的图象过点 M(1,4)，曲线在点 M 处的切线恰 好与直线 x＋9y＝0 垂直． (1)求实数 a，b 的值； (2)若函数 f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求 m 的取值范围． 18．(本小题 6 分)已知函数 f(x)＝ln x x . (1)判断函数 f(x)的单调性； (2)若 y＝xf(x)＋1 x 的图象总在直线 y＝a 的上方，求实数 a 的取值范围． 19．(本小题 7 分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件产 品须向总公司缴纳 a 元(a 为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产 品的售价为 x 元时，产品一年的销售量为k ex(e 为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价 为 40 元时，该产品一年的销售量为 500 万件．经物价部门核定每件产品的售价 x 最低不低 于 35 元，最高不超过 41 元． (1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)万元与每件产品的售价 x 元的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润 L(x)最大，并求出 L(x)的最大值． 参考答案 一、1．解析：∵f′(x)＝ x2 x －2xln x x4 ＝1－2ln x x3 ， ∴f′(e)＝1－2ln e e3 ＝－1 e3. 答案：D 2．解析：f′(x)＝1＋ex，k＝f′(1)＝1＋e. ∵f(1)＝1＋e， ∴切线方程为 y－(1＋e)＝(1＋e)(x－1)， 即(1＋e)x－y＝0. 答案：A 3．解析：f′(x)＝a x ＋1，令 f′(x)＝0，得 x＝－a， 所以函数 f(x)在 x＝－a 处取得极值， 所以 a＝－1. 答案：B 4．解析：f′(x)＝2x(x－1)－x2 (x－1)2 ＝x2－2x (x－1)2 ＝x(x－2) (x－1)2. 令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝2. ∴x∈(－∞，0)和 x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0， x∈(0,1)和 x∈(1,2)时，f′(x)＜0，故选 B． 答案：B 5．解析：∵f′(x)＝2x2≥0，∴f(x)在(－1,1)上单调递增，故 x＜1－x，又－1＜x＜1，－1 ＜1－x＜1，解得 0＜x＜1 2. 答案：D 6．解析：1 3 π 4 π 4  cos 2xdx＝1 3 ×1 2sin 2x π 4 π 4 | ＝1 3. 答案：A 7．解析：由图可知 f(x)在(0,2)和(4，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)和(2,4)上单调递增， ∴f(x)在 x＝0 时取极大值，x＝2 取极小值，故 C 正确． 答案：C 8．解析：∵f(x)在 x＝a 处取得极大值，∴f(x)在 x＝a 附近左增右减，分 a＞0，a＝0，a ＜0 讨论易知－1＜a＜0. 答案：B 9．解析：设圆柱的底面半径为 r，高为 h，体积为 V， 则 4r＋2h＝l，∴h＝l－4r 2 . V＝πr2h＝l 2πr2－2πr3 0