北师大版数学选修1-2练习（第3章）推理与证明（1）（含答案） 6页

第三章 推理与证明 同步练习(一) 说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内， 第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共 100 分，考试时间 90 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 27 分) 一、选择题(本大题共 9小题，每小题 3分，共 27 分) 1、如果数列 na 是等差数列，则（ ） A、 1 8 4 5a a a a   B、 1 8 4 5a a a a   C、 1 8 4 5a a a a   D、 1 8 4 5a a a a 2、下面使用类比推理正确的是（ ） A、“若 3 3a b   ,则 a b ”类推出“若 0 0a b   ,则 a b ” B、“若 ( )a b c ac bc   ”类推出“ ( )a b c ac bc   ” C、“若 ( )a b c ac bc   ” 类推出“ a b a b c c c    （c≠0）” D、“ n na a bn（ b） ” 类推出“ n na a b  n（ b） ” 3、有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真 分数”结论显然是错误的，是因为（ ） A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、非以上错误 4、设 )()(,sin)( ' 010 xfxfxxf  ， ' 2 1( ) ( ), ,f x f x  ' 1( ) ( )n nf x f x  ，n∈N，则 2007 ( )f x  （ ） A、 sin x B、－ sin x C、 cos x D、－ cos x 5、在十进制中 0 1 2 32004 4 10 0 10 0 10 2 10        ，那么在 5 进制中数码 2004 折合成十进制为 （ ） A、29 B、 254 C、602 D、2004 6、下面的四个不等式：① cabcabcba  222 ；②   4 11  aa ；③ 2 a b b a ； ④      22222 bdacdcba  .其中不成立的有 （ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 7、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已 知直线b  平面 ，直线 a 平面 ，直线b∥平面 ，则直线b∥直线 a”的结 论显然是错误的，这是因为 （ ） A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、非以上错误 8、已知 2 ( )( 1) , (1) 1 ( ) 2 f xf x f f x     *x N（ ），猜想 (f x）的表达式为（ ） A、 4( ) 2 2xf x   B、 2( ) 1 f x x   C、 1( ) 1 f x x   D、 2( ) 2 1 f x x   9、已知 33 qp  ＝2，关于 p＋q的取值范围的说法正确的是（ ） A、一定不大于 2 B、一定不大于 22 C、一定不小于 22 D、一定不小于 2 第Ⅱ卷(非选择题 共 73 分) 二、填空题(本大题共 5小题，每小题 4分，共 20 分) 10、用演绎法证明 y=x2是增函数时的大前提是 。 11、类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形 ABC 中的两边 AB、AC 互相垂直， 则三角形三边长之间满足关系： 222 BCACAB  。若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系 为 . 12 、 从 2 21 1 2 3 4 3    2， ，3+4+5+6+7=5 中 ， 可 得 到 一 般 规 律 为 (用数学表达式表示) 13、函数 y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数 y=f(x+2)是偶函数，则 f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 . 14、设平面内有ｎ条直线 ( 3)n  ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线 不过同一点．若用 ( )f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则 (4)f = ； 当ｎ＞4时， ( )f n ＝ （用含 n的数学表达式表示） 三、解答题(本大题共 5小题，共 53 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 15、（9分）在各项为正的数列 na 中，数列的前 n项和 nS 满足        n nn a aS 1 2 1 （1） 求 321 ,, aaa ；（2） 由（1）猜想数列 na 的通项公式；（3） 求 nS 16、（11 分）自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观 上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用 nx 表示某鱼群在第 n年年初 的总量，  Nn ，且 1x ＞0.不考虑其它因素，设在第 n年内鱼群的繁殖量及捕捞量 都与 nx 成正比，死亡量与 2 nx 成正比，这些比例系数依次为正常数 cba ,, . （Ⅰ）求 1nx 与 nx 的关系式； （Ⅱ）猜测：当且仅当 1x ， cba ,, 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持 不变？（不要求证明） 17、（11 分）已知 a，b，c是全不相等的正实数，求证 3     c cba b bca a acb 。 18、（9分）已知ΔABC 的三条边分别为 a b c， ， 求证： 1 1 a b c a b c      19、（13 分）通过计算可得下列等式： 11212 22  12223 22  13234 22  ┅┅ 12)1( 22  nnn 将以上各式分别相加得： nnn  )321(21)1( 22  即： 2 )1(321   nnn 类比上述求法：请你求出 2222 321 n  的值. 参考答案 第Ⅰ卷(选择题 共 27 分) 1-9 BCCDB AABA 第Ⅱ卷(非选择题 共 73 分) 10、增函数的定义 11、 2222 ADBACDABCBCD SSSS   . 12、 2( 1) ( 2) ...... (3 2) (2 1)n n n n n         13、f(2.5)>f(1)>f(3.5) 14、5； 1 2 （n+1）(n-2)． 15、（1） 23,12,1 321  aaa ；（2） 1 nnan ；（3） nSn  . 16、解：（I）从第 n 年初到第 n+1 年初，鱼群的繁殖量为 axn，被捕捞量为 bxn， 死 亡 量 为 2 2 1, , *.(*)n n n n n ncx x x ax bx cx n N     因此 1 ( 1 ), *.(**)n n nx x a b cx n N     即 （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则 xn恒等于 x1， n∈N*，从而由（*） 式得 ..0*,,0)( 11 c baxcxbaNncxbax nn   即所以恒等于 因为 x1>0，所以 a>b. 猜测：当且仅当 a>b，且 c bax  1 时，每年年初鱼群的总量保持不变. 17．证法 1：（分析法） 要证 3     c cba b bca a acb 只需证明 1 1 1 3b c c a a b a a b b c c          即证 6b c c a a b a a b b c c       而事实上，由 a，b，c是全不相等的正实数 ∴ 2， 2， 2b a c a c b a b a c b c       ∴ 6b c c a a b a a b b c c       ∴ 3b c a a c b a b c a b c          得证。 证法 2：（综合法） ∵ a，b，c全不相等 ∴ a b与 b a， a c与 c a， b c 与 c b全不相等。 ∴ 2， 2， 2b a c a c b a b a c b c       三式相加得 6b c c a a b a a b b c c       ∴ ( 1) ( 1) ( 1) 3b c c a a b a a b b c c          即 3b c a a c b a b c a b c          。 18、证明：设 ( ) , (0, ) 1 xf x x x     设 1 2,x x 是 (0, ) 上的任意两个实数，且 2 1 0x x  ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 1 (1 )(1 ) x x x xf x f x x x x x          因为 2 1 0x x  ，所以 1 2( ) ( )f x f x 。所以 ( ) 1 xf x x   在 (0, ) 上是增函数。 由 0a b c   知 ( ) ( )f a b f c  即 1 1 a b c a b c      .（也可以利用综合法，分析法） 19、解： 1131312 233  1232323 233  1333334 233  ┅┅ 133)1( 233  nnnn 将 以 上 各 式 分 别 相 加 得 ： nnnn  )321(3)321(31)1( 222233  所以： ] 2 131)1[( 3 1321 32222 nnnnn    )12)(1( 6 1  nnn