2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第9章 9 16页

www.ks5u.com ‎9.2　正弦定理与余弦定理的应用 ‎9.3　数学探究活动：得到不可达两点之间的距离 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.了解实际问题中所涉及的名词和一些术语，能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)‎ ‎2．能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(重点)‎ ‎1.通过应用正、余弦定理求距离、高度、角度问题，培养直观想象、数学运算素养．‎ ‎2．借助将实际问题转化为解三角形问题，培养数学建模素养.‎ ‎　‎ 在实地测量工作中，经常遇到一些不便于直接测量的情形．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)．在地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝‎50米．‎ 思考：你能给出一种计算博物馆正门柱楼顶部点P离地面的高度(即OP的长)的计算方法吗？‎ ‎1．实际测量中的有关名词、术语 名称 定义 图示 基线 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线 铅垂平面 与地面垂直的平面 坡角 坡面与水平面的夹角 α为坡角 坡比 坡面的垂直高度与水平宽度之比 坡比：i＝ 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角 ‎2．方位角 从指北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)．‎ 方位角的取值范围：0°～360°.‎ ‎3．方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边． (　　)‎ ‎(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得． (　　)‎ ‎(3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°． (　　)‎ ‎(4)如图所示，该角可以说成北偏东110°. (　　)‎ ‎[提示]　(1)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边．‎ ‎(2)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助余弦定理求得．‎ ‎(3)×.若P在Q的北偏东44°，则Q在P的南偏西44°.‎ ‎(4)×.题图中所标角应为方位角，可以说成点A的方位角为110°.‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)× (4)×‎ ‎2．已知两座建筑A，B与规划测量点C的距离相等，A在C的北偏东40°，B在C的南偏东60°，则A在B的(　　)‎ A．北偏东10°　 B．北偏西10°‎ C．南偏东10° D．南偏西10°‎ B　[因为△ABC为等腰三角形，‎ 所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，‎ ‎60°－50°＝10°.‎ 即北偏西10°.]‎ ‎3．某人从A处出发、沿北偏西60°行走‎2 km到达B处，再沿正东方向行走‎2 km到达C处，则A，C两地的距离为________km.‎ ‎2　[如图所示，∠ABC＝30°，又AB＝2，BC＝2，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝12＋4－2×2×2×＝4，‎ AC＝2，所以A，C两地的距离为‎2 km.]‎ ‎4．在相距‎2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，求A，C两点之间的距离．‎ ‎[解]　如图所示，∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，又AB＝2，‎ ‎∴由正弦定理＝，得＝，解得AC＝，‎ 即A，C两点之间的距离为千米.‎ 测量距离问题 ‎【例1】　要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离．‎ ‎[思路探究]　将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形．‎ ‎[解]　如图所示，在△ACD中，∠ACD＝75°+45°＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，‎ ‎∴AC＝CD＝ km.‎ 在△BCD中，∠BCD＝45°，‎ ‎∠BDC＝45°+30°＝75°，刚∠CBD＝60°.‎ ‎∴BC＝＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝()2＋－2×××cos 75°‎ ‎＝3＋2＋－＝5，‎ ‎∴AB＝(km)，∴A，B之间的距离为 km.‎ 三角形中与距离有关的问题的求解策略 ‎(1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．‎ ‎(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．‎ ‎1．如图，货轮在海上以‎40 km/h的速度沿着方位角为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点观测灯塔A的方位角为65°.问货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？‎ ‎[解]　在△ABC中，BC＝40×＝20(km)，‎ ‎∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，‎ 故∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°.‎ 由正弦定理得AC＝＝＝10(km)．‎ 答：货轮到达C点时，与灯塔A的距离是‎10 km.‎ 测量高度问题 ‎【例2】　如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距‎800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD.‎ ‎[解]　由于D点为C点到水平面的垂足，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.‎ 因此只需在△ABD中求出AD即可，‎ 在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，‎ 由＝，‎ 得AD＝＝＝800(＋1)(m)．‎ 即山高CD为800(＋1)m.‎ 解决测量高度问题的一般步骤 ‎(1)画图：根据已知条件画出示意图．‎ ‎(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．‎ ‎(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．‎ ‎2．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距‎500 m，则电视塔的高度是(　　)‎ A．‎100 m B．‎400 m C．‎200 m D．‎‎500 m D　[由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝h m，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)，负值舍去．]‎ 测量角度问题 ‎【例3】　甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？‎ ‎[解]　设甲船沿直线AC与乙船同时到达C点，则A，B，C三点构成△ABC，如图．设乙船速度为v海里/时，则甲船速度为v海里/时，用时为t h.‎ 由题意得BC＝vt，AC＝vt，∠ABC＝120°.‎ 由余弦定理知 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 120°，‎ ‎∴3v2t2＝a2＋v2t2＋avt，‎ ‎∴2v2t2－avt－a2＝0，解得vt＝－(舍去)或vt＝a，‎ ‎∴BC＝a海里．‎ 在△ABC中，AB＝BC＝a海里，∴∠BAC＝∠ACB＝30°.‎ 故甲船应沿北偏东30°的方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了a海里．‎ 测量角度问题画示意图的基本步骤 ‎3．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________．‎ 　[在△ABC中，AC＝20，AB＝40，∠CAB＝120°，由余弦定理，得BC2＝202＋402－2×20×40×cos 120°＝2 800，∴BC＝20，∴cos∠ACB＝＝，∴sin∠ACB＝.由题意，得θ＝30°＋∠ACB，∴cos θ＝cos(30°＋∠ACB)＝×－×＝.]‎ 求解速度问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是50°，距离是‎4 km；从B到C，方位角是80°，距离是‎8 km；从C到D，方位角是150°，距离是‎6 km，试画出示意图．‎ ‎[提示]　如图所示：‎ ‎2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A到C，则此人的速度至少是多少km/h？‎ ‎[提示]　如探究1图，在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理得AC＝＝，则此人的最小速度为v＝＝8(km/h)．‎ ‎3．在探究1中若投递员以‎24 km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以‎16 km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？‎ ‎[提示]　投递员到达C点的时间为t1＝＝(小时)＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t2＝≈0.275小时＝16.5分钟．由于30＞16.5＋10，所以此人在C点能与投递员相遇．‎ ‎【例4】　如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以‎50公里/时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O的距离为‎5公里、距离公路线的垂直距离为‎3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？‎ ‎[思路探究]　根据已知图形构造三角形，利用余弦定理建立速度与时间的函数求解．‎ ‎[解]　作MI垂直公路所在直线于点I，则MI＝3，‎ ‎∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝.‎ 设骑摩托车的人的速度为v公里/时，追上汽车的时间为t小时，‎ 由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×，‎ 即v2＝－＋2 500＝25＋900≥900，‎ ‎∴当t＝时，v取得最小值为30，‎ ‎∴其行驶距离为vt＝＝(公里)．‎ 故骑摩托车的人至少以‎30公里/时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里．‎ 解决实际问题应注意的问题 ‎(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最主要的一步．‎ ‎(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．‎ ‎4．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向上，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，则此船的航行速度为(　　)‎ A．8(＋)海里/时　 B．8(－)海里/时 C．16(＋)海里/时 D．16(－)海里/时 D　[如图，由题意得，在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝75°－30°＝45°.‎ 由正弦定理得＝，‎ 即＝，‎ 得AB＝8(－)海里，‎ 因此该船的航行速度为＝16(－)(海里/时)．]‎ 方案设计问题 ‎【例5】　如图，要测量山顶上的电视塔FG的高度，已知山的西面有一栋楼AC(该楼的高度低于山的高度)．试设计在楼AC上测山顶电视塔高度的测量、计算方案．‎ ‎[解]　设在楼顶C看塔顶、塔底的仰角分别是α、β，从楼顶下B点看塔底的仰角为γ，测出BC＝h.如图，在△BCF中，BC＝h，∠CBF＝－γ，∠BCF＝＋β，∠BFC＝γ－β.由正弦定理，得＝，‎ 即＝，‎ 所以BF＝.‎ 在Rt△BEF中，有BE＝BFcos γ＝.‎ 在Rt△CGM中，CM＝BE，∠GCM＝α，则MG＝CMtan α＝.‎ 在Rt△CFM中，CM＝BE，∠FCM＝β，则MF＝CMtan β＝＝.‎ 从而电视塔的高FG＝MG－MF ‎＝.‎ 方案设计问题的一般思路 ‎(1)明确目标，读题并画出图形，明确所求元素及其所在的三角形；‎ ‎(2)依据定理分析元素，在相应的三角形中依据正弦定理或余弦定理分析所需要的元素，再确定哪些可求；‎ ‎(3)确定方案，依据分析，将确定要测量的量代入求解，得到结论．‎ ‎5．某中学校园内有一个“湖泊”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在A处，图书馆在B处，为测量A，B两地之间的距离，某同学选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A，AC，BC；②测量∠A，∠B，BC；③测量∠C，AC，BC；④测量∠A，∠C，∠B.其中一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是________．‎ ‎②③　[①测量∠A，AC，BC，已知两边及对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；‎ ‎②测量∠A，∠B，BC，已知两角及一边，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；‎ ‎③测量∠C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；‎ ‎④测量∠A，∠C，∠B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离．‎ 综上，一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是②③.]‎ 知识：‎ ‎1．测量距离问题包括两种情况 ‎(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离．‎ ‎(2)测量两个不可到达点之间的距离．‎ 第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2)．‎ 图1　　　　　　图2‎ ‎2．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．‎ ‎3．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．‎ 方法：‎ 运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤 ‎(1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)．‎ ‎(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型．‎ ‎(3)求解：利用正、余弦定理解三角形，求得数学模型的解．‎ ‎(4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．‎ ‎1. 如图所示，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是(　　)‎ A．a，c，α B．b，c，α C．c，a，β D．b，α，γ D　[由α，γ可求出β，由α，β，b，可利用正弦定理求出BC.故选D.]‎ ‎2．台风中心从A地以‎20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心‎30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东‎40 km处，B城市处于危险区内的时间为(　　)‎ A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h B　[设台风中心移动t h，城市B处在危险区，则(20t)2＋402－2×20 t×40×cos 45°≤900，‎ 解得－≤t≤＋，‎ 所以B城市处在危险区的时间为1 h．]‎ ‎3．如图，为了测量山坡上灯塔CD的高度，某人从高为h＝40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角β＝60°，α＝30°，若山坡高为a＝35，则灯塔的高度是(　　)‎ A．20 B．25‎ C．20 D．30‎ B　[如图，延长DC交水平面于F，过B作BE⊥DC，垂足为E，则∠DBE＝‎ α，∠DAF＝β.‎ 在△ABD中，由正弦定理得，＝，‎ 则＝，‎ ‎∴AD＝.‎ 在Rt△ADF中，‎ DF＝ADsin β＝，‎ 又山坡高为a，则灯塔的高度 CD＝DF－CF＝－α ‎＝－35＝60－35＝25.]‎ ‎4．如图所示，某海轮以60海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．‎ ‎[解]　因为AB＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，‎ 所以∠APB＝30°，所以AP＝40，‎ 所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos 120°‎ ‎＝402＋402－2×40×40×＝402×3，‎ 所以BP＝40.‎ 又∠PBC＝90°，BC＝80，‎ 所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11 200，‎ 所以PC＝‎40海里．‎ 即P，C间的距离为‎40海里．‎