2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：11 14页

www.ks5u.com ‎11．4.2　平面与平面垂直 ‎[课程目标] 1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；2.理解并掌握平面与平面垂直的定义； 3.掌握平面与平面垂直的判定定理，并能熟练应用； 4.掌握平面与平面垂直的性质定理，并能熟练应用．‎ 知识点一　　二面角 ‎[填一填]‎ ‎1．定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．‎ ‎2．表示：以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角αABβ.如果C和D分别是半平面α和β内的点，那么这个二面角也可记作CABD.‎ ‎3．在二面角αlβ的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．‎ 二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角．‎ ‎[答一答]‎ ‎1．确定二面角的平面角的方法有哪些？‎ 提示：方法1：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如下图：‎ 方法2：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角．如图：‎ 注意：①在平面角的定义中，平面角的两边必须有共同的顶点且分别在两个半平面内；平面角的两边必须都与棱垂直．‎ ‎②“特殊”两字的作用，在于平面角的大小易于求出．‎ 知识点二　　　面面垂直的判定定理与性质定理 ‎[填一填]‎ ‎1．如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.‎ ‎2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 ‎[答一答]‎ ‎2．面面垂直的判定定理的条件有几个，减少一个条件定理是否还成立？‎ 提示：判定定理有两个条件，若去掉一个条件，则定理不一定成立．‎ ‎3．若两个平面互相垂直，一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与另一个平面的关系是什么？‎ 提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则a⊥α，∴a∥l.∴l∥β或l⊂β，即直线l与平面β平行或在平面β内．‎ 类型一　　有关概念和定理的判断 ‎[例1]　下列各命题中正确的序号有________(填序号)．‎ ‎(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行；‎ ‎(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边；‎ ‎(3)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a 的平面内；‎ ‎(4)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．‎ ‎[解析]　直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行，②异面，因此(1)错．‎ 垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，所以(2)对．‎ ‎①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第①个命题知：过点A垂直于直线a的平面唯一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，所以(3)对．‎ 三条共点直线两两垂直，设为a，b，c且a，b，c共点于O，∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，且b，c确定一平面，设为α，则a⊥α.同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由a，b确定的平面．所以(4)对．‎ ‎[答案]　(2)(3)(4)‎ 处理此类问题关键是正确理解概念及定理所具备的条件，只有具备相应条件，才能得到相应结论.‎ ‎[变式训练1]　若l，m是互不相同的空间直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题中是真命题的是(　D　)‎ A．若l∥α，m∥α，l⊂β，m⊂β，则α∥β B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β C．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β 解析：A中未说明l，m相交，只有直线l，m相交时，才能得到α∥β；B中l可能在β 内或与其相交、平行，故B不正确；C中平面的垂直关系不具有传递性，α与γ可能斜交、平行；D中若l∥β，则在β内能找到一条直线l′使l′∥l，而l⊥α，则有l′⊥α，根据面面垂直的判定定理可得α⊥β.‎ 类型二　平面与平面垂直的判定定理 ‎[例2]　如图，四棱锥PABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．‎ ‎(1)求证：CE∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.‎ ‎[证明]　‎ ‎(1)如图，连接CF.因为F为AB的中点，所以AF＝AB.又CD＝AB，所以AF＝CD.‎ 又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．‎ 因此CF∥AD.‎ 又CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD.‎ 因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.‎ 因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.‎ 又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.‎ ‎(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.‎ 又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，‎ 因此AB⊥平面EFG.‎ 又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.‎ 又AB∥CD，所以MN∥AB.因此MN⊥平面EFG.‎ 又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.‎ 本题通过空间几何体中的平行与垂直的证明，考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定及性质定理，平面与平面、直线与平面垂直的判定定理等.本题对空间想象能力提出了较高要求.‎ ‎[变式训练2]　如图所示，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.‎ 证明：由于AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC.‎ 又由于PA⊥⊙O所在的平面，BC在⊙O所在的平面内，‎ ‎∴PA⊥BC(线面垂直的性质定理)．‎ ‎∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC(线面垂直的判定定理)．‎ 又BC⊂平面PBC，‎ ‎∴平面PAC⊥平面PBC(面面垂直的判定定理)．‎ 类型三　　平面与平面垂直的性质定理 ‎[例3]　如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.‎ 求证：BC⊥AB.‎ ‎[证明]　如图，在平面PAB内，‎ 作AD⊥PB于点D.‎ ‎∵平面PAB⊥平面PBC，‎ 且平面PAB∩平面PBC＝PB，‎ AD⊂平面PAB，‎ ‎∴AD⊥平面PBC，‎ 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.‎ 又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，‎ 又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.‎ 又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.‎ 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.‎ ‎[变式训练3]　如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点．‎ ‎(1)求证：EF∥平面PAB；‎ ‎(2)若AP＝AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明AF⊥平面PCD.‎ 证明：(1)因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，所以EF∥CD，又在矩形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB，‎ 又AB⊂面PAB，EF⊄面PAB，所以EF∥平面PAB.‎ ‎(2)在矩形ABCD中，AD⊥CD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，‎ 所以CD⊥平面PAD，所以AF⊂平面PAD，所以CD⊥AF，①‎ 因为PA＝AD且F是PD的中点，所以AF⊥PD，②‎ 由①②及PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，所以AF⊥平面PCD.‎ 类型四　平面与平面垂直的判定定理、性质定理的综合应用 ‎[例4]　如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．‎ ‎(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；‎ ‎(2)是否存在实数λ，使得平面BEF⊥平面ACD.‎ ‎[解]　(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，‎ ‎∴AB⊥CD.‎ ‎∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.‎ 又∵＝＝λ(0<λ<1)，‎ ‎∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.‎ 又∵EF⊂平面BEF，‎ ‎∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.‎ ‎(2)假设存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD.‎ ‎∵平面BEF∩平面ACD＝EF，AC⊥EF，BE⊂平面BEF，‎ ‎∴AC⊥平面BEF，∴BE⊥AC.‎ ‎∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，‎ ‎∴BD＝，∴AB＝tan60°＝，‎ ‎∴AC＝＝，‎ 由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝，‎ ‎∴λ＝＝.‎ 故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.‎ 立体几何中的探索性问题 (1)探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么.解答此类问题，先观察与尝试给出条件再给出证明.‎ (2)探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么.解答此类问题，常从条件出发，探索出要求的结论是什么.对于探索的结论是否存在问题.求解时，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾的结论.‎ ‎[变式训练4]　如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.‎ ‎(1)求证：AD⊥PB；‎ ‎(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．‎ 解：‎ ‎(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，BD，如图．‎ 因为△PAD为等边三角形，‎ 所以PG⊥AD.‎ 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，‎ 所以△ABD为等边三角形，‎ 又因为G为AD的中点，所以BG⊥AD.‎ 又因为BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PGB，‎ 所以AD⊥平面PGB.‎ 因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.‎ ‎(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.‎ 证明：如图，设F为PC的中点，则在△PBC中，EF∥PB.‎ 在菱形ABCD中，GB∥DE，而PB∩GB＝B，EF∩DE＝E，PB，GB⊂平面PGB，EF，DE⊂平面DEF，‎ 所以平面DEF∥平面PGB，由(1)得，PG⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，所以PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，‎ 所以平面PGB⊥平面ABCD，‎ 所以平面DEF⊥平面ABCD.‎ 类型五　　二面角问题 ‎[例5]　已知Rt△ABC，斜边BC⊂平面α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角ABCO的大小．‎ ‎[分析]　选特殊点O，作OD⊥BC，连接AD.若AD⊥BC，则∠ADO即为二面角ABCO的平面角，所以只需证明AD⊥BC即可．‎ ‎[解]　‎ 如图，在平面α内，过点O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD.设OC＝a.‎ ‎∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC.‎ 又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.‎ 而AD⊂平面AOD，∴AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADO是二面角ABCO的平面角．‎ 由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，知AO⊥OB，AO⊥OC.‎ 又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，OC＝a，‎ ‎∴AO＝a，AC＝a，AB＝‎2a.‎ 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，‎ ‎∴BC＝＝a，‎ ‎∴AD＝＝＝a.‎ 在Rt△AOD中，sin∠ADO＝＝＝，‎ ‎∴∠ADO＝60°，即二面角ABCO的大小是60°.‎ 求二面角问题的关键是找出(或作出) 该二面角的平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个平面内一点作另一平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.这种方法通用于求二面角的所有题目，其步骤可简写为“一找、二证、三求”.‎ ‎[变式训练5]　如图，在四面体SABC中，若△BAC是边长为a的正三角形，且SA⊥底面ABC，AS＝a，求二面角ABCS的大小．‎ 解：设D是BC的中点，连接AD，SD.‎ 由△ABC是等边三角形知AD⊥BC.‎ ⇒BC⊥平面SAD，‎ ⇒SD⊥BC.‎ ‎∴∠ADS是二面角ABCS的平面角．‎ 在Rt△SAD中，tan∠ADS＝＝＝，‎ ‎∴∠ADS＝30°.‎ 即所求二面角ABCS的大小为30°.‎ ‎1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(　D　)‎ A．0个 B．1个 C．无数个 D．1个或无数个 解析：两点连线垂直于α时有无数个，不垂直于α 时，只有一个．‎ ‎2．下列命题中错误的是(　D　)‎ A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析：对于D，设平面α和平面β的交线为l，则交线l在平面α内，明显可得交线l在平面β内，所以交线l不可能垂直于平面β，平面α内所有直线都垂直于平面β是错误的．‎ ‎3．已知平面α⊥平面β，则下列命题中真命题的个数是(　B　)‎ ‎①α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线；‎ ‎②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；‎ ‎③α内的任意一条直线必垂直于β；‎ ‎④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α.‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ 解析：①设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；②β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线，为真命题；③α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题；④过β内任意一点作α与β的交线的垂线，则这条直线必垂直于α，为真命题．‎ ‎4．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为45°和30°.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′B′，则ABA′B′等于2.‎ 解析：如图：由已知得AA′⊥平面β，∠ABA′＝30°，BB′⊥平面α，∠BAB′＝45°.设AB＝a，则BA′＝a，BB′＝a，在Rt△BA′B′中，A′B′＝a，∴＝2.‎