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- 2021-06-16 发布
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第
6
讲 指数式与指数函数
课标要求
考情风向标
1.
通过具体实例
(
如细胞的分裂,考古中
所用的碳
14
的衰减,药物在人体内残留
量的变
化等
)
,了解指数函数模型的实际
背景
.
2.
理解有理指数幂的含义,通过具体实例
了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算
.
3.
理解指数函数的概念和意义,能借助计
算器或计算机画出具体指数函数的图
象,探索并理解指数函数的单调性与特
殊点
.
4.
在解决简单实际问题的过程中,体会指
数函数是一类重要的函数模型
1.
熟练掌握指数的运算是学
好该部分知识的基础,较高
的运算能力是高考得分的
保障,所以熟练掌握这一基
本技能是重中之重
.
2.
本节复习,还应结合具体
实例了解指数函数的模型,
利用图象掌握指数函数的
性质
.
重点解决:
(1)
指数幂
的运算;
(2)
指数函数的图象
与性质
正分数
指数幂
正数的正分
数指数幂
0
的正分数
指数幂
0
1.
分数指数幂
负分数
指数幂
正数的负分
数指数幂
0
的负分数
指数幂
没有意义
有理数指
数幂的运
算性质
(1)
a
r
a
s
=
________(
a
>0
,
r
,
s
∈
Q
).
(2)(
a
r
)
s
=
a
rs
(
a
>0
,
r
,
s
∈
Q
).
(3)(
ab
)
r
=
________(
a
>
0
,
b
>
0
,
r
∈
Q
)
(
续表
)
a
r
+
s
a
r
b
r
指数函数
y
=
a
x
(
a
>1)
y
=
a
x
(0<
a
<1)
图象
定义域
R
R
值域
(0
,+∞
)
(0
,+∞
)
定点
过定点
(0,1)
过定点
________
单调性
在
R
上是
增函数
在
R
上是
________
性质
当
x
>
0
时,
y
>
1
;
当
x
<
0
时,
0
<
y
<
1
当
x
>
0
时,
________
;
当
x
<
0
时,
________
2.
指数函数的图象与性质
0
<
y
<
1
y
>
1
(0,1)
减函数
)
1.
下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是
(
A.
关于原点对称
C.
关于
x
轴对称
B.
关于直线
y
=
x
对称
D.
关于
y
轴对称
C
D
A
B
C
D
D
4.
已知
0<
a
<1
,
x
>
y
>1
,则下列各式中正确的是
(
)
B
A.
x
a
<
y
a
B.
a
x
<
a
y
C
.
a
x
>
a
y
D.
a
x
>
y
a
考点
1
指数幂运算
例
1
:计
算:
思维点拨:
根式的形式通常写成分数指数幂后再进行运算
.
【
规律方法
】
因为幂的运算性质都是以指数式的形式给出
的,所以对既有根式又有指数式的代数式进行化简时,要先将
含有根号和分数指数幂
.
考点
2
指数函数的图象
A.(16,32)
C.(17,33)
B.(18,34)
D.(6,7)
图
D4
答案:
C
(2)
已知实数
a
,
b
满足等式
2018
a
=
2019
b
,下列五个关系式:
①
0<
b
<
a
;②
a
<
b
<0
;③
0<
a
<
b
;④
b
<
a
<0
;⑤
a
=
b
.
其中不可能
)
成立的关系式有
(
A.1
个
C.3
个
B.2
个
D.4
个
解析:
在同一坐标系下画出
y
=
2018
x
与
y
=
2019
x
的图象,
如图
D5
,结合
图象可知①②⑤正确,
∴
不可能成立的有
2
个,选
B.
图
D5
答案:
B
(3)
(2018
年湖北黄冈质检
)
函数
y
=
a
x
(
a
>0
,
a
≠
1)
与
y
=
x
b
)
的图象如图
2-6-1
,则下列不等式一定成立的是
(
图
2-6-1
A.
b
a
>0
C.
ab
>1
B.
a
+
b
>0
D.log
a
2>
b
解析:
由图可知,
y
=
a
x
单调递增,则
a
>1
;
y
=
x
b
单调递减,
则
b
<0.
A
:
b
a
>0
不一定成立,如
a
=
3
,
b
=-
1
;
B
:
a
+
b
>0
不一定成立,如
a
=
2
,
b
=-
3
;
C
:
ab
>1
不成立;故选
D.
答案:
D
【
规律方法
】
实数
a
,
b
满足等式
2018
a
=
2019
b
,就是要判
断在同一平面直角坐标系中函数
y
=
2018
x
,
y
=
2019
x
的函数值
何时相等,利用两个函数的图象与直线
y
=
m
的交点来判断
.
考点
3
指数函数的性质及应用
答案:
D
答案:
B
答案:
B
【
规律方法
】
本题以分段函数为切入点,深入考查了同学
们对函数概念的理解与掌握,同时也考查了同学们对指数函数
性质的理解与运用,渗透着对不等式的考查,是一个多知识点
的综合题
.
【
跟踪训练
】
A.
是奇函数,且在
R
上是增函数
B.
是偶函数,且在
R
上是增函数
C.
是奇函数,且在
R
上是减函数
D.
是偶函数,且在
R
上是减函数
答案:
A
思想与方法
⊙
分类讨论与数形结合思想的应用
例题:
(1)
已知函数
f
(
x
)
=
|2
x
-
1|
-
a
,若存在实数
x
1
,
x
2
(
x
1
≠
x
2
)
,使得
f
(
x
1
)
=
f
(
x
2
)
=-
1
,则
a
的取值范围是
________.
解析:
令
f
(
x
)
=-
1
,
则
|2
x
-
1|
=
a
-
1.
据题意,直线
y
=
a
-
1
与函数
y
=
|2
x
-
1|
的图象有两个不同的交点,由图可知,
0
<
a
-
1
<
1
,即
1
<
a
<
2.
答案:
(1,2)
(2)
若关于
x
的方程
|
a
x
-
1|
=
2
a
(
a
>0
,且
a
≠1)
有两个不相等
的实根,则实数
a
的取值范围是
(
A.(0,1)∪(1
,+∞
)
)
B.(0,1)
(1)
(2)
图
2-6-2
答案:
D
【
规律方法
】
(1)
在指数函数解
析式中,必须时刻注意底数
a
>0
,且
a
≠1
,对于指数函数的底数
a
,在不清楚其取值范围时,
应运用分类讨论的数学思想,分
a
>1
和
0<
a
<1
两种情况进行讨
论,以便确定其性质
.
(2)
一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指
数型函数图象,运用数形结合的思想求解
.
画指数函数
y
=
a
x
(
a
>0
,且
a
≠1)
的图象,应抓住三个关键点:
(1
,
a
)
,
(0,1)
,
,再
利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换
得到其他图象
.
【
跟踪训练
】
2.
已知函数
f
(
x
)
=
|2
x
-
1|
,
a
<
b
<
c
,且
f
(
a
)>
f
(
c
)>
f
(
b
).
(1)
则下列结论中,一定成立的是
(
)
A.
a
<0
,
b
<0
,
c
<0
B.
a
<0
,
b
≥
0
,
c
>0
C.2
-
a
<2
c
D.2
a
+
2
c
<2
(2)
若函数
f
(
x
)
在
(
k
-
1
,
k
+
1)
上不单调,则
k
的取值范围是
_________.
解析:
(1)
作出函数
f
(
x
)
=
|2
x
-
1|
的图象
(
如图
D6
中实线所
示
)
,又
a
<
b
<
c
,且
f
(
a
)>
f
(
c
)>
f
(
b
)
,结合图象知
f
(
a
)<1
,
a
<0
,
c
>0
,
∴
0<2
a
<1,2
c
>1
,
∴
f
(
a
)
=
|2
a
-
1|
=
1
-
2
a
,
图
D6
f
(
c
)
=
|2
c
-
1|
=
2
c
-
1.
又
f
(
a
)>
f
(
c
)
,即
1
-
2
a
>2
c
-
1
,
∴
2
a
+
2
c
<2.
(2)
由图可知
k
-
1<0<
k
+
1
,解得-
1<
k
<1.
答案:
(1)D
(2)
-
1<
k
<1
1.
分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系,因
此根式的运算可以先转化成分数指数幂的形式再运算,依据为
要注意运算的顺序
.
2.
判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令
x
=
1
得到底数的值再进行比较
.
3.
比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相
同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数
相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小
.
4.
指数函数
y
=
a
x
(
a
>
0
,且
a
≠1)
的单调性和底数
a
有关,
当底数
a
与
1
的大小关系不确定时应注意分类讨论
.
5.
与指数函数有关的复合函数的单调性,要弄清复合函数
由哪些基本初等函数复合而成;而与其有关的最值问题,往往
转化为二次函数的最值问题
.
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