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  • 2021-06-16 发布

2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第6讲指数式与指数函数课件

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第 6 讲 指数式与指数函数 课标要求 考情风向标 1. 通过具体实例 ( 如细胞的分裂,考古中 所用的碳 14 的衰减,药物在人体内残留 量的变 化等 ) ,了解指数函数模型的实际 背景 . 2. 理解有理指数幂的含义,通过具体实例 了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算 . 3. 理解指数函数的概念和意义,能借助计 算器或计算机画出具体指数函数的图 象,探索并理解指数函数的单调性与特 殊点 . 4. 在解决简单实际问题的过程中,体会指 数函数是一类重要的函数模型 1. 熟练掌握指数的运算是学 好该部分知识的基础,较高 的运算能力是高考得分的 保障,所以熟练掌握这一基 本技能是重中之重 . 2. 本节复习,还应结合具体 实例了解指数函数的模型, 利用图象掌握指数函数的 性质 . 重点解决: (1) 指数幂 的运算; (2) 指数函数的图象 与性质 正分数 指数幂 正数的正分 数指数幂 0 的正分数 指数幂 0 1. 分数指数幂 负分数 指数幂 正数的负分 数指数幂 0 的负分数 指数幂 没有意义 有理数指 数幂的运 算性质 (1) a r a s = ________( a >0 , r , s ∈ Q ). (2)( a r ) s = a rs ( a >0 , r , s ∈ Q ). (3)( ab ) r = ________( a > 0 , b > 0 , r ∈ Q ) ( 续表 ) a r + s a r b r 指数函数 y = a x ( a >1) y = a x (0< a <1) 图象 定义域 R R 值域 (0 ,+∞ ) (0 ,+∞ ) 定点 过定点 (0,1) 过定点 ________ 单调性 在 R 上是 增函数 在 R 上是 ________ 性质 当 x > 0 时, y > 1 ; 当 x < 0 时, 0 < y < 1 当 x > 0 时, ________ ; 当 x < 0 时, ________ 2. 指数函数的图象与性质 0 < y < 1 y > 1 (0,1) 减函数 ) 1. 下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是 ( A. 关于原点对称 C. 关于 x 轴对称 B. 关于直线 y = x 对称 D. 关于 y 轴对称 C D A B C D D 4. 已知 0< a <1 , x > y >1 ,则下列各式中正确的是 ( ) B A. x a < y a    B. a x < a y     C . a x > a y    D. a x > y a 考点 1 指数幂运算 例 1 :计 算: 思维点拨: 根式的形式通常写成分数指数幂后再进行运算 . 【 规律方法 】 因为幂的运算性质都是以指数式的形式给出 的,所以对既有根式又有指数式的代数式进行化简时,要先将 含有根号和分数指数幂 . 考点 2   指数函数的图象 A.(16,32) C.(17,33) B.(18,34) D.(6,7) 图 D4 答案: C (2) 已知实数 a , b 满足等式 2018 a = 2019 b ,下列五个关系式: ① 0< b < a ;② a < b <0 ;③ 0< a < b ;④ b < a <0 ;⑤ a = b . 其中不可能 ) 成立的关系式有 ( A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 解析: 在同一坐标系下画出 y = 2018 x 与 y = 2019 x 的图象, 如图 D5 ,结合 图象可知①②⑤正确, ∴ 不可能成立的有 2 个,选 B. 图 D5 答案: B (3) (2018 年湖北黄冈质检 ) 函数 y = a x ( a >0 , a ≠ 1) 与 y = x b ) 的图象如图 2-6-1 ,则下列不等式一定成立的是 ( 图 2-6-1 A. b a >0 C. ab >1 B. a + b >0 D.log a 2> b 解析: 由图可知, y = a x 单调递增,则 a >1 ; y = x b 单调递减, 则 b <0. A : b a >0 不一定成立,如 a = 3 , b =- 1 ; B : a + b >0 不一定成立,如 a = 2 , b =- 3 ; C : ab >1 不成立;故选 D. 答案: D 【 规律方法 】 实数 a , b 满足等式 2018 a = 2019 b ,就是要判 断在同一平面直角坐标系中函数 y = 2018 x , y = 2019 x 的函数值 何时相等,利用两个函数的图象与直线 y = m 的交点来判断 . 考点 3   指数函数的性质及应用 答案: D 答案: B 答案: B 【 规律方法 】 本题以分段函数为切入点,深入考查了同学 们对函数概念的理解与掌握,同时也考查了同学们对指数函数 性质的理解与运用,渗透着对不等式的考查,是一个多知识点 的综合题 . 【 跟踪训练 】 A. 是奇函数,且在 R 上是增函数 B. 是偶函数,且在 R 上是增函数 C. 是奇函数,且在 R 上是减函数 D. 是偶函数,且在 R 上是减函数 答案: A 思想与方法 ⊙ 分类讨论与数形结合思想的应用 例题: (1) 已知函数 f ( x ) = |2 x - 1| - a ,若存在实数 x 1 , x 2 ( x 1 ≠ x 2 ) ,使得 f ( x 1 ) = f ( x 2 ) =- 1 ,则 a 的取值范围是 ________. 解析: 令 f ( x ) =- 1 , 则 |2 x - 1| = a - 1. 据题意,直线 y = a - 1 与函数 y = |2 x - 1| 的图象有两个不同的交点,由图可知, 0 < a - 1 < 1 ,即 1 < a < 2. 答案: (1,2) (2) 若关于 x 的方程 | a x - 1| = 2 a ( a >0 ,且 a ≠1) 有两个不相等 的实根,则实数 a 的取值范围是 ( A.(0,1)∪(1 ,+∞ ) ) B.(0,1) (1) (2) 图 2-6-2 答案: D 【 规律方法 】 (1) 在指数函数解 析式中,必须时刻注意底数 a >0 ,且 a ≠1 ,对于指数函数的底数 a ,在不清楚其取值范围时, 应运用分类讨论的数学思想,分 a >1 和 0< a <1 两种情况进行讨 论,以便确定其性质 . (2) 一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指 数型函数图象,运用数形结合的思想求解 . 画指数函数 y = a x ( a >0 ,且 a ≠1) 的图象,应抓住三个关键点: (1 , a ) , (0,1) , ,再 利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换 得到其他图象 . 【 跟踪训练 】 2. 已知函数 f ( x ) = |2 x - 1| , a < b < c ,且 f ( a )> f ( c )> f ( b ). (1) 则下列结论中,一定成立的是 (    )    A. a <0 , b <0 , c <0 B. a <0 , b ≥ 0 , c >0 C.2 - a <2 c D.2 a + 2 c <2 (2) 若函数 f ( x ) 在 ( k - 1 , k + 1) 上不单调,则 k 的取值范围是 _________. 解析: (1) 作出函数 f ( x ) = |2 x - 1| 的图象 ( 如图 D6 中实线所 示 ) ,又 a < b < c ,且 f ( a )> f ( c )> f ( b ) ,结合图象知 f ( a )<1 , a <0 , c >0 , ∴ 0<2 a <1,2 c >1 , ∴ f ( a ) = |2 a - 1| = 1 - 2 a , 图 D6 f ( c ) = |2 c - 1| = 2 c - 1. 又 f ( a )> f ( c ) ,即 1 - 2 a >2 c - 1 , ∴ 2 a + 2 c <2. (2) 由图可知 k - 1<0< k + 1 ,解得- 1< k <1. 答案: (1)D (2) - 1< k <1 1. 分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系,因 此根式的运算可以先转化成分数指数幂的形式再运算,依据为 要注意运算的顺序 . 2. 判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令 x = 1 得到底数的值再进行比较 . 3. 比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相 同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数 相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小 . 4. 指数函数 y = a x ( a > 0 ,且 a ≠1) 的单调性和底数 a 有关, 当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论 . 5. 与指数函数有关的复合函数的单调性,要弄清复合函数 由哪些基本初等函数复合而成;而与其有关的最值问题,往往 转化为二次函数的最值问题 .