山东专用2021版高考数学一轮复习第6章不等式第3讲简单的线性规划课件 66页

第六章 不等式　推理与证明 第三讲　简单的线性规划 1 　　知识梳理 • 双基自测 2 　 　 考点突破 • 互动探究 3 　 　 名师讲坛 • 素养提升 知识梳理 • 双基自测 知识点一　二元一次不等式表示的平面区域 (1) 在平面直角坐标系中，直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 将平面内的所有点分成三类：一类在直线 Ax ＋ By ＋ C __________ 上，另两类分居直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的两侧，其中一侧半平面的点的坐标满足 Ax ＋ By ＋ C __________ ，另一侧半平面的点的坐标满足 Ax ＋ By ＋ C __________. (2) 二元一次不等式 Ax ＋ By ＋ C >0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 某一侧的平面区域且不含边界，作图时边界直线画成 __________ ，当我们在坐标系中画不等式 Ax ＋ By ＋ C ≥0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，此时边界直线画成 __________. ＝ 0 　 >0 　 <0 　 虚线　 实线　 知识点二　二元一次不等式 ( 组 ) 表示的平面区域的确定 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用 “ 直线定界，特殊点定域 ” 的方法． (1) 直线定界，即若不等式不含 __________ ，则应把直线画成虚线；若不等式含有 __________ ，把直线画成实线． (2) 特殊点定域，由于在直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 同侧的点，实数 Ax ＋ By ＋ C 的值的符号都 __________ ，故为确定 Ax ＋ By ＋ C 的值的符号，可采用 __________ ，如取 (0,0) 、 (0,1) 、 (1,0) 等点， 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的 __________. 等号　 等号　 相同　 特殊点法　 公共部分　 知识点三　线性规划中的基本概念 不等式 ( 组 ) 名称 意义 约束条件 由变量 x ， y 组成的 __________ 线性约束条件 由 x ， y 的 __________ 不等式 ( 或方程 ) 组成的不等式 ( 组 ) 目标函数 关于 x ， y 的函数 __________ ，如 z ＝ 2 x ＋ 3 y 等 线性目标函数 关于 x ， y 的 __________ 解析式 可行解 满足约束条件的解 __________ 可行域 所有可行解组成的 __________ 最优解 使目标函数取得 __________ 或 __________ 的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的 __________ 或 __________ 问题 一次 解析式 一次 ( x ， y ) 集合 最大值 最小值 最大值 最小值 题组一　走出误区 1 ． ( 多选题 ) 下列命题正确的是 ( 　　 ) A ．不等式 Ax ＋ By ＋ C >0 表示的平面区域一定在直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的上方 B ．点 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) 在直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 同侧的充要条件是 ( Ax 1 ＋ By 1 ＋ C )( Ax 2 ＋ By 2 ＋ C )>0 ，异侧的充要条件是 ( Ax 1 ＋ By 1 ＋ C )( Ax 2 ＋ By 2 ＋ C )<0 C ．最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解 D ．目标函数 z ＝ ax ＋ by ( a ≠0) 中， z 的几何意义是直线 ax ＋ by － z ＝ 0 在 y 轴上的截距 BC 　 C C [ 解析 ] 　 作出可行域如图中阴影部分所示． A (2 ，－ 1) ， B ( － 1 ，－ 1) ， 显然当直线 l ： z ＝ 2 x ＋ y ＋ 1 经过 A 时 z 取得最大值，且 z max ＝ 4 ， 当直线 l 过点 B 时， z 取得最小值，且 z min ＝－ 2 ，故选 C ． － 2 8 1 － 3 [ 解析 ] 　 由线性约束条件画出可行域，为图中的 △ ABC 及其内部．易知 A ( － 1 ，－ 1) ， B (2 ，－ 1) ， C (2,3) ． 设 z ＝ y － x ，平移直线 y － x ＝ 0 ，当直线过点 C 时， z max ＝ 3 － 2 ＝ 1 ， 当直线过点 B 时， z min ＝－ 1 － 2 ＝－ 3. 考点突破 • 互动探究 考点一　二元一次不等式 ( 组 ) 表示的平面区域 —— 自主练透 C 例 1 D A (1) 画平面区域的步骤： ① 画线：画出不等式所对应的方程表示的直线． ② 定侧：将某个区域内的特殊点的坐标代入不等式，根据 “ 同侧同号、异侧异号 ” 的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧，常用的特殊点为 (0,0) ， (±1,0) ， (0 ， ±1) ． ③ 求 “ 交 ” ：如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域，这种方法俗称 “ 直线定界，特殊点定域 ” ． (2) 计算平面区域的面积时，通常是先画出不等式组所对应的平面区域，然后观察区域的形状，求出有关的交点坐标、线段长度，最后根据相关图形的面积公式进行计算，如果是不规则图形，则可通过割补法计算面积． (3) 判断不等式表示的平面区域和一般采用 “ 代点验证法 ” ． 例 2 6 [ 解析 ] 　 本题主要考查线性规划．由 x ， y 满足的约束条件画出对应的可行域 ( 如图中阴影部分所示 ) ． 由图知当直线 3 x ＋ 2 y － z ＝ 0 经过点 A (2,0) 时， z 取得最大值， z max ＝ 2 × 3 ＝ 6. [ 引申 1] 本例条件下 z ＝ 3 x ＋ 2 y 的最小值为 __________. － 18 [ － 6,6] [ 引申 3] 本例条件下， z ＝ |3 x － 2 y ＋ 1| 的最大值为 __________ ，此时的最优解为 __________. [ 解析 ] 　 由引申 2 得－ 6 ≤ 3 x － 2 y ≤ 6 ， ∴ － 5 ≤ 3 x － 2 y ＋ 1 ≤ 7 ， ∴ 0 ≤ z ≤ 7 ， z 最大值为 7 ，此时最优解为 (2,0) ． 7 (2,0) 利用线性规划求目标函数最值的方法： 方法 1 ： ① 作图 —— 画出线性约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线 l .( 注意表示目标函数的直线 l 的斜率与可行域边界所在直线的斜率的大小关系 ) ． ② 平移 —— 将 l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置． ③ 求值 —— 解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 方法 2 ：解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值． 例 3 C 　 C 　 (2) 解法一：当 m ≤ 0 时，可行域 ( 示意图 m < － 1) 如图中阴影部分所示， z ＝ 2 x － y ⇔ y ＝ 2 x － z ，显然直线的纵截距不存在最小值，从而 z 不存在最大值，不合题意， 求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中．求解步骤为： ① 注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来； ② 在符合题意的可行域里，寻求最优解． 也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应参数的值，然后进行检验，找出符合题意的参数值． 例 4 AD 　 9 2 　　　　 (2020 · 宁夏银川一中月考 ) 某汽车公司的 A ， B 两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车，若 A 厂每小时可装配 1 辆甲型车和 2 辆乙型车， B 厂每小时可装配 3 辆甲型车和 1 辆乙型车，现要装配 40 辆甲型车和 40 辆乙型车，若要使所费的总工作时数最少，则这两个装配厂的工作时数分别为 ( 　　 ) A ． 16,8 B ． 15,9 C ． 17,7 D ． 14,10 [ 分析 ] 　 根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最小值取法，即得结果． 考点三　线性规划的实际应用 —— 师生共研 A 　 例 5 利用线性规划解决实际问题的一般步骤 (1) 审题：仔细阅读，明确题意，借助表格或图形理清变量之间的关系． (2) 设元：设问题中要求其最值的量为 z ，起关键作用的 ( 或关联较多的 ) 量为未知量 x ， y ，并列出约束条件，写出目标函数． (3) 作图：准确作出可行域，确定最优解． (4) 求解：代入目标函数求解 ( 最大值或最小值 ) ． (5) 检验：根据结果，检验反馈． 〔 变式训练 2〕 (2020 · 四川广安、眉山、遂宁、内江诊断 ) 某车间租赁甲、乙两种设备生产 A ， B 两类产品，甲种设备每天能生产 A 类产品 8 件和 B 类产品 15 件，乙种设备每天能生产 A 类产品 10 件和 B 类产品 25 件，已知设备甲每天的租赁费 300 元，设备乙每天的租赁费 400 元，现车间至少要生产 A 类产品 100 件， B 类产品 200 件，所需租赁费最少为 __________ 元． 3 800 　 名师讲坛 • 素养提升 非线性目标函数的最值问题 例 6 D 　 2 B