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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评(八)
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.在等差数列{an}中,a3=0,a7-2a4=-1,则公差 d 等于( )
A.-2 B.-1
2
C.1
2 D.2
【解析】 ∵a7-2a4=(a3+4d)-2(a3+d)=-a3+2d,
又∵a3=0,
∴2d=-1,∴d=-1
2.
【答案】 B
2.(2015·重庆高考)在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2,则 a6=( )
A.-1 B.0
C.1 D.6
【解析】 ∵{an}为等差数列,∴2a4=a2+a6,∴a6=2a4-a2,即 a6=2×2
-4=0.
【答案】 B
3.在等差数列{an}中,已知 a1=1
3
,a2+a5=4,an=35,则 n=( )
A.50 B.51
C.52 D.53
【解析】 依题意,a2+a5=a1+d+a1+4d=4,代入 a1=1
3
,得 d=2
3.
所以 an=a1+(n-1)d=1
3
+(n-1)×2
3
=2
3n-1
3
,
令 an=35,解得 n=53.
【答案】 D
4.等差数列{an}的公差 d<0,且 a2·a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公
式是( )
A.an=2n-2(n∈N*)
B.an=2n+4(n∈N*)
C.an=-2n+12(n∈N*)
D.an=-2n+10(n∈N*)
【解析】 由
a2·a4=12,
a2+a4=8,
d<0
⇒ a2=6,
a4=2
⇒ a1=8,
d=-2,
所以 an=a1+(n-1)d
=8+(n-1)(-2),
即 an=-2n+10(n∈N*).
【答案】 D
5.下列命题中正确的个数是( )
(1)若 a,b,c 成等差数列,则 a2,b2,c2 一定成等差数列;
(2)若 a,b,c 成等差数列,则 2a,2b,2c 可能成等差数列;
(3)若 a,b,c 成等差数列,则 ka+2,kb+2,kc+2 一定成等差数列;
(4)若 a,b,c 成等差数列,则1
a
,1
b
,1
c
可能成等差数列.
A.4 个 B.3 个
C.2 个 D.1 个
【解析】 对于(1),取 a=1,b=2,c=3⇒a2=1,b2=4,c2=9,(1)错.
对于(2),a=b=c⇒2a=2b=2c,(2)正确;
对于(3),∵a,b,c 成等差数列,
∴a+c=2b.
∴(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4
=2(kb+2),(3)正确;
对于(4),a=b=c≠0⇒1
a
=1
b
=1
c
,(4)正确.综上可知选 B.
【答案】 B
二、填空题
6.(2015·陕西高考)中位数为 1 010 的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,
则该数列的首项为 .
【解析】 设数列首项为 a1,则a1+2 015
2
=1 010,故 a1=5.
【答案】 5
7.数列{an}是等差数列,且 an=an2+n,则实数 a= .
【解析】 ∵{an}是等差数列,∴an+1-an=常数,
∴[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数,∴2a=0,∴a=0.
【答案】 0
8.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6= .
【解析】 设公差为 d,则 a5-a2=3d=6,
∴a6=a3+3d=7+6=13.
【答案】 13
三、解答题
9.在等差数列{an}中,已知 a1=112,a2=116,这个数列在 450 到 600 之间
共有多少项? 【导学号:05920066】
【解】 由题意,得
d=a2-a1=116-112=4,
所以 an=a1+(n-1)d=112+4(n-1)=4n+108.
令 450≤an≤600,
解得 85.5≤n≤123,又因为 n 为正整数,故有 38 项.
10.数列{an}满足 a1=1, 1
2an+1
= 1
2an
+1(n∈N*).
(1)求证:数列
1
an 是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
【解】 (1)证明:由 1
2an+1
= 1
2an
+1,可得 1
an+1
- 1
an
=2,
∴数列
1
an 是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列.
(2)由(1)知 1
an
=1+(n-1)·2=2n-1,
∴an= 1
2n-1(n∈N*).
[能力提升]
1.首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是
( )
A.
8
3
,3 B.
8
3
,3
C.
8
3
,3 D.
8
3
,3
【解析】 设 an=-24+(n-1)d,
由 a9=-24+8d≤0,
a10=-24+9d>0.
解得8
30,
a8=a1+7d<0,
即 33+6d>0,
33+7d<0,
解得-33
6
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