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- 2021-06-16 发布
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第二章 2.2 基本不等式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点 用基本不等式求最值
(1)x,y是 ;
(2)①如果xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值 ;
②如果x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值 .
(3)讨论等号成立的条件是否满足.
正数
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
2.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储
费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=_____.20
解析 总运费与总存储费用之和
即x=20时取等号.
3.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利
润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则
该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元.8
6
2 题型探究
PART TWO
一、利用基本不等式变形求最值
≥6+10=16,
故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.
∴x+y=(x-1)+(y-9)+10
当且仅当x-1=y-9=3,
即x=4,y=12时上式取等号,
故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.
延伸探究 若将条件换为:x>0,y>0且2x+8y=xy,求x+y的最小值.
解 方法一 由2x+8y-xy=0,得y(x-8)=2x.
∴x+y的最小值是18.
方法二 由2x+8y-xy=0及x>0,y>0,
∴x+y的最小值是18.
反思
感悟 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”,创造应
用基本不等式及使等号成立的条件.当连续应用基本不等式时,要注意各
不等式取等号时的条件要一致,否则也不能求出最值;特别注意“1”
的代换.
9
解析 ∵x+y=1,
二、基本不等式在实际问题中的应用
那么当推广促销费投入多少万元时,此批产品的利润最大?最大利润为多少?(利润
=销售额-成本-推广促销费)
例2 “足寒伤心,民寒伤国”,精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中
华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作
中,准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销,预计该批产品销售量Q
解 设该批产品的利润为y,
当且仅当x=1时,上式取“=”,
∴当x=1时,ymax=17.
答 当推广促销费投入1万元时,利润最大为17万元.
反思
感悟 应用题,先弄清题意(审题),建立数学模型(列式),再用所掌握的数学
知识解决问题(求解),最后要回应题意下结论(作答).使用基本不等式求
最值,要注意验证等号是否成立.
跟踪训练2 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成
功发射,它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火
箭的设计生产采用了很多新技术新产品,甲工厂承担了某种产品的生产,并以x千克
/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x≤10),每小时可消耗A材料kx2+9千克,
已知每小时生产1千克该产品时,消耗A材料10千克.消耗A材料总重量为y千克,那么
要使生产1 000千克该产品消耗A材料最少,工厂应选取何种生产速度?并求消耗的A
材料最少为多少.
解 由题意,得k+9=10,即k=1,
所以生产1 000千克该产品消耗的A材料为
故工厂应选取3千克/时的生产速度,消耗的A材料最少,最少为6 000千克.
典例 围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧
墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出
口,如图.已知旧墙的维修费用为45 元/m,新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长
度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).
基本不等式在实际问题中的应用
核心素养之数学建模
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE JIAN MO
试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.
解 设矩形的另一边长为a m,
则y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360.
∵x>0,
即当x=24 m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10 440元.
素养
提升 数学建模是对现实问题进行数学抽象,建立和求解模型的过程耗时费力,
所以建立的模型要有广泛的应用才有价值.本例中所涉及的y=x+ (a>0)
就是一个应用广泛的函数模型.
3 随堂演练
PART THREE
√
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
√
1 3 4 52
3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架,在下列四
种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是
A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m√
∵要求够用且浪费最少,故选C.
1 3 4 52
4
当且仅当t=3,即a=2,b=4时等号成立.
5.设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖),按交通法规定厢宽为2 m,则车厢
的最大容积是________ m3.16
解析 设车厢的长为b m,高为a m.
1 3 4 52
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单:
(1)已知x,y是正数.
①若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值.
②若x·y=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值.
即:“和定积最大,积定和最小”.
(2)求解应用题的方法与步骤.
①审题,②建模(列式),③解模,④作答.
2.方法归纳:注意条件的变换,常用“1”的代换方法求最值.
3.常见误区:缺少等号成立的条件.
本课结束
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