高中数学第二章数列2-1数列的概念与简单表示法达标检测含解析新人教A版必修5 4页

数列 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．下列数列的关系是(　　)‎ ‎(1)1，4，9，16，25；(2)25，16，9，4，1；(3)9，4，1，16，25.‎ A．都是同一个数列 B．都不相同 C．(1)，(2)是同一数列 D．(2)，(3)是同一数列 解析：三个数列中的数字相同，但排列的顺序不同，故三个数列均不相同．‎ 答案：B ‎2．下列四个命题：‎ ‎①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；‎ ‎②数列，，，，…的通项公式是an＝；‎ ‎③数列的图象是一群孤立的点；‎ ‎④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列．‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解析：只有③正确．①中，如已知an＋2＝an＋1＋an，a1＝1，无法写出除首项外的其他项．②中an＝，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列．‎ 答案：A ‎3．数列{an}中，an＝2n2－3，则125是这个数列的第______项．(　　)‎ A．4 B．8 C．7 D．12‎ 解析：令2n2－3＝125，得n＝8或n＝－8(舍)，故125是第8项．‎ 答案：B ‎4．已知数列{an}的前4项分别为2，0，2，0，…，则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是(　　)‎ A．an＝1＋(－1)n＋1　　　 B．an＝2sin C．an＝1－cos nπ D．an＝ 解析：将n＝1，2，3，4代入各选择项，验证得an＝2sin 不能作为通项公式．‎ - 4 -‎ 答案：B ‎5．已知数列{an}满足a1>0，2an＋1＝an，则数列{an}是(　　)‎ A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 解析：因为a1>0，an＋1＝an，所以an>0，所以＝<1，所以an＋11，所以an>an－1，即{an}单调递增，所以{an}的最大项为a10＝2a9＝4a8＝…＝29·a1＝29·2＝210＝1 024.‎ 答案：1 024‎ ‎8．图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续做下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________．‎ 图1　　　　　　　　图2‎ 解析：因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎9．根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式．‎ - 4 -‎ ‎(1)，，，，…；‎ ‎(2)，2，，8，，…；‎ ‎(3)－1，2，－3，4，…；‎ ‎(4)2，22，222，2222，….‎ 解：(1)该数列分子均为偶数，分母分别为1×3，3×5，5×7，7×9，…是两个相邻奇数的乘积．‎ 故an＝.‎ ‎(2)将分母统一成2，则数列变为，，，，，…，其各项的分子为n2，所以an＝.‎ ‎(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故an＝(－1)n·n.‎ ‎(4)由9，99，999，9999，…的通项公式可知，所求通项公式为an＝(10n－1)．‎ ‎10．(1)设数列{an}满足写出这个数列的前5项；‎ ‎(2)求数列{－2n2＋9n＋3}(n∈N*)的最大项．‎ 解：(1)由题意可知：‎ a1＝1，‎ a2＝1＋＝1＋＝2，‎ a3＝1＋＝1＋＝，‎ a4＝1＋＝1＋＝，‎ a5＝1＋＝1＋＝.‎ ‎(2)令an＝－2n2＋9n＋3，‎ 所以an与n构成二次函数关系，‎ 因为an＝－2n2＋9n＋3＝－2＋，且n为正整数，‎ 所以当n取2时，an取得最大值13，‎ 所以数列{－2n2＋9n＋3}的最大项为13.‎ B级　能力提升 ‎1．已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，此数列的第3项是(　　)‎ - 4 -‎ A．1 B. C. D. 解析：a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.‎ 答案：C ‎2．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝.写出若干项，并归纳出通项公式an＝______________．‎ 解析：a2＝＝，a3＝＝，‎ a4＝＝，a5＝，‎ 猜想：an＝.‎ 答案： ‎3．(1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an.‎ ‎(2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，n∈N*)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足a1＝1，＝(n≥2，n∈N*)，求通项an.‎ 解：(1)n≥2时，‎ an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋2＋…＋2,(n－1)个2＝2(n－1)＋1＝2n－1.‎ a1＝1也适合上式，所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.‎ ‎(2)n≥2时，‎ an＝a1···…· ‎＝1···…·＝.‎ a1＝1也适合上式，‎ 所以数列{an}的通项公式是an＝.‎ - 4 -‎