江苏省南通市2021届高三上学期月考模拟测试数学试题（2020 14页

江苏省南通市2021届高三月考模拟测试 数学试题 ‎ 2020.9‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1． 是成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2． （ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎3．设为的边的延长线上一点，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4． 已知直线：与圆心为，半径为的圆相交于，两点，另一直线：与圆交于，两点，则四边形面积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5． 一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 江苏南通 ‎14‎ ‎6． 当动点在正方体的棱上运动时，异面直线与所成角的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过作 垂直轴的直线交椭圆于，两点，点在轴上方．若，的内切圆的面积为，则直线的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8． 已知，，若对，，使得成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎9．函数的定义域为，且与都为奇函数，则（）‎ A. 为奇函数 B. 为周期函数 C.为奇函数 D.为偶函数 ‎10．设是等差数列，是其公差，是其前项和.若 江苏南通 ‎14‎ 则下列结论正确的是 ‎ ‎ ‎11． 已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（）‎ A.的方程为 B.的离心率为 C.曲线经过的一个焦点 D.直线与有两个公共点 ‎12．声音是由物体震动产生的波，期中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（）‎ A.是的一个周期 B．在上有3个零点 C.的最大值为 D．在上是增函数 ‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。‎ ‎13．若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有 种(用数字填空)‎ ‎14．在的展开式中，的系数为______．‎ ‎15． △ABC的内角A,B,C的对边分别为的面积为S,的最大值为__________.‎ 江苏南通 ‎14‎ ‎16．已知，若方程有2个不同的实根，则实数m的取值范围是________.(结果用区间表示)‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．(本小题满分10分) ‎ 在中，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的周长．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知正项等比数列满足，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和.‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案：‎ 方案一：交纳延保金元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费元；‎ 江苏南通 ‎14‎ 方案二：交纳延保金元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费元．‎ 某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表：‎ 维修次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 机器台数 ‎20‎ ‎10‎ ‎40‎ ‎30‎ 以上台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率，记表示这两台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数．‎ ‎（1）求的分布列；‎ ‎（2）以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 如图所示，在四面体中，，平面平面，，且．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值．‎ 江苏南通 ‎14‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上运动，若面积的最大值为，椭圆的离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作圆：，的两条切线，分别与椭圆交于两点， (异于点)，当变化时，直线是否恒过某定点?若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知函数，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）用表示中的最大值，记，讨论函数零点的个数．‎ 江苏南通 ‎14‎ 江苏省南通市2021届高三月考模拟测试 数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎ 1. A 2. A 3. C 4.B 5.C 6. C 7. D 8. A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎9.ABC 10. ABD 11.AC 12.ABC 江苏南通 ‎14‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。‎ ‎13．72 14．80 15． 16．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（1）∵，∴，∴．‎ ‎（2）设的内角，，的对边分别为，，．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴，．‎ 由余弦定理可得，‎ 则，的周长为．‎ ‎18．（1）设数列的公比为 由已知，由题意得，‎ 所以，解得，.‎ 因此数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ 江苏南通 ‎14‎ ‎19．（1）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（2）选择延保方案一，所需费用元的分布列为：‎ ‎ (元)‎ 选择延保方案二，所需费用元的分布列为：‎ ‎ (元) ‎ ‎，‎ 江苏南通 ‎14‎ 当，即时，选择方案二，‎ 当，即时，选择方案一，方案二均可，‎ 当，即时，选择方案一．‎ ‎20. （1）证明：因为，平面平面，‎ 平面平面，平面，所以平面，‎ 因为平面，所以．‎ 因为，所以，所以，‎ 因为，所以平面．‎ ‎（2）解：设，则，‎ 四面体的体积．‎ ‎，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减．‎ 故当时，四面体的体积取得最大值．‎ 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，‎ 江苏南通 ‎14‎ 则，，，，．‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 令，得，‎ 同理可得平面的一个法向量为，‎ 则．‎ 由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为．‎ ‎21. （1）由题可知当点在椭圆的上顶点时，最大，‎ 此时，∴，，，‎ ‎∴椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）设过点与圆相切的直线方程为，即，‎ ‎∵直线与圆：相切，∴，‎ 江苏南通 ‎14‎ 即得．‎ 设两切线的斜率分别为，，则，‎ 设，，由，‎ ‎∴，即，∴；‎ 同理：，；‎ ‎∴，‎ ‎∴直线的方程为．‎ 整理得，‎ ‎∴直线恒过定点．‎ ‎22．（1）证明：设，定义域为，‎ 则．‎ 当时，；当时，，‎ 故在内是减函数，在内是增函数，‎ 江苏南通 ‎14‎ 所以是的极小值点，也是的最小值点，‎ 所以，所以．‎ ‎（2）解：函数的定义域为，‎ ‎，‎ 当时，；当时，，‎ 所以在内是减函数，在内是增函数，‎ 所以是的极小值点，也是的最小值点，‎ 即，‎ 若，则，‎ 当时，；当时，；‎ 当时，．‎ 所以，于是只有一个零点．‎ 当，则当时，，此时，‎ 当时，，，此时，‎ 所以没有零点．‎ 江苏南通 ‎14‎ 当，则当时，根据（1）可知，，‎ 而，所以，‎ 又因为，所以在上有一个零点，‎ 从而一定存在，使得，‎ 即，所以．‎ 当时，，‎ 所以，从而，‎ 于是有两个零点和1．‎ 故当时，有两个零点．‎ 综上，当时，有一个零点，当时，没有零点，当时，有两个零点．‎ 江苏南通 ‎14‎